31线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件

一.线性方程组一.线性方程组1则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程（3.1.2）则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程（3.1.2）231线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件3能使每个方程变为恒等式的n个数称为方程组的解.具有惟一解的方程组称为确定方程组.具有多于一个解的方程组称为不定方程组.至少有一个解的方程组称为相容的.如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.能使每个方程变为恒等式的n个数4解向量解向量51.下面讨论齐次方程组,在什么条件下在非零解?所以齐次方程组总是相容的.显然齐次方程组总有解二.齐次方程组1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下在非零解?所以齐次方程组6则齐次方程组有非零解的充要条件是:定理3.1.1设A是mn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.推论3.1.2齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件是R(A)=n=A的列数.特别地,当A为方阵时,Ax=0只有零解(有非零解)|A|0(|A|=0)则齐次方程组有非零解的充要条件是:定理3.1.1设A是m7２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明２．齐次线性方程组解的性质（1）若为8（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间S．证毕.（2）若为的解，为实数，则证9因此,若可求出S的一个基则方程组AX=0的通解可以表示为因此,若可求出S的一个基则方程组AX=0的通解可以表示为101.非齐次线性方程组有解的条件三．非齐次线性方程组的解1.非齐次线性方程组有解的条件三．非齐次线性方程组的解1131线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件122.非齐次线性方程组解的性质证明2.非齐次线性方程组解的性质证明13证明证毕．证明证毕．14其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.3.非齐次线性方程组的解的结构定理:定理3.1.11若非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通解为其中15设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为四．齐次线性方程组解空间S的基的求法

设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨于是1631线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件17现对取下列组数：现对取下列18依次得从而求得原方程组的个解：依次得从而求得原方程组的个解：19下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.下面证明是20由于是的解故也是的解.由于是2131线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件2231线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件23

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为

所以是齐次线性方程组解24定理1定理125例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有3.2线性方程组的求解例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩2631线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件2731线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件28例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换例2解线性方程组解对系数矩阵施29即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量30所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为31例3证例3证32例4求解方程组解例4求解方程组解3331线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件3431线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件3531线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件36解例5求下述方程组的解解例5求下述方程组的解37所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组38求基础解系令依次得求基础解系令依次得39求特解所以方程组的通解为故得基础解系求特解所以方程组的通解为故得基础解系40另一种解法另一种解法41则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组42所以方程组的通解为所以方程组的通解为4331线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件44１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵45由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．由于令（2）得出，同时也可46故故47为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==()(48思考题思考题49思考题解答思考题解答5031线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件5131线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件52一.线性方程组一.线性方程组53则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程（3.1.2）则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程（3.1.2）5431线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件55能使每个方程变为恒等式的n个数称为方程组的解.具有惟一解的方程组称为确定方程组.具有多于一个解的方程组称为不定方程组.至少有一个解的方程组称为相容的.如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.能使每个方程变为恒等式的n个数56解向量解向量571.下面讨论齐次方程组,在什么条件下在非零解?所以齐次方程组总是相容的.显然齐次方程组总有解二.齐次方程组1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下在非零解?所以齐次方程组58则齐次方程组有非零解的充要条件是:定理3.1.1设A是mn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.推论3.1.2齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件是R(A)=n=A的列数.特别地,当A为方阵时,Ax=0只有零解(有非零解)|A|0(|A|=0)则齐次方程组有非零解的充要条件是:定理3.1.1设A是m59２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明２．齐次线性方程组解的性质（1）若为60（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间S．证毕.（2）若为的解，为实数，则证61因此,若可求出S的一个基则方程组AX=0的通解可以表示为因此,若可求出S的一个基则方程组AX=0的通解可以表示为621.非齐次线性方程组有解的条件三．非齐次线性方程组的解1.非齐次线性方程组有解的条件三．非齐次线性方程组的解6331线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件642.非齐次线性方程组解的性质证明2.非齐次线性方程组解的性质证明65证明证毕．证明证毕．66其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.3.非齐次线性方程组的解的结构定理:定理3.1.11若非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通解为其中67设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为四．齐次线性方程组解空间S的基的求法

设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨于是6831线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件69现对取下列组数：现对取下列70依次得从而求得原方程组的个解：依次得从而求得原方程组的个解：71下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.下面证明是72由于是的解故也是的解.由于是7331线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件7431线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件75

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为

所以是齐次线性方程组解76定理1定理177例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有3.2线性方程组的求解例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩7831线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件7931线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件80例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换例2解线性方程组解对系数矩阵施81即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量82所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为83例3证例3证84例4求解方程组解例4求解方程组解8531线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件8631线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件8731线性方程组的解的结构32线性方程组的求解课件88解例5求下