习题：空间中直线与直线之间的位置关系

eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()．A．异面 B．相交C．不相交 D．不平行解析和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行．答案D2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()．A．全等 B．相似C．仅有一个角相等 D．全等或相似解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D.答案D3．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．A．2对B．3对C．6对D．12对解析如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线．答案C4．下列命题不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．解析命题①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，对于命题④，异面直线不具有传递性．答案①②④5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________．解析如图B1D与CC1所成的角为∠BB1D.∵△DBB1为直角三角形．∴tan∠BB1D＝eq\f(BD,BB1)＝eq\r(2).答案eq\r(2)6．如图，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，P是面A1C1上的一点，过点P如何画一条直线和棱AB平行？过点P如何画一条直线和BD平行？解如图，过点P在面A1C1内作直线l∥A1B1，由于A1B1∥AB，∴l∥AB，l即为所画直线．连接B1D1，若P∈B1D1，∵BB1綉DD1，∴BD∥B1D1，B1D1即为所画直线．若P∉B1D1，过点P作直线l1∥B1D1，∵B1D1∥BD，∴l1∥BD.∴l1为平面A1C1内过点P且与BD平行的直线．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是()．A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行解析∵a⊂α，c⊂α，∴a与c相交或平行．同理，b与c相交或平行．若c∥a，c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾．∴a，b不能都与c平行，即直线a，b中至少有一条与c相交．答案B8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的为()．A．①②B．③④C．②③D．①③解析根据正方体平面展开图还原出原来的正方体，如图所示，由图可知AB⊥EF，AB∥CM，EF与MN是异面直线，MN⊥CD，只有①③正确．答案D9．(2022·菏泽高一检测)如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．解析①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．答案②④10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．解析由于EF∥A1B，GH∥BC1，所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角，由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.答案60°11．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AO,OA′)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9).12．(创新拓展)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别为CC1、AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值．解取D1C1的中点M，连接OM，OF，因为OFOM＝FD1＝eq\r(DF2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋a2)＝eq\f(\r(5),2)a，ME＝eq\r(MC\o\al(2,1)＋C1E2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.OE＝eq\r(OC2＋CE2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)a.所以OE2＋ME2＝OM2＝eq\f(5,4)a2