4操作臂动力学课件

第五章操作臂动力学

1动力学方程概念*力/力矩与位置、速度、加速度的方程式力/力矩为输入量与关节位移、速度、加速度为输出量的关系式

*多输入和多输出系统---复杂的耦合关系

2建立动力学方程的方法:(1)牛顿—欧拉法采用牛顿第二定律得到输入转矩和输出运动之间的关系,直观求解量较大。

(2)拉格朗日法功能平衡法，只求速度不求内力方程简洁、求解较方便。第五章操作臂动力学1动力学方程1一、思路刚体的运动刚体质心的移动刚体绕质心的转动牛顿方程欧拉方程牛顿—欧拉方程动力学方程牛顿第二定律力和动量力矩和动量矩5.3操作臂动力学分析基础-

牛顿欧拉算法一、思路刚体的运动刚体质心的移动刚体绕质心的转动牛顿方程欧拉2刚体质心的移动刚体绕质心的转动动力学方程刚体质心的移动刚体绕质心的转动动力学方程3二、连杆惯性张量5.3动力学分析基础——为连杆Li的惯性张量。

连杆依质心转动的动量矩二、连杆惯性张量5.3动力学分析基础——4连杆惯性张量6.2动力学分析基础对x，y，z轴的惯性矩惯性积连杆惯性张量6.2动力学分析基础对x，y，z轴的惯性矩5七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体的运动刚体质心的移动刚体绕质心的转动牛顿方程欧拉方程牛顿—欧拉方程动力学方程牛顿第二定律力和动量力矩和动量矩七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体的运动刚体质心的移6七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S绕B轴的旋转惯性矩Il,m,n---为刚体转轴的方向余弦Mj---

Pj的质量rj---

点Pj对B轴的旋转半径七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S绕B轴的旋转惯性7七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体对于惯性主轴的惯性矩Im刚体S绕x、y、z轴的惯性矩刚体S绕坐标系的惯性积七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体对于惯性主轴的惯性8七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S所受的相对于随行

的外力矩M为：在移动和转动的刚体S上任选固定在刚体上的一点O，将基准坐标系原点移至O点上成为随行

，随行

随S移动，但不随S转动，以便考察S相对

的转动运动.七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S所受的相对于随行9七、欧拉方程6.2动力学分析基础随行坐标系原点不动

的三轴方向和S的惯性主轴方向一致刚体转动动力学性能的欧拉方程主惯性张量：刚体S受外力矩M七、欧拉方程6.2动力学分析基础随行坐标系原点不动106.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立机器人牛顿—欧拉动力学的递推计算公式

所有力学变量均定义于一个基准坐标系中

作用于第i号杆件质心上的力及力矩，质心线加速度都是相对于坐标系描述的矢量

从构件1到构件n计算各构件的速度和加速度，并对每个构件应用牛顿—欧拉方程，初始条件是机座的确定运动

从构件n到构件1计算各关节的驱动力和反力，初始条件是已知构件n所受的力及力矩

6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立机器人牛顿—欧拉动力116.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——描述连杆Li动力学性能的方程组

vi连杆Li作为力学隔离体质心的移动用牛顿方程绕质心的转动用欧拉方程1.坐标系形式牛顿—欧拉方程

6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——描述连杆Li动力126.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立L1连杆的牛顿欧拉方程组

2.封闭形式的动力学方程L2连杆的牛顿欧拉方程组

两个自由度的机器人手臂6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立L1连杆的牛顿欧拉方136.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——两个自由度的机器人手臂的牛顿－欧拉显式方程2.封闭形式的动力学方程它给出了关节转矩和以机器手臂位姿为参数的各关节角速度和角加速度之间的动力学关系。6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——两个自由度的机器146.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器人手臂的牛顿－欧拉普遍方程2.封闭形式的动力学方程式中变参数Dij，Dijk，Di都是各关节角位移和构件尺寸的函数。两自由度手臂的牛顿－欧拉方程：6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器156.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立2.封闭形式的动力学方程所有上述系数都和机器人的终端位姿及整机形态有关，这些系数都是变系数。机器人作为多刚体动力学系统，它的牛顿－欧拉方程组中各个变量并不都是独立的。为了得到机器人动力学系统中各关节输入转矩和各关节角位移运动输出之间的显式关系，需要作代数消元和矢量运算。6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立2.封闭形式的动力学166.4机器人拉格朗日动力学方程的建立机器人动力学系统的拉格朗日动力学方程的普遍形式机器人动力学方程

牛顿－欧拉方程

拉格朗日方程

各个连杆的力矩平衡

系统的动能和势能拉格朗日函数L＝T－P

6.4机器人拉格朗日动力学方程的建立机器人动力学系统的拉格176.4.1连杆系统动力学方程的建立1.动能与势能连杆l1的动能

、势能连杆l2的动能、势能6.4.1连杆系统动力学方程的建立1.动能与势能连杆l186.4.1连杆系统动力学方程的建立2.拉格朗日算子拉格朗日算子---L=T-P由求得的---T1、P1、T2、P2

得:6.4.1连杆系统动力学方程的建立2.拉格朗日算子拉格朗196.4.1连杆系统动力学方程的建立3.动力学方程6.4.1连杆系统动力学方程的建立3.动力学方程20两关节上的驱动力矩n11、n22

两关节上的驱动力矩n11、n2221写成D形式:上式的构造和两自由度手臂的牛顿－欧拉方程相似。事实上，对同一机器人动力学系统其牛顿欧拉动力学方程和拉格朗日方程相同。写成D形式:上式的构造和两自由度手臂的牛顿－欧拉方程226.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器人手臂的牛顿－欧拉普遍方程2.封闭形式的动力学方程式中变参数Dij，Dijk，Di都是各关节角位移和构件尺寸的函数。两自由度手臂的牛顿－欧拉方程：6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器236.4.2机器人动力学方程的建立1.计算任意连杆上任意一点的速度

2.动能

3.势能

4.拉格朗日算子

5.动力学方程

6.4.2机器人动力学方程的建立1.计算任意连杆上任意一246.4.2机器人动力学方程的建立1.机器人臂上一点的速度速度速度的平方6.4.2机器人动力学方程的建立1.机器人臂上一点的速度256.4.2机器人动力学方程的建立2.动能质量为dm的质点的动能

连杆Li的动能

积分机器人手臂的动能

N个运动连杆驱动和传动元件的动能

与构件有相对运动机构的总动能和6.4.2机器人动力学方程的建立2.动能质量为dm的质点266.4.2机器人动力学方程的建立3.势能连杆Li的势能重力加速度矢量总势能6.4.2机器人动力学方程的建立3.势能连杆Li的势能276.4.2机器人动力学方程的建立4.拉格朗日算子动力学方程6.4.2机器人动力学方程的建立4.拉格朗日算子动力学方286.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程6.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程296.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程将下标p和i换成i和j

改变求和顺序6.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程将下标p和306.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程惯性力和重力载荷对机器人的控制特别重要，他们影响伺服系统的稳定性和位置精度。向心力和哥氏力，只在高速运动时重要的。但它们产生的误差不大。6.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程惯性31存在外力、外力矩的机械手拉格朗日动力学方程式

各关节驱动力矩矢量终端位姿广义外力

(无外力)存在外力、外力矩的机械手拉格朗日动力学方程式各关节驱动力矩32一、广义坐标描述动力学系统的一组独立变量---系统状态设N个质点系统---具有S个约束方程6.2动力学分析基础3N个坐标K=3N-S个独立（系统自由度）一、广义坐标描述动力学系统的一组独立变量---系统状态6.233一、广义坐标6.2动力学分析基础选K个独立参数这k个决定质点系统位置的独立参数，称为系统的广义坐标——自由度数。

一、广义坐标6.2动力学分析基础选K个独立参数这k个决34二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础在非自由质点系中，---质点位移受到约束限制.在给定瞬时，约束所允许的各质点任何无限小的位移，称为虚位移。位移实位移虚位移力、初始条件及时间约束的性质二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础在非自由质点35二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础质点系统的虚位移由各质点的虚位移组成。在广义坐标系中，各质点的虚位移也可以用广义坐标的变分(称为广义虚位移)来表示。二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础质点系36二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础虚位移与广义坐标虚微分二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础虚位移与广义37二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础系统平衡时处于平衡状态的质点系统，作用在系统上外力的虚功之和为零，这就是虚功原理。虚功为零质点系是刚体或相接触的刚体集合

内力的虚功和为零

二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础系统平衡时38三、广义外力6.2动力学分析基础内力的虚功和为零称为广义坐标的广义外力。三、广义外力6.2动力学分析基础内力的虚功和为零称39四、达朗伯原理6.2动力学分析基础——达朗伯原理的符号表达式。

达朗伯原理——将动力学问题在形式上化为静力学问题来进行求解，这种方法称为动静法。达朗伯原理与虚位移原理结合——动力学方程质点i的动力学平衡方程内力的虚功和为零

质点系虚位移四、达朗伯原理6.2动力学分析基础——达朗伯原理的符40四、达朗伯原理6.2动力学分析基础——达朗伯原理的力学表达式。成立的唯一条件

四、达朗伯原理6.2动力学分析基础——达朗伯原理的力41五、拉格朗日方程6.2动力学分析基础

1.合力是有势力，质点系具有势能势能是各质点坐标的函数质点位置以广义坐标来决定与广义速度无关

力在直角坐标上的投影等于势能对相应坐标的负偏导数五、拉格朗日方程6.2动力学分析基础1.合力42五、拉格朗日方程6.2动力学分析基础——拉格朗日方程。

1.合力是有势力，质点系具有势能定义拉格朗日函数

L=T-P五、拉格朗日方程6.2动力学分析基础——拉格朗日方程。43五、拉格朗日方程6.2动力学分析基础

2.广义外力中同时含有和广义坐标系有关而和广义速度无关的有势力P

，以及部分其它广义力——拉格朗日方程。五、拉格朗日方程6.2动力学分析基础2.广义外44第五章操作臂动力学

1动力学方程概念*力/力矩与位置、速度、加速度的方程式力/力矩为输入量与关节位移、速度、加速度为输出量的关系式

*多输入和多输出系统---复杂的耦合关系

2建立动力学方程的方法:(1)牛顿—欧拉法采用牛顿第二定律得到输入转矩和输出运动之间的关系,直观求解量较大。

(2)拉格朗日法功能平衡法，只求速度不求内力方程简洁、求解较方便。第五章操作臂动力学1动力学方程45一、思路刚体的运动刚体质心的移动刚体绕质心的转动牛顿方程欧拉方程牛顿—欧拉方程动力学方程牛顿第二定律力和动量力矩和动量矩5.3操作臂动力学分析基础-

牛顿欧拉算法一、思路刚体的运动刚体质心的移动刚体绕质心的转动牛顿方程欧拉46刚体质心的移动刚体绕质心的转动动力学方程刚体质心的移动刚体绕质心的转动动力学方程47二、连杆惯性张量5.3动力学分析基础——为连杆Li的惯性张量。

连杆依质心转动的动量矩二、连杆惯性张量5.3动力学分析基础——48连杆惯性张量6.2动力学分析基础对x，y，z轴的惯性矩惯性积连杆惯性张量6.2动力学分析基础对x，y，z轴的惯性矩49七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体的运动刚体质心的移动刚体绕质心的转动牛顿方程欧拉方程牛顿—欧拉方程动力学方程牛顿第二定律力和动量力矩和动量矩七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体的运动刚体质心的移50七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S绕B轴的旋转惯性矩Il,m,n---为刚体转轴的方向余弦Mj---

Pj的质量rj---

点Pj对B轴的旋转半径七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S绕B轴的旋转惯性51七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体对于惯性主轴的惯性矩Im刚体S绕x、y、z轴的惯性矩刚体S绕坐标系的惯性积七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体对于惯性主轴的惯性52七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S所受的相对于随行

的外力矩M为：在移动和转动的刚体S上任选固定在刚体上的一点O，将基准坐标系原点移至O点上成为随行

，随行

随S移动，但不随S转动，以便考察S相对

的转动运动.七、欧拉方程6.2动力学分析基础刚体S所受的相对于随行53七、欧拉方程6.2动力学分析基础随行坐标系原点不动

的三轴方向和S的惯性主轴方向一致刚体转动动力学性能的欧拉方程主惯性张量：刚体S受外力矩M七、欧拉方程6.2动力学分析基础随行坐标系原点不动546.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立机器人牛顿—欧拉动力学的递推计算公式

所有力学变量均定义于一个基准坐标系中

作用于第i号杆件质心上的力及力矩，质心线加速度都是相对于坐标系描述的矢量

从构件1到构件n计算各构件的速度和加速度，并对每个构件应用牛顿—欧拉方程，初始条件是机座的确定运动

从构件n到构件1计算各关节的驱动力和反力，初始条件是已知构件n所受的力及力矩

6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立机器人牛顿—欧拉动力556.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——描述连杆Li动力学性能的方程组

vi连杆Li作为力学隔离体质心的移动用牛顿方程绕质心的转动用欧拉方程1.坐标系形式牛顿—欧拉方程

6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——描述连杆Li动力566.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立L1连杆的牛顿欧拉方程组

2.封闭形式的动力学方程L2连杆的牛顿欧拉方程组

两个自由度的机器人手臂6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立L1连杆的牛顿欧拉方576.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——两个自由度的机器人手臂的牛顿－欧拉显式方程2.封闭形式的动力学方程它给出了关节转矩和以机器手臂位姿为参数的各关节角速度和角加速度之间的动力学关系。6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——两个自由度的机器586.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器人手臂的牛顿－欧拉普遍方程2.封闭形式的动力学方程式中变参数Dij，Dijk，Di都是各关节角位移和构件尺寸的函数。两自由度手臂的牛顿－欧拉方程：6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器596.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立2.封闭形式的动力学方程所有上述系数都和机器人的终端位姿及整机形态有关，这些系数都是变系数。机器人作为多刚体动力学系统，它的牛顿－欧拉方程组中各个变量并不都是独立的。为了得到机器人动力学系统中各关节输入转矩和各关节角位移运动输出之间的显式关系，需要作代数消元和矢量运算。6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立2.封闭形式的动力学606.4机器人拉格朗日动力学方程的建立机器人动力学系统的拉格朗日动力学方程的普遍形式机器人动力学方程

牛顿－欧拉方程

拉格朗日方程

各个连杆的力矩平衡

系统的动能和势能拉格朗日函数L＝T－P

6.4机器人拉格朗日动力学方程的建立机器人动力学系统的拉格616.4.1连杆系统动力学方程的建立1.动能与势能连杆l1的动能

、势能连杆l2的动能、势能6.4.1连杆系统动力学方程的建立1.动能与势能连杆l626.4.1连杆系统动力学方程的建立2.拉格朗日算子拉格朗日算子---L=T-P由求得的---T1、P1、T2、P2

得:6.4.1连杆系统动力学方程的建立2.拉格朗日算子拉格朗636.4.1连杆系统动力学方程的建立3.动力学方程6.4.1连杆系统动力学方程的建立3.动力学方程64两关节上的驱动力矩n11、n22

两关节上的驱动力矩n11、n2265写成D形式:上式的构造和两自由度手臂的牛顿－欧拉方程相似。事实上，对同一机器人动力学系统其牛顿欧拉动力学方程和拉格朗日方程相同。写成D形式:上式的构造和两自由度手臂的牛顿－欧拉方程666.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器人手臂的牛顿－欧拉普遍方程2.封闭形式的动力学方程式中变参数Dij，Dijk，Di都是各关节角位移和构件尺寸的函数。两自由度手臂的牛顿－欧拉方程：6.3机器人牛顿－欧拉动力学方程的建立——N个自由度的机器676.4.2机器人动力学方程的建立1.计算任意连杆上任意一点的速度

2.动能

3.势能

4.拉格朗日算子

5.动力学方程

6.4.2机器人动力学方程的建立1.计算任意连杆上任意一686.4.2机器人动力学方程的建立1.机器人臂上一点的速度速度速度的平方6.4.2机器人动力学方程的建立1.机器人臂上一点的速度696.4.2机器人动力学方程的建立2.动能质量为dm的质点的动能

连杆Li的动能

积分机器人手臂的动能

N个运动连杆驱动和传动元件的动能

与构件有相对运动机构的总动能和6.4.2机器人动力学方程的建立2.动能质量为dm的质点706.4.2机器人动力学方程的建立3.势能连杆Li的势能重力加速度矢量总势能6.4.2机器人动力学方程的建立3.势能连杆Li的势能716.4.2机器人动力学方程的建立4.拉格朗日算子动力学方程6.4.2机器人动力学方程的建立4.拉格朗日算子动力学方726.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程6.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程736.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程将下标p和i换成i和j

改变求和顺序6.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程将下标p和746.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程惯性力和重力载荷对机器人的控制特别重要，他们影响伺服系统的稳定性和位置精度。向心力和哥氏力，只在高速运动时重要的。但它们产生的误差不大。6.4.2机器人动力学方程的建立5.动力学方程惯性75存在外力、外力矩的机械手拉格朗日动力学方程式

各关节驱动力矩矢量终端位姿广义外力

(无外力)存在外力、外力矩的机械手拉格朗日动力学方程式各关节驱动力矩76一、广义坐标描述动力学系统的一组独立变量---系统状态设N个质点系统---具有S个约束方程6.2动力学分析基础3N个坐标K=3N-S个独立（系统自由度）一、广义坐标描述动力学系统的一组独立变量---系统状态6.277一、广义坐标6.2动力学分析基础选K个独立参数这k个决定质点系统位置的独立参数，称为系统的广义坐标——自由度数。

一、广义坐标6.2动力学分析基础选K个独立参数这k个决78二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基础在非自由质点系中，---质点位移受到约束限制.在给定瞬时，约束所允许的各质点任何无限小的位移，称为虚位移。位移实位移虚位移力、初始条件及时间约束的性质二、虚位移和虚功原理6.2动力学分析基