微积分-课件第八章8.8多元函数极值与最值

PAGEPAGE9多元函数的极值与最Lagrang(日)乘数 多元函数的极 和一元函数一极值是局部概定义设在点P0的某个邻域

f(P)

f(0则点P0为函数的极大值

(0)为类似可定义极小值点和极小值函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值点与极小值点统称为

z3x2

4

椭圆抛物在(0,0)点取极小值

(也是

z

下半圆锥x2x2y2zxOzyOyzyOx在(0,0)点取极大值.(zyOx函数z

在(0,0)点无极值一元函数极值的必要条

fx)在x0

x)在处取得极

f(x0)一元函数极值(第二)充分条

(x0)

0,

(x0)

0

0),则

x0)极大值(极小二元函数极值的必要条 定 设z

f(

y)x0

y0)具有

且在x0

y0)

,fx(x0

y0)

fy(x0

y0)不妨设z

f(

y)x0

y0)

则对x0

y0的某邻域内任意(

y)

(x0

y0都有

(

y)

f(x0

y0

y0,x

也有

(

y0)

f(x0

y0

是一元函

f(

y0

的极大值fx(x0

y0)

fy(x0

y0)推广如果三元函数u

f(

yz)在点Px0

y0,z0具有偏导

P(x0

y0,z0有极值的必要fx(x0

y0,z0)

fy(x0

y0,z0)

fz(x0

y0,z0)类似一元函使一阶偏导数同时为称为函数的驻 具有偏导的极值如点(0,0)是函z

驻点,但不是极值二元函数极值的充分条 定理设z

f(

y)x0

y0

有二阶连续偏fxx0

y0)

fy(x0

y0)fxx

(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)C(1

f(x0

y0

当A0

0时(2)

f(x0

y0

B2

f(x0

y0

可能是极也可能不是极求函数zf(,)的一般步骤 ①解方程组

fx(

y)

求出实驻点f (f

y)②对于每一个驻点(x0

y0求出二阶偏导

A、B、C③定

AC

的符号,判定是否是极值例求函

f(

y)

3axyx3

(a

解①解方

f

3ay

3x2

(0,0af②求A、B、

3ax3y2Afxx6x,

Bfxy

Cf

6y.

AC

的符在点(0,0)处

AC

9a2

(0,0)

9a2f

不是极值在点(a,a)处

AC

9a2

(a,a

27a2且A

6a

f(a,a)

a是极大值练习求由方程x2

y2z2

2x

2y

10确定的函数z

f(

的极法

将方程两边分别对x,y求偏导数2x

2z

2

4zx2y

2z

2

4zy由函数取极值的必要条件

z得驻点

将

代入原方程,有

2,z2将上方程组再

2x

2z

2

4zx对x,y求偏导数

2y

2z

2

4zy2

2z

xx

2z

2

2z

22

0,

0代入方程组，A

|P

1(2z)1(2z)2

B

|P

C

|P

P2Pz1z1z2

B2

f(1,－1)是极值PAC

(2

AA | 12Bzxy|PC | 21f(1,－1)是极值1当

A z1z1z2z

(1,1)

当

6时

A4

z

(1,1)

练习求由方程x2

y2z2

2x

y

10z

f(

y)解法2初等配方 方程可变形(x

(

(z

16(x16(x1)2(y当x1

根号中的极大值为z

2

z

z

偏导数不存在也可能是极值x2y2zx2y2zOy在点(0,0)处的偏导数不存在 但(0,0)是函数的极大值点8.8.28.8.2求最值的一般方①求函数在D内的所有嫌疑②求函数在D的边界上的嫌疑③将所有嫌疑点的函数值相互最大者即为最大值,最小者即为最小值例

1xx2

2y在

xy

围成的三角形闭域D上解(1)求函数在D内的驻点（嫌疑点zx12x 由于zy

2

xyD所以函数在D内无极值点 求函数在D边界上的(最值只能在边界上z1z1xx22

x0,0

z12

xy

20,z12

单调上升 z(0,0)

z(0,1)

②在边

y

0

z1xx2

1

2

x

,函数值z

,0)4又在端点(1,0)处

有

③在边

x

z1z1xx22

xyD z1x

x2

33xx2

3

2x

(0

函数单调下z(0,0)z(0,0)z(0,1)z(1,0)z(1,0)241比1

3

及 2z( ,0) z(0,1)

7.8.3无条无条件极对自变量除了限制在定义域内外并无条件极对自变量有附加条件的极值已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,长方体的体积

Vxy

z18x

代入(1V

xy(18xy)18xy

x2y

xy2(

y0,x

y已知长方体长宽高已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高

18xy

x2y

(x

y0,x

y

18y

2xyy2

z18x

18x

x22xy由于V在D内只有一个驻点,且长方体体

故当的长、宽、高都为6但并不是所有情况下都能这样做 时用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题一般方法

日乘利用隐函数的概利用隐函数的概念与求导现要寻求目标函

z

(x,y)

在约束条

(

下取得极值的必要条件如函数(1)x0y0取得所求的极值那末首先x0y0

由条

(

y)

确定y是x的隐函yyx).不必将它真的解出来,z

(

y(

于是函数(1)在(x0

y0)取得求的极值

x

x0取得极值 z

(

y(

x

取得极值

z

(

y) (

y)

0dxx0dxx0x

xx0y

xx0y

(x,y)

(x0

y0

代入(4)得x

y(x0

y0

(x0

y0)

0(3)f(x,

)

(x,

)x(x0,y0

(x,y (3),(5)两式就是函数(1)在条件(2)下的在(x0取得极值的必要条件

(x,y)0,f(x,

)

(x,

)x(x0

y0) 设fy

y(x0

y0y(x0

y0

上述必要条件变为fxfx(x0,y0)x(x0,y0)fy(x0,y0)y(x0,y0)0(0

,y0)(6)中的前两式的左边正是函数L(x,y)f(x,y)(x,y)的两个一阶偏导数在(x0

y0的值L

y)称为日函数参数称为日乘子,是一个待定常数 极极值的必要条日乘要找函数z

f(

y(

y)

0下的可能极值点,先构造函x,

y)

f(

y)

(x,y)其中为某一常数可fx(

y)

x(

y)f (x,y)(f y

y)(x,y)

y,,其中

y就是可能的极值点的坐标 如何确定所求得的点是否为极值

可根据问题本身的性质非实际问题我们这里不做进一步 日乘数法可推广:自变量多于两的情推广

自变量多于约束条件多于一个的例

u

(

y,z,t

(

y,z,t)日函

(

y,z,t)L(

y,z,t,)

f(

y,z,t) L(

y,z,t,)

f(

y,z,t)

y,z,t)

y,z,t)Lxfx

Lzfz1z2z令Lf

(

y,z,t)L

(

y,z,t)满足方程

x,y,z,

是可能的极值点的坐x2 y2在第一卦限内作椭球面a2b2

z2c2

1切平面,使切平面与三个坐标面所围成四面体体积最小,求切点坐2设Px0,y0z0)为所求切点坐2令F

y,z)

a2 b2

z2 c2 则

|P

2x0a2

|P

y0b2

2z0c2过Px0

y0,z0

的切平面方程x0(xa2

x0)

y0(yb2

y0)

z0(zc2

z0)

xx0yy0zz0a2 b2 c222该切平面在三个轴上的截距各222xa2

yb, zc 四面体的体积

1xyz6

a2b2c26x0y0

目标函xy xy 0 a2 b2

z0zc2

约束条Va2b2c26xy, x2 y2z2 a2c2为简化计

uln

y0

lnL(

,y,

)ln

ln

ln

x2

y2 z2

11x 1x

a

a2

b2 c2 aLy0

1 b2

x03 3令令

1

可得33

y03c3 c2xy xy

z0

a2

b2

zzc2

1x2 y2 z2 L(x0

y0,z0

ln

y0

lnz0

1x

a2

b2 c2 33可得

3by03bc

目标函a2b2c2V 6x0y03z03因为最小的四面体体积存在3所以当切点坐(3四面体的体积最小

,b3333

c33 求点

1)到曲面z2

x2

y2的最短距离设

y,z)是曲面上的它与已知点的距离dzx2y2

目标函(x(x1)2(y1)2(z1)22为简化计f(x,y,z)(x

(

(z

12设L

y,

(

(y

(z

1)22(z

x2y222

y,z)(x

(y1)2(z

1)22

(z

x2

y2Lx2(x1)2x

L L

2y

2z1 2 2zx2y2

(1),(2)

x

代入(4)

z2x2(1)得