向量空间证明(多篇)

向量空间证明(精选多篇)向量空间证明(精选多篇)第一篇：向量空间证明向量空间证明解题的基本方法：在立体几何图形中，选择合适的点和直线方向建立空间直角坐标系中若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;计算相关点的坐标值，求出相关向量的坐标;求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。证明直线与平面平行的要点是在平面中搜寻一个与直线向量平行的向量。这样就转变成证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另向来量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法2解：因为x+y+z=01/25向量空间证明(精选多篇)x=-y-zy=y+0*zz=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*zy,z为任意实数则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着获取正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinb2/25向量空间证明(精选多篇)ch=b·sina∴a·sinb=b·sina获取a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r近似可证其他两个等式.希望对你有所帮助!2设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d平方(2)3/25向量空间证明(精选多篇)(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)-d平方am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^23已知ef是梯形abcd的中位线，且ad//bc，用向量法证明梯形的中位线定理过a做ag‖dc交ef于p点由三角形中位线定理有：向量ep=?向量bg又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质)∴向量pf=?(向量ad+向量gc)∴向量ep+向量pf=?(向量bg+向量ad+向量gc)∴向量ef=?(向量ad+向量bc)ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)得证4先假设两条中线ad,be交与p点连接cp,取ab中点f连接pfpa+pc=2pe=bp4/25向量空间证明(精选多篇)pb+pc=2pd=appa+pb=2pf三式相加2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf3pa+3pb+2pc=2pf6pf+2pc=2pfpc=-2pf所以pc,pf共线，pf就是中线所以abc的三条中线交于一点p连接od,oe,ofoa+ob=2ofoc+ob=2odoc+oc=2oe三式相加oa+ob+oc=od+oe+ofod=op+pdoe=op+peof=op+pfoa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp由第一问结论5/25向量空间证明(精选多篇)2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp2pa+2pb+2pc=01/2ap+1/2bp+1/2cp所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)第二篇：2014年高考数学空间向量证明平行问题4.2直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．?（1）若有直线l,点a是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l?????????????上取ab?a，则关于直线l上任意一点p，必然存在实数t，使得ap?tab，这?样，点a和向量a不但可以确定l的地址，还可详尽表示出l上的任意点．6/25向量空间证明(精选多篇)2）空间中平面α的地址可以由α上两条订交直线确定，若设这两条直线??交于点o,它们的方向向量分别是a和b，p为平面α上任意一点，由平面向量基??????本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得op?xa?yb，这样，点o与方向??向量a、b不但可以确定平面α的地址，还可以详尽表示出α上的任意点．1．若a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为a．(1,2,3)b．(1,3,2)c．(2,1,3)d．(3,2,1)从点a(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长ab＝34，则b点的坐标为a．(－9，－7,7)b．(18,17，－17)c．(9,7，－7)d．(－14，－19,31)二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．7/25向量空间证明(精选多篇)??2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面地址关系中的应用????????????1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1//l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???⊥u2．????????????2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有//β?v1//v2，α⊥β?v1???⊥v2．????若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//α?u⊥v，l⊥α???u//vb分别是直线l1、l2的方向向量，依照以下条件判断l1与l2的地址关系。1.设a、??8/25向量空间证明(精选多篇)（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）??????四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，尔后用待定系数法求解，一般步骤以下：?1、设出平面的法向量为n?(x,y,z)．??2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)????n?a?0????n?b?03、依照法向量的定义建立关于x，y，z的方程组?4、解方程组，取其中一个解，即得法向量v分别是平面α、β的法向量，依照以下条件判断α、β的地址关系：1.设u、9/25向量空间证明(精选多篇)????1）u=（1，－1，2），v=（3，2，???2）；（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。??已知点a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一个单位法向量。??若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则以下向量能作为平面α的一个法向量的是10/25向量空间证明(精选多篇)a．(0，－3,1)b．(2,0,1)c．(－2，－3,1)d．(－2,3，－1)5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为a．(1，－1,1)b．(2，－1,1)c．(－2,1,1)d．(－1,1，－1)五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主若是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m??_?_______.1．在正方体abcd－a1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平面abcd内??????????一点，线段d1q与op互相均分，则满足mq＝λmn的实数λ的值有a．0个c．2个b．1个d．3个2、线面平行11/25向量空间证明(精选多篇)设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u(a2，b2，c2)，则l∥α??_______?1??1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为?1，2，2?，且l∥α，??则m＝________.(更多好文章请关注)2．已知线段ab的两端点的坐标为a(9，－3,4)，b(9,2,1)，则与线段ab平行的坐标平面是a．xoyb．xozc．yozd．xoy或yoz3．以下列图，在空间图形p—abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四边形abcd中，cd∥ab，∠abc＝∠bcd＝90°，ab＝4，cd＝1，点m在pb上，且pb＝4pm，∠pbc＝30°，求证：cm∥平面pad.如图，在底面是菱形的四棱锥p—abcd中，∠abc＝60°，pa⊥平面abcd，pa＝ac＝a，点e在pd上，且pe∶ed＝2∶1.在棱pc上可否存在一点f，使bf∥平面aec？证明你的结论．12/25向量空间证明(精选多篇)5.如图,在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，点d是ab的中点，（i）求证：ac⊥bc1；（ii）求证：ac1//平面cdb1；3、面面平行(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?abc?__?________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.2221．如图，在平行六面体abcd—a1b1c1d1中，m、p、q分别为棱ab、cd、bc的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①a1m∥d1p；②a1m∥b1q；③a1m∥面dcc1d1；④a1m∥面d1pqb1.以上结论中正确的选项是________．(填写正确的序号)2.以下列图，在正方体abcd?a1b1c1d1中，m、n分别是c1c、b1c1的中点。求证：（1）mn//平面a1bd；（2）平面a1bd//平面b1d1c。第三篇：第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积13/25向量空间证明(精选多篇)1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用ab或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点a坐标为（x1，y1，z1）,点b坐标为（x2，y2，z2）则向量ab=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=（x，y，zx?y?z?2、空间向量数量积①已知两个非零向量a、b，在空间任取一点o，作oa=a，ob=b，则角∠aob叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞=⊥。②已知空间两个向量a、bcos＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作a?bcos＜，＞若⊥?a?＝０③若已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）则a?b＝x1x2+y1y2+z1z2，cos＜a，?，称a与b垂直，记作a2???x1x2?y1y2?z1z2x1?y1?z1?x2?y2?z222222214/25向量空间证明(精选多篇)例１如图，已知直三棱柱abc-a1b1c1中，∠bca=900,d1、e1分别为a1b1、a1c1中点，若bc=ca=cc1，求向bd1与ae1所成角的余弦值。bd11ｃ6练习：已知正方体abcd—a1b1c1d1中，b1e1=d1f1=fc1b1cdb二、利用向量证线线垂直与线面垂直a1b1，求向量be1与df1所成角的余弦值。4例2在正方体abcd—a1b1c1d1中，求证a1c⊥平面ab1d1cc练习：在正方体abcd—a1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，p为dd1的中点，求证：b1o⊥平面pac。a15/25向量空间证明(精选多篇)例3如图，pa⊥矩形abcd所在平面，m,n分别是ab,pc中点（1）求证：mn⊥cd2）若∠pda=45，求证：mn⊥平面pcd6nmbc练习：正方体abcd—a1b1c1d1中，m是棱d1d中点，n是ad中点，p为棱a1b1上任一点。求证：np⊥am作业：a1c1mc1.如图，正方体abcd—a1b1c1d1中，e是bb1中点，o是底面abcd中心，求证：oe⊥平面d1ac.如图，正方体abcd—a1b1c1d1中，o,m分别是bd1,aa1中点，求证：om是异面直线aa1和bd1的公垂线.da13、如图，直三棱柱abc-—a1b1c1中，∠acb=90，ac=1，cb=2，侧棱aa1=1，，侧面aa1b1b的两16/25向量空间证明(精选多篇)条对角线交点为d，b1c1的中点为m。求证：cd⊥平面bdm6a11bb14在棱长为a的正方体abcd—a1b1c1d1中，e，f分别为棱ab和bc的中点，m为棱b1b上任一点，当b1m值为多少时能使d1m⊥平面efb1mbae5、如图，?abc为正三角形，ae和cd都垂直于平面abc，且ae=ab=2a，cd=a，f为be中点，求证：af⊥bdca6、如图，已知直三棱柱abc-a1b1c1中b1c1=a1c1，a1b⊥ac1。求证：a1b⊥b1c6ａ11117/25向量空间证明(精选多篇)第四篇：用向量方法证明空间中的平行与垂直用向量方法证明空间中的平行与垂直已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，以下结论建立的是(c)a．若a∥n，则a∥αb．若a·n＝0，则a⊥αc．若a∥n，则a⊥αd．若a·n＝0，则a∥α剖析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选c.关于选项d，直线a?平面α也满足a·n＝0.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出以下结论：①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的选项是(a)a．①③b．①④c．②③d．②④→平行的一个向量的坐3.(原创)已知a(3，－2,1)，b(4，－5,3)，则与向量ab标是(c)1a．(3，1,1)b．(－1，－3,2)13c．(－2，2，－1)d．(2，－3，－2)18/25向量空间证明(精选多篇)→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，剖析：ab2213→所以与向量ab平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选c.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于2.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，4，k)，若α∥β，则k＝4.剖析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，bc→＝(3,1，z)．若ab→⊥bc→，bp→＝(x－1，y，－3)，6.已知ab4015且bp⊥平面abc，则实数x＝7，y＝－7，z＝4.?→·→＝x－1＋5y＋6＝0剖析：由已知?bpab→·→＝3?x－1?＋y－3z＝0?bpbc4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0abbc，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为58.剖析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为19/25向量空间证明(精选多篇)|a|·|b|＝22×29＝258.如图，平面pac⊥平面abc，△abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，ac的中点，ac＝16，pa＝pc＝10.设g是oc的中点，证明：fg∥平面boe.证明：如图，连接op，因为pa＝pc，ab＝bc，所以po⊥ac，bo⊥ac，又平面pac⊥平面abc，所以可以以点o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系o-xyz.则o(0,0,0)，a(0，－8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，－4,3)，f(4,0,3)．由题意，得g(0,4,0)．→＝(8,0,0)，oe→＝(0，－4,3)，因为ob设平面boe的一个法向量为n＝(x，y，z)，→??n·ob＝0?x＝0则?，即?，→＝0?－4y＋3z＝0?oe?n·取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由fgfg又直线fg不在平面boe内，所以fg∥平面boe.20/25向量空间证明(精选多篇)如图，四棱锥p-abcd的底面为正方形，侧棱pa⊥底面abcd，且pa＝ad＝2，e，f，h分别是线段pa，pd，ab的中点．求证：pb∥平面efh；求证：pd⊥平面ahf.证明：建立以下列图的空间直角坐标系a-xyz，所以a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，h(1，0,0)．→＝(2,0，－2)，eh→＝(1,0，－1)，(1)因为pb→＝2eh→，所以pb因为pb?平面efh，且eh?平面efh，所以pb∥平面efh.→＝(0,2，－2)，ah→＝(1,0,0)，af→＝(0,1,1)，(2)因为pd→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以pdaf→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，pdah所以pd⊥af，pd⊥ah，又因为af∩ah＝a，所以pd⊥平面ahf.第五篇：第四节利用空间向量求二面角及证明面面垂直第四节利用空间向量求二面角及证明面面垂直21/25向量空间证明(精选多篇)一、二面角二面角??l??，若?的一个法向量为m，?的一个法向量为n，则cos?,??，二面角的大小为?m,n?或???m,n?例1．如图，正三棱柱abc?a1b1c1中，e为bb1的中点，aa1?a1b1，求平面a1ec与平面a1b1c1所成锐角的大小。例2．（05年全国）如图，在四棱锥v-abcdvad是正三角形,平面vad⊥底面abcd．（1）证明ab⊥平面vad；2）求面vad与面vbd所成的二面角的大小．练习：如图，棱长为1的正方体abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中点，求二面角b?b1e?d的余弦值。12二．证面面垂直若平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，且?，则???。例3．在四棱锥p-abcd中，侧面pcd是正三角形，且与底面abcd垂直，已知底面是面积为23的菱形，?adc?600，m是pb的中点。1）求证：pa?cd2）求二面角p?ab?d的度数；（3）求证：平面pab?平面cdm。22/25向量空间证明(精选多篇)练习：（04年辽宁）已知四棱锥p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，点e为ab的中点，点f为pd的中点。1）证明平面ped⊥平面pab；2）求二面角p-ab-f的平面