合情推理教案

第2章推理与证明§合情推理与演绎推理2．合情推理课时目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理(1)定义：从__________中推演出__________的结论，这样的推理称为归纳推理．(2)思维过程eq\x()→eq\x()→eq\x()2．类比推理(1)定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的________或________，推演出它们在其他方面也__________或________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)思维过程eq\x(观察、比较)→eq\x(联想、类推)→eq\x(猜测新的结论)3．合情推理的含义合情推理是根据已有的事实和正确的结论，___________________________________等推测出某些结果的推理过程．____________和____________是数学活动中常用的合情推理．一、填空题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为________．2．如图由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有______根；第n个图形中，火柴杆有________根．3．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，通过计算a2，a3的值，猜想an＝________.4．在等差数列{an}中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________________________________成立．5．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是____________________．6．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为______________________________________．7．设n≥2，n∈N，(2x＋eq\f(1,2))n－(3x＋eq\f(1,3))n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T4＝0，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，Tn，…，其中Tn＝______________.8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________________”；这个类比命题的真假性是__________．二、解答题9．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，试求f(n)．10.观察①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．能力提升11．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，用n表示出f(n)．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答案知识梳理1．(1)个别事实一般性(2)实验、观察概括、推广猜测一般性结论2．(1)相似相同相似相同3．实验和实践的结果以及个人的经验和直觉归纳推理类比推理作业设计1．32解析∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x－20＝12，∴x＝32.2．133n＋13．n2解析计算得a2＝4，a3＝9.∴猜想an＝n2.4．b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)解析eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．6．12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0(n为偶数),\f(1,2n)－\f(1,3n)(n为奇数)))解析观察Tn表达式的特点可以看出T2＝0，T4＝0，……，∴当n为偶数时，Tn＝0；又∵T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，……，∴当n为奇数时，Tn＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n).8．夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题9．解∵f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n个圆相交，则增加2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n，亦即f(n＋1)－f(n)＝2n，又f(1)＝2，由递推公式得f(2)－f(1)＝2×1，f(3)－f(2)＝2×2，f(4)－f(3)＝2×3，……，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．将以上n－1个等式累加得f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2.10．解观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝eq\f(π,2)且α，β，γ都不为kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，得α＋β＝eq\f(π,2)－γ，所以tan(α＋β)＝eq\f(1,tanγ).又因为tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanα·tanβ)＝eq\f(1,tanγ)(1－tanα·tanβ)，所以tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanαtanβ＋tanγ(tanα＋tanβ)＝tanαtanβ＋tanγ·eq\f(1,tanγ)(1－tanαtanβ)＝1.综上所述，等式成立．11．962解析观察得：式子中所有项的系数和为1，∴m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝29＝512，∴n＝－400，∴m－n