沪科版八年级数学下册第17章 一元二次方程全章导学案

第17章一元二次方程17.1

一元二次方【习标1、在实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认.2、了一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数.3、经由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型的过程，体会数学建模思.重点难点重点：一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形.难点：把实际问题转化为一元二次方程的模【预导】通过自主预习教材完成下列问题：已知方程x（）=8，它一元一次方程（填“是”或“不是如果一个方程通过整理可以使右边为，左边是只含有个知数的次多项式，这样的方程叫做一元二次方.一元二次方程的一般形式是二项为项为，常数项为，次项系数为，一次项系数为.学生课前完成，教师检查，学生通过预习初步感知一元二次方程的相关概念和一般形.【探展】（一）合作究1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm，现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的

.求挖去的圆的半径应满足方程（其中π取3）设找等量关系：列出方程：①2.据市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万，两年后增加到108万.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率应满的方.等量关系：列出方程：②3.能①，②化成右边为0，边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？化简，整理得③化简，整理得④观察上述方程③和④，归纳得出：如果一个方程通过移项可以使右边为，而左边是只含有

未知数的

次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：其中，，分叫作二次项系数、一次项系数、常数.4.指方程③，④中的二次项系、一次项系数和常数（二）展示提升1.下方程是否为一元二次方程若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数（）0.01t=2t（）5xx+1+7=5x-4（）（1-x）+10=2（）（）=18y+1某超市1月的营业额是36万3月份营业额是万元设每月营业额的平均增长率为x，则平均增长率为x应足的方程为.已知一个数x与它大2的的等于35请根据题意，列出关于x的程，这个方程是一元二次方程吗？【知梳】1．什样的方程叫做一元二次方程？2.一二次方程的一般形式是什么？什么叫做它的二次项系数、一次项系数和常数项？3.如由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型？【当检】1.下方程是一元二次方程的是（填序号）（）=-1（）+xy+1=0(3)ax+bx+c=0(4)21x+3x-1=0(5)(

1x

)+x-1=0(6)(x+1)(x-1)x=x+1把一元二次方程（3x-2）(x+1)=8x-3化一般形式是其二次项系数是，次项系数是，数项是将一根长为64cm的丝剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和为160cm，且其中个正方形的边长为xcm请根据题意列出关于x的方程.4．已知关于x的程k-1)x当k为何值时，此方程是一元二次方程，并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数.【学反】通过本节课的学习，你学到了什么？你还有什么样的困惑？你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？17.2

一元二次程的解法1.配法学习目：1.理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．通过对配方法的探究渗透转化的数学思想，经历从特殊到一般的认知过程，培养观察能力和归纳能力.3．激发学生学数学的兴趣，主动探究知识、自主学习和合作交流的意识，体会学数学的快乐。学习重会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．学习难：难点是发现与理解配方法学习过：知识回:新课标第一网1某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？解：设无公害蔬菜产量的年增长率为

，年的产量为a，则可得方程：(1)

2

2a

整理后，得：x

2

x0到这里题还没有得到完全解决们认识了一种新的方程——一元二次方程，但是这样的方程，我们怎样来求它的解呢？2、用直接开平方法解下列方程：（1x

2

（2

2

75自学探:1、如何解方程x2x0？显然无法使用直接开平方法，观察上面的方程求解过程不难发现，如果能够将方程左边变形成一个完全平方式而右边是一个非负数问题便可以得到解决。我们来做下面一组练习：（1）x

2

x____x____)

2

；（2）x

2

x(

2（3）x2x(x；（4）yy

2通过上面一组练习的启发，我们对方2x0如下尝试变形：移项：

x两边同：

x即：

(x22此时，发(

2

2以适用直接开平方法，得_______.所以，原方程的根是：x______________，x.1从而得出把一元二次方程的左边配成一个完全平方式然后用直接开平方法进行求解,这种解法叫做配方法。试用配方法解方程20解：先将x

2

的系数变为1得：x

3x22移项，得：x

3122配方，得：____________________________．∴

(__________________________________________________________________∴__________，x_________.14、通过对面问题的探究你能归纳出用配方法解一元二次方程的步骤吗？①变：移：________________________.配：___________________________________________________.开：________________________.解：__________________________.5、用配方解下列方程：(1)x0

(2)x(3)x2x0

(4)xx自我检必做题，4、5为选做题）1、把下列式配成完全平方式：（12aa____)

2

（）xx

2（3

5x2

（）x

2

px_____x____)

22、用配方解方程

2

0的过程中，配方正确的是（）A、x31

B、x2xC、(

2

D

2

3、用配方解下列方程：（1）

2

x

（2x

2

（3）2

2

x

（4）x

2

x4、用配方解关于x的方程x

2

px．5、x2yy求y的值．小结与反思：17.2

一元二次程的解法2.公法【习标会用公式法求解一元二次方程.经历一元二次方程求根公式的推导过程，初步培养学生的逻辑推理能力和运算能.重点：用公式法求解一元二次方程．难点：求根公式的推.【预导】学生通过自主预习教材完成下列各.1.用方法解下列方程：（）-6x-7=0；（）2x+5x=6.2.用方法解一元二次方程的步骤是怎样?【探展】(一合作探究运用配方法解一元二次方程时们于每一个具体的方程重使用了一些相同的计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（≠）使用配方法，求出这个方程的根呢？分析：方程两边同除以a，得++=0.把方程的左边配方，得x++-=0因此（）=.当b—4ac≥时，根据平方根的义，解得X,X=于是，一元二次程+bx+c=0a≠）在4ac0条件,它的根为：X=—4ac0).归纳：由上可知，一元二次方程axa≠）的根由方程的系数a、b、而，因此：在利用求根公式解一元二次方程时，应先将方程化为一般形式，b4ac时•将abc代式子就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的．利用求根公式解一元二次方程的方法叫．由求根公式可知，一元二次方程最多有个实数根．(二展示提升1.用式法解下列方程：(1)x-x-2=0；(2)-2x=1；(3)-3x-1=2.用式法解方程9x+12x+8=0.知梳】以”本节课我们学到了什?启学谈本课收.当检】用求根公式解一元二次方程ax（≠0是；（2）方程（x+2）(x-3)=1化一般形为其中a=,b=,c=,b—4ac=用求根公式解得x=.3.用式法解下列方程：(1)x；(2)；(3)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).学反】通过本节课的学习，你学到了什么？你还有什么样的困惑？你对自己本节课的表现满意的地在哪儿？哪些地方还需改进？17.2

一元二次程的解法3.因分解法【习标会用因式分解法求解一元二次方.进一步体会一元二次方程解法中的转化与降次思.重点难点重点：用因式分解法求解一无二次方.难点：如何对一元二次方程中的含未知数的多项式进行因式分.【预导】学生自主预习教材，完成下列各.1.将列各式分解因式（）-3x；（）（5x-1）-3(5x-1)；（）-4；（）x-10x+25.若ab=0，则=0或=0，若xx-3=0，则=0或=0.试求下列方程的根（）（x-7）；（2x+1+2x+1-2）=0.二、探究展示（一）合作探究解方程：x-3x=0解：方程的左边提取公因式x，得.由此得=0或=0即==.归纳：像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解.议一议：请用公式法解方程-3x=0并与上面的因式分解法进行比较，你觉得哪种方法更简单？根据以上解题步骤，组内交流，总结用因式分解法解一元二次方程的基本步骤：将方程化为左边是含未知数的代数式，右边是0的形式；将方程左边分解成两个一次因式；令每个因式等于0；求解.（二）展示提升用因式分解法解下列方程：（）（x-5）；2）2x（5x-1）=35x-1（35-2x）-900=0；（）x-10x+24=0.【知梳】以“本节课我们学到了什么？”启发学生谈谈本节课的收【当检】1.用式分解法解下列方程：（）（x-3）；（）4x-20x+25=0.2.用式分解法解下列方程：（）（x-1）=1-x；（）5x（x+2）=4x+8；（）；（）+6x+8=0.3.用式分解法解下列方程：（）-4x+4=（5-2x）；（）-10（4x-1）-24=0.【学反】通过本节课的学习，你学到了什么？你还有什么样的困惑？你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？17.3

一元二次程根的判别一、预目标1了一元二次方程根的判别式理解为什么能根据它判断一个一元二次方程根的情况。2能一元二次方程根的判别式别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。3在求根公式讨论时能知道应分类讨论。重点：能用一元二次方程根的判别式判断一个一元二次方程根的情况。难点：理解为什么能根据根的判别式判断一个一元二次方程根的情况。二、预展示一元二次方程的一般形式为：。已知方程2x-3x+1=0,则b-4ac=。方程+5x+5=0的的判别式的是：。已知关于x的程x-mx+2=0有个相等的实数根，那么m的值是：。当等时方程2x-6x-(k-4)=0没有实数根。不解方程，判断下列方程根的情况。（）+5y+6=0；2x=3x=1；7t-5t+2=0三、合交流1、完成列推导过程：任何一元二次方程都可以写成一般形式+bx+c=0(a≠0)，移项，得ax+bx=-c,二次项系数化为1，得+

x=-,a配方：+

bbcbx+=-+即aaa

2

，因为a≠，所以4a＞所以（）

时，=

,xa

ac

；(2)当

时，x=x=

a

；（）时方程ax+bx+c=0(a0)没有实数根。2、运用根的判别式的意义，填根的存在情况：（）a≠0且≥时，方程ax+bx+c=0；(2)当a≠且＞时方程ax+bx+c=0；（）a≠0且eq\o\ac(△,)时方程ax+bx+c=0；（）a≠0且＜时，方程ax+bx+c=0。四、课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些知识？请把它写出来：。当堂练习1、不解方程，判断下列二元一方程根的情况。（）-5x-4=0；(2)7t-5t+2=0(3)3y+25=103y2、已知关于x的程x-3x+k=0,问k何值时，这个方程：（）两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？当堂检测1、方程mx-mx+2=0有个相等实数根，则m=。必做题2、方程2x+4x-3=0的的情况。必做)3、关于的方2x-3x++m+1=0有实数根，则的取范围是：。必题4、已：关于x的元二次方程b-c)x+(c-a)x+a-b=0有个相等的实数根。求证：(选做题课下校本作业：1、不解方程判断下列方程根的况：（）4y(y-1)+1=0；(2)0.2x-5=(4)x+0.09=0.6x

x；+4y+35=0；2、求证：关于x的程x+(2k+1)x+k-1=0两个不相等的实数根。3、取什值时，关于x的方程4x-(k+2)x+k-1=0有两相等的实数根？求出这时方程的根。4、关x的元二次方程m-1)x有实数根，求m的取值范围。5、已知方程2x+（k-9）x+(k+3k+4)=0有个相等的实数根，求k的值,并出方程的根。6、关于x的元二次方程ax+bx+c=0(a0)中若a与c异，则方程根的情况是。17.4

一元二次程根与系数关系【习标了解一元二次方程根与系数的关系经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能.重点难点重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用．难点：一元二次方程根与系数的关系的推.【预导】学生自主预习教材，完成下列各.1.一二次方程ax（≠）在-4ac≥条件下，它的为，个式子叫作一元二次方程的求根公.2.对一元二次方程ax+bx+c=0（≠0,时方程有两个

的实数根时有个方程实根【探展】(一合作探究

的实数根

时，问题：我们已经知道，一元二次方程ax（≠）的的值由方程的系数a、b、c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？做一做：（）解方程，再填表：方

程

X

X

X+X

XXX-2x=0

0

2

2

0X+3X-4=0X-5X-6=0由上表猜测：若方程X+bx+c=0的个根为X、，则X+X=,X.X=.（）程X-5X+6=0的个根为X=X=则X-5X+6=，当一元二次方程二次项的系数为1时两根之和等于，根之积等于那二次项的系数不为两之和两根之积与系数的关系又是怎样的呢？动脑筋：对于方程ax+bx+c=0（≠方程的根与它的系数之间有什么关系呢？当△≥时设ax（≠）的两个根为XX，则+bx+c=a（X-XX-X）=a[-（X+X）X.]，又+bx+c=aX+

bca

）于是+

bcaa

=a[X-（X+X）X+X.X]，aa因此

=-（+X=X.X，即X+=-

，.X

a归纳：当△≥0时一元二次方程两根之和等于，根的积等于，个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现.（二）展示提升1.根一元二次方程根与系数的系，求下列方程的两根X、的和积：（）-3X+1=0；（）-3X+2=10；（）-5=X+8；2.已关于X的程X+3X+q=0的个根-，求它的另一个根及q的值【知梳】以“本节课我们学到了什么？”发启学生谈谈本节课的收.【当检】1.（）方程X-4X-1=0的个根为与X则X；（）方程X+5X+6=0的个根为与X，XX；2.设X.X是程3X2+2X-3=0两个根，求下列各式的值：（）+X；

（）.X.3.已关于X的元二次方程X+mX+3=0的个根为-1，它的另一个根及m的值【学反】通过本节课的学习，你学到了什么？你还有什么样的困惑？你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？17.5一元二次方程的应用【习标能根据具体实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解方是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据实际问题的意义，检验方程的解是否合.重点难点重点从际问题中抽出数量关并列方程求解后对方程解的合理性作出解（即方程建模的全过程）.难点：抽象实际问题中的数量关系，对方程解的合理性作出解.教学设计【预导】学生自主预习教材，完成下列各.一元二次方程有哪些解法？我们学过的列方程解应用题，有哪些基本步?【探展】(一合作探究动脑筋：某省农作物秸杆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸杆的合理使用率，若今年的使用率为，计划后年的使用率达到90%，这两年秸