导数的四则运算教学课件

函数的和、差、积的导数函数的和、差、积的导数一、复习回顾：3.常见函数的导数公式:(C为常数);⑵⑶⑷2.求函数的导数的方法是:1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.一、复习回顾：3.常见函数的导数公式:练一练:求下列函数的导数(1)y=100(2)y=x5

利用函数的导数公式，得(3)y=4x2+3x(4)y=4x2-3x?练一练:求下列函数的导数利用函数的导数公式，得(3)y=4x二、新课讲授：1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:证:即:二、新课讲授：1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)练一练:求下列函数的导数(1)y=5x2-4x+1(2)y=-5x2+3x+7(4)y=(2+x)(3-x)(5)y=(2x-1)(3x+2)(3)y=x2-cosx练一练:求下列函数的导数(1)y=5x2-4x+1(2)2.积的导数:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即证:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:2.积的导数:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导即:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.(轮流求导之和)即:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,小结：例1

(1)y=(2+x)(3-x)(2)y=(2x2+3)(3x-2)课本p119

练习例1(1)y=(2+x)(3-x)(2)y=(2x2+3例２:求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)例２:求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)猜想:函数f1(X)

·f2(x)

·f3(x)

…fn(x)的导数猜想:函数f1(X)·f2(x)·f3(x)讨论函数f1(x)

+f2(x)+f3(x)+…+fn(x)的导数并证明.讨论函数f1(x)+f2(x)+f3(x)+例３求曲线y=2x+x3在x=-1处的切线方程y=5x+2例３求曲线y=2x+x3在x=-1处的切线方程y=5x+2例

4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点．解:由于,故当x=2时,有最小值.而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12).例4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直五、课堂小结：1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解．解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.五、课堂小结：1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:先化例5

用求导的方法求和:对(1)由求导公式可联想到它是另一个和式x+x2+x3+…+xn的导数.例5用求导的方法求和:对(1)由求导公式例7

已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l

同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(2003天津高考(文)题)(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P

(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12①;函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2

在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即y=-2x2x+x22+a.②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程.例7已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a所以消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合.即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4.(Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线.设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有:x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故线段PQ的中点为:同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.所以消去x2得方程:2四、课堂练习：1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).四、课堂练习：1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4

事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行于l1的另一条切线为l2.(1)求l1、l2的方程;(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线

l3、l4的方程.(3)求l1、l2

、l3、l4所围成的平行四边形的面积.答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是六、作业布置：1、课本P38习题2.3No.1⑷、⑸、⑹；2⑵、⑶；3；5.六、作业布置：1、课本P38习题2.3三、例题讲解：例1

求下列函数的导数:答案:三、例题讲解：例1求下列函数的导数:答案:常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差;就是说：导数运算法则：（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(上导乘下,下导乘上,差比下方)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的例2(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件A(2)下列函数在点x=0处没有切线的是()(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx(C)y=xsinx(D)y=+cosxD(3)若则f(x)可能是下式中的()B(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是()D例2(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命例3

某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.

即t3-12t2+32t=0,

解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例3某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=解:(1)难忘寄园情谢稚柳第一课时难忘寄园情谢稚柳第一课时

谢稚柳几乎是一位全能的艺术家，他精通书画鉴定、美术理论、绘画、书法、诗词等各个艺术领域。就以绘画而论，山水、花鸟、人物、鞍马，他无所不能，且均有独到的艺术成就，可谓博大精深。谢稚柳几乎是一位全能的艺术家，他精通书画鉴定、美术理论、竹鸟图山寺松泉竹竹鸟图山寺松泉竹导数的四则运算教学课件教学目标了解回忆性叙事文的主要特点初步学会按照内容划分文章的段落层次概括中心感受作者对老师的真切感情教学目标了解回忆性叙事文的主要特点检测预习

呵斥敷衍懊丧蕴寓癖好临摹寥寥揶揄悚然悼念伫立鞭策灵柩疾言厉色络绎不绝语重心长娓娓动听茅塞顿开促膝长谈一瓣心香检测预习

呵斥敷衍懊丧蕴寓这是一篇回忆性的记叙文事情发生的地点在寄园“情”是文章的中心内容关于“寄园”为何难忘是怎样的一种感情深入感知研读课题初步感知这是一篇回忆性的记叙文关于“寄园”深入感知研读课题

我在童年和少年时代曾在寄园求学，得到钱名山先生的教诲，令我终生难忘，迄今对他充满感恩和怀念我在童年和少年时代曾在寄园求学，得到钱名山先生的教诲，作文马虎找我谈话夜幕降临促膝长谈欣赏书画先生评画炫耀诗才先生批评寄园读书作文马虎找我谈话夜幕降临促膝长谈欣赏书画先生评画难忘寄园情谢稚柳第二课时难忘寄园情谢稚柳第二课时教学目标了解回忆性文章的特点初步学习细致观察的作用以及实际应用体会先生爱生之心、作者敬师之情教学目标了解回忆性文章的特点回忆性叙事文的特点选择典型事例挖掘重点词语体悟真挚情感回忆性叙事文的特点选择典型事例作文马虎找我谈话夜幕降临促膝长谈熟谙癖好先生评画炫耀诗才先生批评寄园读书给予培养终生受益作文马虎找我谈话夜幕降临促膝长谈熟谙癖好先生评画作文马虎找我谈话（轻轻地）抚摸（温和地）问（语重心长地）说惭愧后悔懊丧从此不敢怠慢严格要求教育有方作文马虎找我谈话（轻轻地）抚摸（温和地）问（语重心长地夜幕降临促膝长谈上下五千年纵横九万里娓娓动听络绎不绝新奇愉快学识渊博寄教于乐夜幕降临促膝长谈上下五千年娓娓动听络绎不绝新奇愉熟谙癖好熟谙学生

迷上了画画爱上了文艺激发兴趣因材施教奉献珍藏给予培养熟谙癖好熟谙学生迷上了画画爱上了文艺激发兴趣因先生评画看沉思寥寥数语一针见血茅塞顿开精益求精见识独到修养深厚终生受益先生评画看沉思寥寥数语一针见血茅塞顿开精益求精见识独到炫耀诗才先生批评淡淡地笑道警勉而略带揶揄惶恐不安发人深省鞭策至今育我成人劝戒警勉炫耀诗才先生批评淡淡地笑道警勉而略带揶揄惶恐不安发人深省鞭策五件小事是从课内写到课外，表现钱先生在课内对学生————，在课外对学生————。五件小事是从课内写到课外，表现钱先生在课内对学生————，在教学目标了解回忆性文章的特点体会先生爱生之心、作者敬师之情初步学习细致观察的作用以及实际应用教学目标了解回忆性文章的特点拓展阅读《父亲的爱》概括说明本文写了有关爹的哪几件事通过这些具体的事例，说明父亲的爱具有怎样的特点拓展阅读《父亲的爱》概括说明本文写了有关爹的哪几件事再见再见函数的和、差、积的导数函数的和、差、积的导数一、复习回顾：3.常见函数的导数公式:(C为常数);⑵⑶⑷2.求函数的导数的方法是:1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.一、复习回顾：3.常见函数的导数公式:练一练:求下列函数的导数(1)y=100(2)y=x5

利用函数的导数公式，得(3)y=4x2+3x(4)y=4x2-3x?练一练:求下列函数的导数利用函数的导数公式，得(3)y=4x二、新课讲授：1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:证:即:二、新课讲授：1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)练一练:求下列函数的导数(1)y=5x2-4x+1(2)y=-5x2+3x+7(4)y=(2+x)(3-x)(5)y=(2x-1)(3x+2)(3)y=x2-cosx练一练:求下列函数的导数(1)y=5x2-4x+1(2)2.积的导数:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即证:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:2.积的导数:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导即:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.(轮流求导之和)即:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,小结：例1

(1)y=(2+x)(3-x)(2)y=(2x2+3)(3x-2)课本p119

练习例1(1)y=(2+x)(3-x)(2)y=(2x2+3例２:求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)例２:求下列函数的导数Y=(x+1)(x+2)(x+3)猜想:函数f1(X)

·f2(x)

·f3(x)

…fn(x)的导数猜想:函数f1(X)·f2(x)·f3(x)讨论函数f1(x)

+f2(x)+f3(x)+…+fn(x)的导数并证明.讨论函数f1(x)+f2(x)+f3(x)+例３求曲线y=2x+x3在x=-1处的切线方程y=5x+2例３求曲线y=2x+x3在x=-1处的切线方程y=5x+2例

4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点．解:由于,故当x=2时,有最小值.而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12).例4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直五、课堂小结：1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解．解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.五、课堂小结：1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；2:先化例5

用求导的方法求和:对(1)由求导公式可联想到它是另一个和式x+x2+x3+…+xn的导数.例5用求导的方法求和:对(1)由求导公式例7

已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l

同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(2003天津高考(文)题)(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P

(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12①;函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2

在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即y=-2x2x+x22+a.②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程.例7已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a所以消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合.即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4.(Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线.设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有:x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a.故线段PQ的中点为:同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.所以消去x2得方程:2四、课堂练习：1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).四、课堂练习：1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4

事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行于l1的另一条切线为l2.(1)求l1、l2的方程;(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线

l3、l4的方程.(3)求l1、l2

、l3、l4所围成的平行四边形的面积.答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是六、作业布置：1、课本P38习题2.3No.1⑷、⑸、⑹；2⑵、⑶；3；5.六、作业布置：1、课本P38习题2.3三、例题讲解：例1

求下列函数的导数:答案:三、例题讲解：例1求下列函数的导数:答案:常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差;就是说：导数运算法则：（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(上导乘下,下导乘上,差比下方)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数两个函数的和或差的例2(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件A(2)下列函数在点x=0处没有切线的是()(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx(C)y=xsinx(D)y=+cosxD(3)若则f(x)可能是下式中的()B(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是()D例2(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命例3

某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.

即t3-12t2+32t=0,

解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例3某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=解:(1)难忘寄园情谢稚柳第一课时难忘寄园情谢稚柳第一课时

谢稚柳几乎是一位全能的艺术家，他精通书画鉴定、美术理论、绘画、书法、诗词等各个艺术领域。就以绘画而论，山水、花鸟、人物、鞍马，他无所不能，且均有独到的艺术成就，可谓博大精深。谢稚柳几乎是一位全能的艺术家，他精通书画鉴定、美术理论、竹鸟图山寺松泉竹竹鸟图山寺松泉竹导数的四则运算教学课件教学目标了解回忆性叙事文的主要特