材材料力学Ⅱ电子教案5

第五章应变分析·电阻应变计法基础§5－2

平面应力状态下的应变分析§5－3电阻应变计法的基本原理§5－1概述§5－4应变的测量和应力的计算1§5－1概述用电测法只能测定构件表面的线应变，应力是根据应变值由胡克定律求出的。所以我们首先研究平面应力状态下的应变分析，然后研究电阻应变片的原理及其应用。

对复杂结构进行应力分析时往往采用理论分析和实验应力分析相结合的方法。第五章应变分析电阻应变计法基础实验应力分析的方法，主要有电阻应变计法（电测法）和光弹性法（光测法），本章仅研究电测法。2§5－2平面应力状态下的应变分析

本节研究平面应力状态下，一点处在该平面内的应变随方向而改变的规律。Ⅰ.任意方向的应变

设在平面应力状态下的平面内，过O点处有两组坐标系xOy和xOy

，a角以逆时针旋转为正，如图a所示。第五章应变分析电阻应变计法基础3解:(1)求ea在图b,c,d中，(a)第五章应变分析电阻应变计法基础已知：O点处在xOy坐标系内的应变ex,ey,gxy。求：O点处沿x'方向的线应变ea

及在坐标系x'Oy'内的切应变ga(即直角∠xOy的改变量)，在线弹性范围内，可用叠加法进行计算。4第五章应变分析电阻应变计法基础1.

只有正值ex(图b)，设

不动，矩形OAPB→OA'P'B,的伸长量为(b)O点沿x

方向的线应变为(c)52.只有正值ey(图c)，的伸长量为（d）第五章应变分析电阻应变计法基础沿x'方向的线应变为(e)63.只有正值gxy(图d)，的伸长量为(f)沿x'方向的线应变为(g)第五章应变分析电阻应变计法基础7在ex,ey,gxy

同时存在时，沿x'方向的线应变为或写成（5-1a）(5-1b)第五章应变分析电阻应变计法基础8(2)求ga

ga为直角∠x'Oy'的改变量，并设第一象限的直角减小为正，设x'和y'的转角分别为ya和ja（图e）,则由图b,c,d可见，在ex,ey

,gxy同时存在时x′()的转角为9式中第二项为负，是因为仅由ey产生的转角为逆时针转（图c）。y'（)的转角ja可用求x'的转角ya相同的方法，用几何作图求得，第五章应变分析电阻应变计法基础(h)示出了仅有εx时()的转角a1

。注意到y'和x轴的夹角(a+π/2),把（h）式中的a用(a+π/2)来代替求出jα更为方便。其值为图(f)10(i)在x'Oy'坐标系内内的切应应变为或写作第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础11（5-2）当已知ex,ey,gxy时，由（（5-1）式求任任意方向向上的线线应变，，由（5-2）式求切切应变。。Ⅱ.应变圆材料力学学（Ⅰ）的第七七章曾得得到（7-1）（7-2）第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础12该两式表示示平面应应力状态态下，一一点处的的应力状状态。也也可以用用应力圆圆表示平平面应力力状态下下一点处处的应力力状态。。将式（（7-1）,（7-2）和(5-1)（5-2）对比后可可知，两两组公式式相似，，对应关关系为，，第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础13只需以为为e横坐标，，以为为纵坐坐标（向向下为正正），即即可作出出应变圆圆。已知知：作出应变变圆如图图所示。。应变圆中中，半径为第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础。14Ⅲ.主应变的的数值和和方向(1)主平面——主应力——由应变圆圆可见，，主应变变为（5-3）(2)沿各主应应力方向向的线应应变称为为主应变，依次用用e1,e2,e3表示，且且第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础切应力等等于零的的平面。。主平面上上的正应应力。。15(5-4)x轴和e1方向的夹夹角a0为（5-5）由于所以2a0为正（））。。借助应应变圆，判断断主应变变方向更更为直观观。将（5-3）,（5-4）和（5-5）与材料力力学（Ⅰ）中的（7-3）第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础16（7-4）（7-5）比较后可知，，若ex以代换sx，ey代换sy，－gxy/2代换tx，则由材料力学学（Ⅰ）的（7-3）,（7-4）,（7-5），可直接得（5-3）,（5-4）和（5-5）式。第五章应应变分析电电阻应变计计法基础17例5-1已知，ex=345×10－6，e45°=208×10－6,ey=−149×10－6。试用应变圆求主应变的数数值和方向。0200100（×10－6）第五章应应变分析电电阻应变计计法基础18第五章应应变分析电电阻应变计计法基础(1)已知ex,ey,gxy，画应变图按选定的比例例尺，由（ex,gxy/2），即（345×10-6，110×10-6）确定A点。解：19由（ey,-gxy/2）即（-149×10-6,-110×10-6）确定C点，连接C,A两点，交e轴与O1；以O1为圆心，为为半径画画圆，此圆即即为所求的应应变圆。由逆时针转90°至B1点，B1(e45°,g45°/2),过B1作g/2轴的平行线交交应变圆与B点；可知：∠ABB1=45°,∠CBB1=45°，(同弧的圆周角角等于其圆心心角的一半)。O1点为和和的垂直第五章应应变分析电电阻应变计计法基础90°90°45°45°A

(345,110)×10–6O1O

(-149,-110)×10–6CBg/2eB1(b)20平分线之交点。(2)已知ex,ey,e45°用应变圆求主主应变。1.按比例尺，由由ex,e45°,ey之值分别作平行于g/2轴的直线La,Lb,Lc。第五章应应变分析电电阻应变计计法基础因为gxy未知，，无法法直接接确定定A,C点，根根据应应变圆圆的几几何关关系，，作图图方法法为2.在Lb上任取取一点点B,过B点分别作作与Lb各成45°角的线线段BA,BC，分别交交La,Lc于A,C两点。。(c)214.以O1为圆心心，以以为为半半径画画圆。。A,B,C点的横横坐标标，分分别代代表ex,e45°,ey。分别代代表主主应变变e1和e3，角a0为e1和x轴的夹夹角。。在应应变圆圆上用用比例例尺量量得第五章章应应变分分析电电阻阻应变变计法法基础础3.作,的垂直直平分分线，，它们们交于于O1点,O1为应变变圆的的圆心心，过过O1点作g/2轴的垂线线，该该线为为e轴。(c)22§5－3电阻应应变计计法的的基本本原理理Ⅰ.电阻应应变片片图a为丝绕绕式应应变片片，用用j=0.02－0.05mm的康铜铜丝或或镍铬铬丝绕绕成栅栅状，，并把把金属属栅粘粘固于于两层层绝缘缘的薄薄纸（（或塑塑料薄薄膜））之间间，丝丝栅两两端用用直径径为0.2mm左右的的镀银银铜丝丝作引引线。。l为基线线长度度（标标距）），a为宽度度。图图b为泊式式应变变片。。图第五章章应应变分分析电电阻阻应变变计法法基础础c为半导导体式式应变变片。。l23将应变变片贴贴在被被测构构件的的测点点处，，使其其随同同构件件一起起变形形。应应变片片产生生变形形的同同时，，其电电阻也也要发发生改改变。。当应应变在在一定定范围围内时时，电电阻的的改变变率△R/R与弹性线应应变△l/l之比为一常常数，即（5-7））以电阻应变变片为转换换器，把非非电量线应应变的测量量转换成电电阻改变率率△R/R的测量。测测出△R/R后，由算算出线应应变。第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础式中，e为标距范围围内的平均均线应变。。常数K称为材料的的灵敏因数。R为应变片的的电阻，△R为电阻的改改变量。24由于△R很小，必须须用由电桥桥和放大器器等组成的的电阻应变变仪进行测测量。(1)惠斯顿电桥桥原理Ⅱ.测量原理及及电阻应变变仪第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础图中输入电电压为UAC,输出电压为为UBD。图（a）UBD=UAB-UAD=Ⅰ1R1-Ⅰ4R4由于得（5-8））25当UBD=0，即电桥平衡衡时，得R1R3-R2R4=0（5-9））图(b)第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础(2)电阻应变仪仪电阻应变仪仪主要由测测量电桥和和读数电桥桥组成（图图b）。读数电桥由由精密的可可变电阻组组成，用旋旋钮来调节节电阻。设测量电桥桥的四个桥桥臂上的电电阻均为贴贴于构件上上的电阻应应变片，且且其26R1=R2=R3=R4=R构件受力前前，调节读读数电桥的的旋钮使输输出总电压压U=UBD+U'BD=0UBD,U'BD为测量电桥桥和读数电电桥的输出出电压。第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础初始电阻相相等，即构件受力后后，各电阻阻变为R1＋△R1,R2＋△R2,R3＋△R3,R4＋△R4。代入（5-8）式，并注注意到(△R/R)<<1，可得测量电电桥输出的的不平衡电电压为27把代入后，得得该电压经放放大后使指指示仪的指指针偏转。。调节读数电电桥的旋钮钮，使其输输出一个与与UBD等值反向的的不平衡电电压UBD使输出的总总电压U=0，指示仪的指指针恢复到到零位。设设旋钮的旋量量为eR，eR与读数电桥桥的输出电电压成正比比，即（5-10）第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础U'BD=AeR令28设计旋钮刻刻度，使，可得此即为旋钮钮读数与测测量电桥4个应变片的的线应变之之间的关系系。（5-11）Ⅲ.应变测量中中的一些问问题第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础1.半桥接线法法：测量电电桥的R1和R2两臂接上应应变片，R3和R4为电阻应变变仪内的标标准电阻，，该两电阻阻不随构件件一起变形形，即e3=e4＝0,(1)测量电桥的的接线eR=e1-e2则292.全桥接线法法：测量电电桥的四个个桥臂上均均接上应变变片。两种种接线法的的应用见§5-4。(2)温度补偿应变片的电电阻值随温温度而改变变，另外，，应变片和和构件的线线膨胀系数数不同也要引起起应变片电电阻的改变变。于是测测量的应变变值中包含含温度变化化的影响，，导致测量量误差。采采用温度补补偿，消除除温度的影响。。第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础30图a中，R1为工作片，，R2为温度补偿偿片，R2贴在与构件件相同的材材料上，并并置于与构构件相同的的温度环境境中，把R1,R2分别接在电电桥相邻桥桥臂AB和BC上，设R1和R2由力F及温度产生生的线应变变分别为e1F,e1t,e2t。第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础则31图b中，式中，为为构件材料料的泊松比比。这种不不单独设补补偿片，而而消除温度度影响的方方法，称为为自动补偿偿。因为，从而提高了了测量的灵灵敏度。(3)灵敏因数调调整器的使使用第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础32应变片的K值超过灵敏敏因数调整整器的可调调范围，一一般可将调调整器的指指针对准2.00，然后进行行修正。由于(5-12)式中，K为应变片的的灵敏因数数值，e为实际应变变值，eR为应变仪的的读数值。。第五章应应变分分析电阻阻应变计法法基础在同次试验中，应应选用K值相同的应应变片，并并把灵敏因因数调整器器的指针对对准应变片片的K值。这样才才有eR=e1+e3-e2-e4。若故33§5－4应变的测测量和应应力的计计算Ⅰ.单轴应力力状态试用半桥桥自动补补偿方法法，测定定图示简简支梁m-m截面上a的正应力力sa。材料的弹弹性模量量为E。第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础34a,b两点均为为单轴应应力状态态，且sb=-sa，eb=-ea。在a,b两点处沿沿梁的轴轴线方向向分别贴贴上应变变片Ra和Rb。把Ra,Rb分别接入入电桥的的AB,BC臂（半桥桥接线法法），BC为温度补补偿臂（（自动补补偿）。。当Ra=Rb时，有由胡克定定律Ⅱ.主应力方方向已知知的平面面应力状状态沿主应力力方向贴贴应变片片，测出出主应变变后，由由广义胡胡克定律律求主应应力，即即第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础35,例用用电测法测测量图示圆轴轴的最大大剪应力力t及扭转力力偶距M。材料的E,为已知。。第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础(b)tTyz(c)36第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础(f)(g)(d)(e)解：圆轴表面面的ab线上各点点的单元元体如图图c所示。主主应力为为：1.半桥自动动补偿在ab线上任意意一点c处，沿和和轴线方方向成±45°°方向分别别贴上应应变片R1和R2（图a,d）。将R1和R2分别接入入电桥的的AB,BC臂(图e)，BC臂为温度度补偿。。当R1=R2时，37由广义胡克克定律第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础得扭转力矩矩为2.全桥自动动补偿38在ab线上任意意一点d处，沿与与轴线方方向成±45°°方向分别别贴上R1,R2,R3,R44个应变片片（图a,f）因为e3=e1,e2=e4,且e2=e4=-e1。将应变片片R1,R2,R3,R4分别接入入电桥的的AB,BC,CD,DA桥臂上（（全桥）），BC,DA为温度补补偿臂（（图g）。当R1=R2＝R3=R4时eR=e1+e3-e2-e4＝4e1,第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础(f)(g)(a)39由广义胡克克定律得得扭转力矩矩为第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础40例5－2(1)用半桥自自动补偿偿测定MZ；(2)用全桥自自动补偿偿测定Mx。第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础(g)(h)41解：该题为弯弯扭组合合变形，图a中a,b,c三点的单单元体分分别如图图f,g,h所示。虽虽然a,b两点为平平面应力力状态，，且主应应力方向向未知，，但在小小变形时时，t不产生sa(sb)方向的线线应变。。所以sa=Eea，sb=Eeb，且sb=-sa，eb=-ea。c点为纯剪剪应力状状态。可可参照以上上两例用用半桥自自动补偿偿测Mz，全桥自动动补偿测测Mx。第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础(g)(h)42第五章应应变分析析电阻阻应变计计法基础础Ⅲ.主应力方方向未知知的平面面应力状状态(1)图a所示平面面应力状状态，当当ex,ey,gxy已知时，可由由公式（5-3）,（5-4）,（5-5）求出两个主应应变值及其方方向。因为gxy难以测量，一般分分别测量O点处和x轴分别成aa,ab,ac的三个方向的的线应变（图图b）。43（a）（b）（c）第五章应应变分析电电阻应变计计法基础由（5-1a）得联立求解以上上三式，求出出ex,ey,gxy后，即可求出出主应变。44代入（a）,（