4.4 数学归纳法 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版)

数学归纳法1数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件，推出只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法PS用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.2数学归纳法的运用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.在运用数学归纳法证明时要注意以下几点①第一步归纳奠基中的n0不一定是1②当证明从n=k到③在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论④要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.【题型一】对数学归纳法的理解【典题1】用数学归纳法证明“2n>n+2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值【典题2】用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”A．假设n=k(k∈N*)B．假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立C．假设n=2k+1(k∈N*))D．假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立【典题3】用数学归纳法证明：1+12+n=k+1成立时，左边增加的项数是.巩固练习1(★)用数学归纳法证明不等式12+13A．第一步应该验证当n=1时不等式成立 B．从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是12C．从“n=k到n=k+1”左边需要增加(2k-1D．从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项2(★)用数学归纳法证明2n≥n2A．n=k≥2时，2k≥k2 BC．n=k≥4时，2k≥k2 D．3(★)用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+⋅⋅⋅+1A．13k+4B．13k+4-1k+1C．14(★)用数学归纳法证明“(3n+1)×7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1A．3×7k+6 B．3×7k+1+6【题型二】等式的证明【典题1】用数学归纳法证明：1+2+3+⋯+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N【典题2】观察下列等式：13=1；13+2(1)请写出第5个、第6个等式，猜想出第n(n∈N(2)用数学归纳法证明你的猜想．巩固练习1(★★)证明：11×22(★★)证明(3×3(★★)证明：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=4(★★★)给出下列等式：31×2×131×2×131×2×1…(1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论．5(★★★)证明tanα∙tan2α+tan2α∙tan3α+…+【题型三】不等式的证明【典题1】已知前三个式子分别为：1+122<32，照此规律，写出第n个不等式，并证明．【典题2】证明：当n≥2,n∈N时，1【典题3】证明：sin⁡(nα)≤n巩固练习1(★★)证明：12+12(★★)当n≥2，n∈N*时，求证：13(★★)证明：1+14(★★★)设an=1×2+2×35(★★★)已知a>0，b>0，n>1，n∈N*．证明：【题型四】数列与数学归纳法【典题1】已知数列{an}的前n(1)计算a1,a2,a3【典题2】设正项数列{an}满足a1=1，a【典题3】由正实数组成的数列{an}满足an2【典题4】已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1证明an巩固练习1(★★)在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+12(★★)已知数列{an}的前n项和Sn，且(1)求a1,a2,3(★★★)已知数列{an}满足a1=(1)计算a2(2)猜想数列{a4(★★★)已知数列{xn}满足x(1)猜想数列{x(2)证明：|x5(★★★★)设数列{an}满足a(1)当a1=2时，求a2(2)当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a【题型五】整除问题【典题1】用数学归纳法证明：2n+2×3n巩固练习1(★★)用数学归纳法证明：n3+5n(n∈N2(★★)用数学归纳法证明：1+2+22+…+3(★★)证明：对一切正整数n，5n+2×3【题型六】其他应用【典题1】平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线，猜想f(n)的表达式并给出证明；(2)求证：这n条直线把平面分成sn【典题2】若已知ln(1x+1)>1x+1巩固练习1(★★)平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2－n+22(★★)如图，曲线C：xy=1(x>0)与直线l：y=x相交于A1，作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1(1)写出点A1、A(2)猜想An3(★★)设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0,2π)．(1)用数学归纳法证明：cosθ+isinθn(2)已知z=3-i，试利用(1)的结论计算4(★★)如图，平面上已有一个边长为1的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右