线性代数二次型

二次型与对称矩阵二次型及其矩阵1定义：含有n个变量的二次齐次函数:f(x,x，…,x)tax2+ax2+・.・+ax212n111222nnn+2axx+2axx+・.・+2axx12121313(n-1)nn-1n称为二次型.为便于用矩阵讨论二次型，令ajjTQjj，则二次型为:f(x,x，…，x)tax2+axx+・.・+axx八T2n11112121n1n+axx+ax2+・.・+axx21212222n2n+n1n1n2n+axx+axx+・.・+ax2nnn则f(xi，x2，...,xn)TxTAx，且A为对称矩阵。n1n1n2n则f(xi，x2，...,xn)TxTAx，且A为对称矩阵。由于对称矩阵A与二次型f由于对称矩阵A与二次型f是对应关系，故称对称矩阵A为二次a11a12a1nrx1]a21...a22•••a2n...，x=x:2a1-n1an2annJkxn)型f的矩阵，也称二次型f为对称矩阵A的二次型，R(A)也称为二次型f的秩。例1设f(x,x,x)=x2+2x2+3x2+5xx+7xx+9xx123123122313试求二次型矩阵A。解a解a=1,a=2,a=a=—,a=a=]12212233229a=a=2于是得L5L59)12257A=-2-2297〔2237f159)22fx1f=(xxx)x,x,x5271x1232229737"x37122已知三阶矩阵A和向量x，其中f123]A=01-13—32^7求二次型XTAX的矩阵.解由于A不是对称矩阵,故A不是二次型XtAX的矩阵.因为3]-12匕7123XTAX=(x,x,x3]-12匕7123=x2+x2+2x2+2xx+6xx一4xx,

123121323故此二次型的矩阵为f113]11一2。、3-22二、线性变换1标准形定义：形如《x2+d2x2++dx2的二次型称为二次型的标准形。

显然:其矩阵为对角阵。2线性变换x=cy+cyHFcy1111221nnx=cy+cy+•••+cy』定义：关系式/221勺22,22n，n称为由变量气,x2，…,xn到变量x=cy+cyHFcy一一1/1一一C/C/一一nn11n22nn定义：关系式/y,V，…,y的一个线性变量替换，简称线性变换。12n矩阵C=cc・矩阵C=cc・••c11121ncc・••c21222n•••••••••.••cc•••cn1n2nn」/J、称为线性变换的矩阵。‘1X2，则线性变换可用矩阵形式表示为：x=Cy若|C|芝0，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则,称为降秩（线性）变换（或退化变换）・f(x1，x2，...,xn)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy，其中B=CTAC，而BT=(CTAC)T=CTAC=B若线性变换是非退化的，便有：y=CTx三、矩阵的合同1定义：设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得CTAC=B,则称矩阵A与B合同。容易知道:二次型f（x）=xTAx的矩阵A与经过非退化线性变换x=Cy得到的矩阵CtAC是合同的.2合同的性质反身性：任一方阵A都与它自己合同对称性:如果方阵A与B合同，那么B也与A合同传递性：如果方阵A与B合同，B与C合同，那么A与C合同3定理：若矩阵A与B合同，则A与B等价，且R（A）=R（B）。4定理：任何一个实对称矩阵A都合同于一个对角阵A（A是以A的n个特征根为对角元的对角阵）.即存在可逆矩阵C，使得ctac=A。化二次型为标准形一、正交变换法定理:任给二次型f（气,x2，…,xn）=xTAx，总有正交变换x=Cy使f化为标准形：f=入x2+入x2+...+入x2（其中X,X,・・・,人是对称的TW：J1122nn只丁12,乃正牛仅皿阵A的特征根）例：求一个正交变换x=py,化二次型f=x2-2x2-2x2-4xx+4xx+8xx为标准形.J123121323“仅皿刀八J-22、解：二次型的矩阵为:A=-2-24I24-2/由IA—E=0,求得A的特征根为：X\=-7,X2=X3=2,(1、特征根气=-7对应的特征向量为：&1=2.-2

k2J正交化：取％=&=1k正交化：取％=&=1k0J2‘2f-2、(2、特征根入2=人3=2对应的特征向量为：&=1I=0k0Jk1J显然&1与&之，&3都正交，但&2与&3不正交。(2、5P=&-(哄3)P=433(5251kJ再将&],。2，%单位1f1、1f-2、1f2]质32—2k7,七=善、°7,%-邓4k57一_2_/、fx、133右fyx2—=23言-4-3灰y2kx7V3〃一号0五Vky371—3」于是正交线性变换为:使原二次型化为：f=一7yi+2y2+2y21乙3注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法对任意一个二次型f(气,％,...,七)=xTAx，也可用配方法找到满秩变换x=Cy，化二次型f为标准形。1二次型中含有平方项例:化二次型f(x,x,x)=x2+2x2-3x2+4xx-4xx-4xx为标准123’123121323八形，并求出所用的变换矩阵。解f(x,x,x)=x2+4(x一x)x+4(x一x)2一4(x一x)2

1231'2312323+2(x2—2乂2x3+x2)—5x2=(x+2x—2x)2—4(x—x)2+2(x—x)2—5x2'12rv2rv2r3=3]+2x?—2x3)2—2^2—x3)2—5x2'y1=x1+2x—2xf七〕_12—2-fx1]23令iy2=〔七=x2—x,3，x3即1:1=:10—11x7Vx3>「12—2-「1—20-令C-1=01—1,则C=011001001所求的满秩变换为fx1.「1—20-fy1]x=Cy，即x2=011y/2xVx3>_001_V%J则原二次型f=xTAx化为标准形：/=y^-2y；-5y32二次型中不含平方项例：用配方法化二次型f（气,sx3）=x1x2+x1x3+x2x3为标准形，并求出所用的满秩线性变换。'xi=yi+y2解.令ix=y—y.则原一次型化为*f=y2—y2+2yy22，小-y2y1y3x=yl3’3再按前例的方法有：f=y2—y2+2yyj./1j21^3=y《+2y1y3+y；—y；—y；=(y1+y3)2—y：—y：

q二七+七2^.Jz—V咖卮一次理!值为•f=z2—72—72令Z2V2，则原一次型化为•J%z2Z3、Z3=V3其中的满秩变换为两变换的合成，即:'x1-V1+y2rx1、-110-ry1〕由第一次变换1X2—V1—y2得：X2=1—10y/2X—3y3xvX3>001VV3J'71=V1+V3'y1'-10-「由第二次变换〈Z2—V2得：y2=010Z2IZ3=V3”3J001VZ3J所以有合成的满秩变换为:rx1]_110-ry1「_110-_10-「rz1〕XVX3J—_0—100_；2Vy3J—_0—100__0100_7顷3Jrx1._11-「'z1'X2—1—1-1Z2、x；3001VZ3J三、初等变换法由于任一二次型f—xTAx(AT—A)都可以找到满秩线性变换x=Cy将其化为标准形，即存在可逆矩阵C，使CTAC为对角阵油于C可逆，可以第二章写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P,P，…,P,使C=PP・・・P.12s12s贝UCT=PT..・PTPT，所以s21EC=P"・P；P1代2…PsC=PP•"=EPP・・P12s12s表示对实对称矩阵A施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将A化为对角阵，②表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为C例：用初等变换法化二次型f=x2—2x2—2x2-4xx+4xx+8x_x为标准形，并求出相应的满秩线性变换。解：二次型f的矩阵:A=「1-22一「102「1-22一「102一-2-2404224-2—^r+r^22-2100c2+c3100010010_001J_011J1\"EJr+(-2)xr3'^1c3+(-2)c104201102-6-2/1、r+（-2冲.）0400-7-21——212—21所以C=00原二次型化为f=y2+4y2—7y212—2惯性定理和二次型的正定性一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式：f=d]x2+d2x2Hbdx2-d+]x2+】dx2X=-^y.（i=1,2，…，r）再令线性变换：，'也i再令线性变换：，E=y（j=r+1，r+2,…,nf=y2+y2+•.•+y2—y2j定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形.定义：称规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标，负项个数r—p称为二次型的负惯性指标，r是二次型的秩.注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型f=xTAx都可以经过满秩变换x=Cy化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵A，都存在满秩矩阵C，使1CTAC==A,CTAC==A,称A为A的（合同）0规范形.定理：实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等.矩阵合同的性质（1）任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同；（2）与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵；（3）两个实对称矩阵合同的充要条件①有相同的秩，②有相同的正惯性指数。二、二次型的正定性1、正（负）定二次型的概念定义:设实二次型f3）=f（气,x2，…,气）=xTAx，若对任意不全为零的实数％,x2，...,x^（即Vx丰0），总有f（x）>0（<0），则称f为正（负）定二次型，并称对称矩阵A为正（负）定矩阵，记作A>0（<0）。定义:若对任意不全为零的实数气,％…,xn，总有f（x）=xTAx>0（<0）,则称实二次型为半正（负）定二次型,其矩阵A为半正（负）定矩阵。2、判定方法定理：若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价：（1）f（x）=xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的n个特征值全为正；（3）f的标准形的n个系数全为正;（4）f的正惯性指数为n；（5）A与单位矩阵E合同（或E为A的规范形）；（6）存在可逆矩阵P，使得A=PTP;的各阶顺序主子a••-aaa111n1112>0,•••,••••••aa2122a••-an1nn式均为正，即aii>0,（7）式均为正，即aii>0,定理：若A是n阶实对阵矩阵，则下列命题等价:⑴f⑴=xTAx是负定二次型（或A是负定矩阵）;（2）A的n个特征值全为负；（3）f的标准形的n个系数全为负；（4）f的负惯性指数为n；（5）A与负单位矩阵-E合同（或-E为A的规范形）;（6）存在可逆矩阵P，使得A=-PTP;（7）A的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主aii子式为正，即(aii子式为正，即(-1)r:ar1a1rarr>0(r=1,2,…，n).+2xx+2xx+2x2+6xx+6x2是121322331+2xx+2xx+2x2+6xx+6x2是12132233解：A解：A=「111-11111>0，|A|=123，因1>0，12123_136J1136所以实二次型f是正定的。TOC\o"1-5"\h\z2、设二次型f(x,x,x)=x2+2x2+3x2+2txx-2xx+4xx,

、贝'人壬八123，123121323，试问t为何值时，该二次型是正定的？1t-1解：为使所给二次型正定，a的各阶因二次型的矩阵为:A=t22t=2-12>0,2,-1231顺序主子式应大于零，从而有：d1=1>0，d2—t1t-1d=t22=-(3t2+4t)>0，解：为使所给二次型正定，a的各阶t=2-12>0,2,由<312+4t<0所以当-4<t<0时，所给实二次型是正定的3、二次型f(x,x,x)=x2+3x2+x2+2xx+2xx+2xx.则f的、'人壬八123，123121323，/正惯性指数为？4、三阶的实对称矩阵A的特征值为气=气=1,气=2，则二次型f(气,x2,x3)=XtAX的规范形为分析实对称矩阵A可经过正交变换化为对角矩阵，相应的二次型f(x)=XtAX就化为标准形。解由已知条件，二次型f(x)的标准形为y2+y2+2y2，故其规范形为123

z2+z2+z2。1z2+z2+z2。15、(A)合同(B)相似(C)等价(D)以上都不对阶单位矩解任一个n阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n阵，故n阶满秩矩阵都与n阶单位矩阵等价.阶单位矩只有单位矩阵与单位矩阵相似。6、设A=111111111111116、设A=11111111111111114000000000000000(A)合同且相似.不合同且不相似。(B)合同但不相似。(C)不合同但相似。(D)解选(A).A为实对称矩阵且A的特征值为4,0,0,0。[2TT]7、A=-12-1，L-10/A与B即合同又相似B=[01")〜00?A与B合同而不相似A与B不合同而相似A与B即不合同也不相似解：(B)B的特征值1,1,0(—21)—n(21)(1—2)、1—2,（B）（2、一12,（C）112J（D）、一217(A)Il—1—H

—1—1Il—1—H

—1—1—1"-1—1-17+3E=—B+3E，特征值为—B+3，即3,3,0A与B特征值不相同，但正、负性都一样。8、A=，则在实数域上与A合同的是（）(—21)（1'、〔1—2J=111J—3E，特征值为一3，—1(12)(22)、21,=、227-E，特征值为-1，3A=(2-"(—1-1)、一12,=、一1—17+3E，特征值为3,1(21)(11)11—2J=、117+E，特征值为1，3(1—2)(—2—2)、一21,=、一2—27+3E,特征值为3,—1经正交变换9、已知实二次型f(x,x,x)=a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx123123121323x=Py可化标准型f=6咋，则a=【详解】二次型f(x,x,x)=a(x2+x2+x2)+4xx+4xx+4xx经正交变换123123121323TOC\o"1-5"\h\za22所对应矩阵为A=2a222a~600一标准型f=6y2所对应矩阵为B=0001L000」根据题设知A