电动力学-第零章数学准备

直角坐标系中：A

AxexAyey

AAyxxA2yzAAx方向余弦：cos cos cos cos2cos2cos2单位矢量：A

cos

ey 加法：满足平行四边形法则（或三角形法则A A

BABB

A

AB

(AB)CA(B标积：ABAB

（结果为标量 矢量A与单位矢量e的标积等于A在e ABB A(BC)ABA AB ABABsin

A与B

A(BC)ABA ABB

(结果为标量

A(BC)

A(BCsin) 三矢量ABC A(BC)B(CA)C(AB)A(CB)B(AC)C(B

A(B

A(BC)必在B与 构成的平面上，可表示为B与C的 A(BC)(AC)B(A

(BC)AA(BC)(AB)C(A注意：ABC)AB d(AB)

A d(A B)AdBdA 场

(x,y,z,t)(x,

时间坐标 A(x,y,z,t)A(x,

函数来

(x,

A(x, (x,y,z)常数的曲设(x,y,z)点，沿线元dl，标量场(x,y,z)的数值改变 则(x,y,z)点沿dl方向的方向导数为 梯度：若在标量场(x,yz)的一点(x,yz处，存在矢量G，化率值，则称矢量G为标量场在该点的梯度。记做grad,grad

x y z方向导数和梯度的关系：标量场中某点沿线元dl 向导数等于该点梯度沿dl方向的投影。

(grad) grad

dgraddl

矢量微分算子eyeyez

ex ey ez

A

eAe

e

x

x

y

zz

Ay Az

AxA

exy

zey

ez

xy 22 2

x2y2 r为由源点x指向场点x的矢量，证明：rrr求通量：矢量场A沿有向曲面S的积分SA

场A穿过曲面S的通量。（穿过有向曲面的矢量线数目A通过闭合曲面S

SS 散度：设M为矢量场A中的一点，取包含MV，V的表面为S。当V以任意方缩向M（V）A通过表面S的通量SAdSV之比的极限值称为矢量场A在M点的散度，记作divA，或AdivAV

SASAdS

V A

divA V

V

r1.求r求r (r求

AA环量：矢量场A沿有向闭合曲线L的线积分A称为矢量场A沿有向闭合曲线L的环量 若矢量场A沿任一闭合曲线L环量面密度：设M为矢量场A中一点，在M处取定一个方n，过M且以n为法矢作一微小曲面SS的周界为（L绕行方向和n成右手螺旋关系）。当S在保持以n为法矢的下，以任意方式缩向M点时，矢量场A沿n的环量LAdL与面积S之比的极限值称为矢量场A在M点沿 lim

A S 旋度：若矢量场A中一点M处存在一矢量R，其方向为矢密度值，则称矢量R为矢量场A在该点的旋度，记作： ，或 n的环量面密度等于该点旋度在n方向的投影。即： lim

AdL

LS 或

当S 时，

LAdL(rotA)LAdL(A) AdL

(A)

(A) (rotA)nlim

lim

(A)

rotA求证

AA

A即若F0，则F 称为无旋场F的标势函数即若F0，则FAA称为无源场F任意的矢量场（F0，F0）均可以分解为无旋场 和无源场F2之和，即FF1

F10，F20F1又称为F的纵场部分，可引入标

F2FA，F2AV VA(x) 在V Af(S 在SSA VLAdlL

dS（2

第二公

()dS（2

dS S

dVV

*可以是,A,Adl dS*

dSVdV

SdSAVdV LdlAS(dS)

dlA（dS） 常用运算公式：算符常用公算符常用公）微分性：两因子乘积的微分拆成两项 AA(A)A

（作用在需微分的因子上 (AB)(A ABABABBAB AA2 A复合函数的三 有关r的运算公 u是空间坐(xyz)的函

xx(xx)ex(yyrrrr

(zzfudf

rrrr Auu

r r

（rAuu

2 4xr r arar点P的位置坐标为(u1u2u3)，(e1e2e3有向线元：dl

h,

h

＋

＋

dV

h2u

A11

[

(h3h1A2) 3

h2

Ah1h2

h2 h3

2

[ (h2h3) (

)

(h1h2

u1x u2y u3zh1h2h31 ex ey ez Axy

Ay

A

AA

ex z ey x zez x z x y 2 2 u1rh1

u2h2

u3zh311 r r z 1 A

r

(rAr)

r A

2 1 12 ) r r2 u1h1

u2h2

u31rsin1rsin1

r

r

rsin rA r

r Ar)

rsin

rsin A

r2sin rsin 2

r

r

) (sin ) sin

xxa

x xadx a0 xx0xx0yy0zz0

x

xx