数据统计与分析-第11讲

第数据数据统计与分讲参考：《概率论与数理统计高新祖编大1

点估计区间估计

7-参数是刻画总体例如，X~N(,若2未知通过构造样本的函数给出§7.1点估计的思想方设总体X的分布函数的形式已知但含有一个或多个未知参数：1,2,,kX1X2Xnk

7-1(X12(X1

X2X2

XnXn k(X1

X2

Xn当测得样本值(x1x2xn)时,代入上述方程组，即可得到k个数：

7-1ˆ1

,

,,xn2ˆ2

,

,,xnkˆk

,

,,xn1

1

,,,,k

1

三种常用的点估计方

7-nA

利用事件Ann作为事件ApnAp7-例1设总体X~N2在对其作28独立观察中X4”出现了21次试用频率替换法求参数的估计值.解由P

4)

(4)21

0.75

42

280.675

3.045

7-方 方用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量建立含有待估参数的方程,一般,不论总体服从什么分布,与方差2存在1 1 nn

Xini1n

nin

(Xi

X)2

S

7-Xn

XinnA2

nXininXi

E(X2 2E(X2)E2(X

A2

1 1 ni1

X (i

X)2

S

1

2,,

7-rE(

r)

r(1,2,,kX1令

2Xnr

nXininXir(1

2,,k

nrinnri

r1,2,,1,2,k(X(X,X112,Xn(X,Xk12,Xn1,1(1(x,xˆ112,xnk(x,xˆk12,xn

7-1,的7-例2X~N,2X1X2Xn为总体的样本,,2的矩法估计量.解ˆ22

nXXininXXi例3X~E(X1X2Xn为总体的样本,求的矩法估计量.解E

)1/

令X

1/故故 1/X7-例4设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得 11010E(X)x10

1147(h) ˆ 110

D(X)

xi 10i

6821(h)7-例5X~U(a,b),a,b未知a,b

E(X)

ab

D(X)

(b

a)2E(

2)

D(

)E2(X

12a)2

b2 ab2

(b

a)2

ab2 1 A

X12 i7-ˆ矩X

3(A2

X2XXˆX矩

nnin3(

(XiA2

)22X

nnn

(X

X)2极大似然估计

7-思想方法思想方法例如:有两外形相同的箱子,各装100个球 1个红球一 1个白 99个红现从两箱中任取一箱并从箱中任取一球,第一箱7-例6X服从0-1分布,且P(X1)p的估计值解XP(

x)

p)1x

xx1x2xn为总体样本X1X2则PX1n

x1,X2n

x2,,X

xnp

np)

L(p)

xi

0,

1,2,,pL(p)不同Lp

7-0.010.0080.0060.0040.002

pˆ0.40.60.8 p现经过一次试验(X1

x1,X

x2,,X

xn

pp，使L(p)

7-注意到，lnL(p)L的单调增函数,某个p使lnL(p)最大则这个p必使L(p)

nn

nn nn

1

xi

1nn

nnn

ni

0

p2

p)2 所 ˆ

p的估计值7-一般,设X为离散型 量,其分布律P(

x)

f(x,),

xu1,u2,,X1,X2,…,XnP(X1

,,X

xnf(x1,)

(x2,)

f(xn,记

xu,u

称 )为样本的似然函

i1, ,n,

7-选择适当的=,使 )取最大值,L(x1,x2,,xnmax{

f(x1,)

(x2,

f(xn,)}

g(x1

x2,

xn的极大似然估计

g(X1

X2,

Xn为参数的极大似然估计

7-注X连续f(xi,)为Xi注n

)i

f(xi,,k注未知参数可以不止一个,k注设X的密度(或分布),x,xn;1n,k

(x,1L(x1L(1,

,k),k)f(xi,1,,k,

xi

i1,2,

(1, ,

)若Lx1

7-,xn;1,,xn;1,,k

L(x1

x2,,

xn;1,

,,k)

r1,2,,kx1x2k12参数12

使似然函数取得最大值L(x1 max,xn;1,,k,xn;1,,k

{L(x1

x2,,

xn;1,2,,k)}则称1 ,

为1k的

7-gr (x1gr

x2,

xn

r1,2,,r gr

X1

X2,

Xn

r1,2,,为12k的7-例7设总体X~N(,2),x1,x2,…, 是2的样本值2的极大似然估计2解L

x1

x2,

,xn;, (x)2

n(

nni1

2

n)2

n2)2

e

2n(x)2 ln

ln(2)

2

L 2L

(

)

7-

L L1 1

2

(xi

)2 (

2(

022(02

xixni112mle

ni

(xi

x)2Sn2Sn X X i

1(Xi1ni

X)2 极大似然估计方1）

7-12）求出1

,2kL(x12k

x2,

xn

12k 12k

{L(x1

x2,,

xn;1,2,,k若L是1 ,若

7-k的可微函数,解似然方程L(x1

x2,,

xn;1,

,,k) r

1,2,,12k可得未知参数的极大似然估计值12k

然后,再求得极大似然估计量若L不是1 ,k的可微函数,需用其若方法求极大似然估计值.7-例8X~U(a,bx1x2xnX的一个样本值,求a,b的极大似然估计值与极大Xf(x;a,b)

b

ax 其

a

L(x1

,

,,

;a,b)

a)n

i1,2,, 其7-a<xi<b,i=1,2,…,n时才能获得最大值a越大b越小L越大. xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…, ˆ

xmin

ˆ

xmax

a

xmax

bab都 n(bn

a)n

(

xmin ˆ

xmin

ˆ

xmax

7-ab的极大似然估计值X

min{X1,

X2

XnX

max{X1,

X2

Xnab的极大似然估计量待估参数的极大似然估计是否一定存在若存在,是否惟一例7-例X~Ua½,a½),x1x2xnX的一个样本,a的极大似然估计值.解由上例可知,当ˆ12

ˆ21时,L1,1

1ˆ2

显然,a的极大似然估计值可能不存在也不仅如此,

7-g11

X1

X2,,

Xnx(n

12

g(x1

x2