工程力学课件13

§13－1挠曲线、挠度和转角梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为挠度曲线，简称挠曲线。第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算§13－1挠曲线、挠度和转角梁在弯矩作用下发生弯曲变1横截面形心处的铅垂位移，随x而变化，

w＝w（x），称为挠曲线方程

w称为挠度变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角，用表示；§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算。横截面形心处的铅垂位移，随x而变化，变形后的横截面相2在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中3位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。

机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。

§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管4工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。

§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的5力学中的曲率公式数学中的曲率公式§13－2挠曲线的近似微分方程第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算小挠度情形下＜＜1力学中的曲率公式数学中的曲率公式§13－2挠曲线的近似微分6采用向下的w坐标系，有对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算§13－2挠曲线的近似微分方程＝θ采用向下的w坐标系，有对于等截面梁，应用确定7

在固定铰支座和辊轴支座处，边界条件为挠度等于零：

w=0;

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：

w=0，θ＝0。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算边界条件：在固定铰支座和辊轴支座处，边界条件为挠度等于零8

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：

w1=w2，θ1＝θ2

§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算连续性条件：x＝l/4，w1＝w2

x＝l/4，1=2连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲9例题1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算例题1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受10解：1．

确定梁约束力

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

2．

分段建立梁的弯矩方程在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：1．

确定梁约束力因11AB段

解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段

§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算AB段解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段§13－312解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分§1313解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，可由支承处的边界（约束）条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后14解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C15解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w16解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角17确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微18在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的19已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B例题2§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠20解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。§13－4叠加法求21解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。§22解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加23已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C例题3§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠24解：1.

首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：1.为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算25分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。再由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果。

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。解：2．再将26

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算两种情形下自由端的挠度和转角分别为解：2．§13－27解：3．将简单载荷作用的结果叠加

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3．将简单载荷作用的结果叠加§13－4叠加法求梁的变28对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件29对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则：式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根30已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。B§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算例：已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm31解：1．查表B§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算2．满足设计要求，

解：1．查表B§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第1332B代入相关数据：§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算其中：的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），要进行转换。解得：B代入相关数据：§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第133提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算1、减小梁的跨度若跨度缩短10%，最大挠度减小34.4%提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第134提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算三者比值：128：8：12、合理安排梁的约束方式提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第135提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算3、合理安排梁的约束与加载方式最大挠度是集中载荷的37.5%提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第136提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算4、合理选择截面形状用较小的截面，获得较大的惯性矩（工字钢、T形钢、槽钢等）有效提高整体刚度

提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第137提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算5、合理选择材料刚度与弹性模量E成反比各种钢材的Excel差值很小，但强度极限差值很大。

提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第138提高梁强度与刚度的措施§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算1、跨度2、约束位置与形式3、载荷形式及位置4、截面形状5、材料提高梁强度与刚度的措施§13－5梁的刚度条件与合理刚度设39实例：在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，在卡盘与尾架之间增加一个中间支架§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算实例：在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以403-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB§13－6用变形比较法解简单超静定梁第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算3-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAF415－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy§13－6用变形比较法解简单超静定梁第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFBy42应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解这种超静定问题只需1个补充方程。可以写出变形协调方程为FBxBlAMAFAyFAxFBy§13－6用变形比较法解简单超静定梁第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条43应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy§13－6用变形比较法解简单超静定梁第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=044与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为

MBBlAMAql/2ql/2§13－6用变形比较法解简单超静定梁第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种45作业：13－413-8作业：13－446§13－1挠曲线、挠度和转角梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为挠度曲线，简称挠曲线。第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算§13－1挠曲线、挠度和转角梁在弯矩作用下发生弯曲变47横截面形心处的铅垂位移，随x而变化，

w＝w（x），称为挠曲线方程

w称为挠度变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角，用表示；§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算。横截面形心处的铅垂位移，随x而变化，变形后的横截面相48在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中49位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。

机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。

§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管50工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。

§13－1挠曲线、挠度和转角第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的51力学中的曲率公式数学中的曲率公式§13－2挠曲线的近似微分方程第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算小挠度情形下＜＜1力学中的曲率公式数学中的曲率公式§13－2挠曲线的近似微分52采用向下的w坐标系，有对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算§13－2挠曲线的近似微分方程＝θ采用向下的w坐标系，有对于等截面梁，应用确定53

在固定铰支座和辊轴支座处，边界条件为挠度等于零：

w=0;

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：

w=0，θ＝0。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算边界条件：在固定铰支座和辊轴支座处，边界条件为挠度等于零54

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：

w1=w2，θ1＝θ2

§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算连续性条件：x＝l/4，w1＝w2

x＝l/4，1=2连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲55例题1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算例题1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受56解：1．

确定梁约束力

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

2．

分段建立梁的弯矩方程在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：1．

确定梁约束力因57AB段

解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段

§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算AB段解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段§13－358解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分§1359解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，可由支承处的边界（约束）条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后60解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C61解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w62解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角63确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程§13－3积分法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微64在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的65已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B例题2§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠66解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。§13－4叠加法求67解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。§68解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加69已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C例题3§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠70解：1.

首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：1.为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算71分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。再由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果。

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。解：2．再将72

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算两种情形下自由端的挠度和转角分别为解：2．§13－73解：3．将简单载荷作用的结果叠加

§13－4叠加法求梁的变形第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算解：3．将简单载荷作用的结果叠加§13－4叠加法求梁的变74对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件75对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则：式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根76已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。B§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算例：已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm77解：1．查表B§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算2．满足设计要求，

解：1．查表B§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第1378B代入相关数据：§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算其中：的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），要进行转换。解得：B代入相关数据：§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第179提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算1、减小梁的跨度若跨度缩短10%，最大挠度减小34.4%提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第180提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算三者比值：128：8：12、合理安排梁的约束方式提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第181提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的变形与刚度计算3、合理安排梁的约束与加载方式最大挠度是集中载荷的37.5%提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第182提高刚度的途径§13－5梁的刚度条件与合理刚度设计第13章平面弯曲杆件的