初中数学竞赛辅导方程与函数竞赛问题的简单剖析

“方程与函数”竞赛问题的简单剖析方程与函数是初中竞赛的主体内容之一，方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.复习这部分内容的有效方法是对照初中数学竞赛大纲，逐条训练、理解、掌握下面选取一些试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线，期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握初中数学竞赛试题的脉络［例1］解绝对值方程|x—4|+|x—3|=2.［解答］（1）当％>4时，有x—4>0,x—3>0,所以原方程变为x—4+x—3=2解得：x=9，满足条件，即是该方程的解.（2）当3<x<4时，有x—4<0,x—3>0,所以原方程变为4-x+x-3=2,得1=2,不存在.（3）当x<3时，有x-4<0,x-3<0,所以原方程变为4-x+3-x=2，解得：x=5,满足条件，9 5即是该方程的解.综上所述，原方程的解为x=5或x=5.［点评］解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”即x-4=0,x-3=0,,分别求得x=4,x=3,,用3,4将数轴分成三段x>4,3<x<4,x<3，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解.［例2］求方程5x+11y=1的整数解.［解答］［解答］x=1-y-10y

51-y_二一-2y（1）1-y设胃=k（k是整数），则y=1-5k （2）,把（2）代入（1）得x=k-2（1-5k）=11k-2Ix=11k-2・••原方程所有的整数解是《 1口（k是整数）Iy=1-5k［点评］一般来说，在解不定方程时，常用系数中较小的数字去除方程中的各项，并将所得结果中的整数分离出来.这种解法一般都适合于所有的二元一次不定方程.有时我们容易观察到

元一次方程的一组特解，比如例2.通过观察发现x=-21是方程5x+11y=1元一次方程的一组特解，比如例2.通过观察发现x=-21是方程5x+11y=1的一组特解，y=1这时我们可以得到以下的规律：在ax+by=c中，若系数a与b互质，且该方程有一组整数解x=x0，则此方程的所有整数解可以表示成|y=y0x=x0+bk，其中k是整数.y=y-ak0［例3］方程组<|x|+y=12,’的解的个数为().x+y=6(A)1(D)4［解答］若x>Q则x+y=12, ।।工x+y=6,于是Iy-y=-6，显然不可能.若x<0，则—x+y=12,x+|y|=6,于是y|+y=18，解得y=9,进而求得x=-3.所以，原方程组的解为x=-3,所以，原方程组的解为八只有1个解.故选(A).y=9,［点评］解决多元方程、多变量问题的基本方法是消元.本题为消元，果断地对x的符号展开讨论，去掉x中的绝对值符号，再转化为一元方程问题来达到求解的目的.［例4］已知实数a丰b，且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2.b.'a£…，则bc—+ai'7的值为().a\b(A)23 (B)-23 (C)-2 (D)-13［解答］a,b是关于x的方程Q+1、+3(x+1)-3=0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1=0,•A=25-4>0,.，.a+b=-5,ab=1.故a、b均为负数.b,ab:~aa.—— a2+b2:—— Ca+b)-2ab因此匕b■—+a.-=—-vab——<ab=- <ab=- — =-23.选aa\bab ab abb(B).1 1［点评］设X,X是二次方程的根，则利用根与系数的关系，可以解决诸如xk+xk,-+—,12 1 2XXx2+二等问题，但要注意前提条件A>0.另外，有的竞赛试题还要求我们自己构造二次XX方程，如本题构造根为凡b的方程(X+11+3(X+1)-3=0.［例5］已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4.(1)求a,b,c中的最大者的最小值；(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.［解答］(1)不妨设a是a,b,c中的最大者，即a>b,a>c，八 ， c ， 4由题设知a>0，且b+c=2-a，bc=—.a一-一一，、一 、4 于是b,c是一元二次方程X2-(2-a)X+-=0的两实根，a4A=(2-a)2-4x—>0，a一a3-4a2+4a-16>0，(a2+4)(a-4)>0,所以a>4.又当a=4，b=c=-1时，满足题意.故a,b,c中最大者的最小值为4.(2)因为abc>0，所以a,b,c为全大于0或一正二负.若a,b,c均大于0，则由(1)知，a,b,c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.若a,b,c为一正二负，设a>0，b<0，c<0，贝°|a|+|b|+|c|—a—b—c—a—(2—a)—2a—2,由(1)知a>4,故2a-2>6,当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立.故|a|+|b|+|c|的最小值为6.［点评］本题的三个关键点值得我们借鉴：①由a,b,c的对称性，假定a>b，a>c(当然也可假定a>b>c)，既能简化问题，又不失一般性；②视a为常量，由b+c,bc构造二次方程，由A>0获得a的范围.A>0是一个隐含在二次方程中的重要不等式，大有用处;③解高次不等式a3-4a2+4a-16>0用到了分解因式，分解因式时可借助“试根法”12x+my=4［例6］m取何整数值时,方程组［x+4y=1的解x和y都是整数?［解答］把m作为已知数，解方程组得:x是整数，，m—8取8的约数±1,士2,±4,±8.Vy是整数，，m—8取2的约数±1,±2.取它们的公共部分，m—8=±1,±2.解得m=9,7,10,6. 经检验m=9,7,10,6时，方程组的解都是整数.［点评］求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数)，再解含待定系数的不等式或加以讨论，从而求出待定系数的取值TOC\o"1-5"\h\z， 一， 1，，、八［例7］已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x2—abx+-(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.x+x=ab,［解答］不妨设a<b，且方程的两个整数根为x,x(x<x)，则有J1 21121 2 xx=(a+b),〔12 2…， 1 1. . _所以xx—x—x=a+b—ab,4(x—1)(x—1)+(2a—1)(2b—1)=5.12 12 2 2 1 2因为a,b都是正整数，所以x1,x2均是正整数，于是，x1—1>0,x2—1>0,2a—1>1,2b—1>1,J(x-1)(x-1)=0,卜x—1)(x—1)=1，所以J1 2 或J1 21(2a—1)(2b-1)=5, 1(2a—1)(2b-1)=1.[(x—1)(x—1)=0,, ……， , ,⑴当J1 2 7时，由于a,b都是正整数，且a<b，可得a=1,b=3,1(2a—1)(2b-1)=5此时，一元二次方程为x2—3x+2=0，它的两个根为x1=1,x2=2.r(%—i)(%-1)=i,(2)当fi2时，可得a=1,b=1,［(2a-1)(2b-1)=1此时，一元二次方程为12-%+1=0，它无整数解.综上所述，当且仅当a=1,b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为%1=1,%=2.［点评］①我们解决二次方程的整数根这类问题总是依赖于几个必要条件，如：两个之和为整数、两根之积为整数、A是整数且是完全平方数等；②本题的关键一步在4(%-1)(%-1)+(2a-1)(2b-1)=5.这一步用到了“局部因式分1 2解”，以及一个常见结论mn±m±n+1=(m±1)(n±1).接下来作整数分析，求四元不定方程4%y+z攻=5的自然数解.［例8］已知抛物线J=a%2+b%+c(a>0)过(0,4),(2,-2)两点，当抛物线在%轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式.［解答］•..抛物线过(0,4),(2,-2)两点，，代入解析式得b=-2a-3,c=4所以j=a%2+b%+c=a%2—(2a+3)%+4TOC\o"1-5"\h\z%:(2a+3)2-16a : 49・•・此抛物线在%轴上截得的线段长可表示为 =<'14--+—(a>0)a Vaa21 -4 2 9 9・•・当一=- =，即a=-时，抛物线在%轴上截得的线段最短，将a=-代入a2义99 2 2， .- ， - 9-，b=-2a-3，得b=-12 .•・抛物线的解析式是J=-%2-12%+4［点评］因为抛物线J=a%2+b%+c(a>0)过(0,4),(2,-2)两点，故可将a,b,c用同一个字母表示出来，再求出在%轴上截得线段的最小值.抛物线J=a%2+b%+c(a丰0)在%轴上-b-M-b+而而截出的距离公式为： c-c二斤.2a 2a |a|， 1 ， 八［例9］二次函数J=a%2+b%+c,当%=-时，有最大值25,而方程a%2+b%+c=0的两根a、P，满足a3+p3=19,求a、b、c.[解答]设二次函数J=a(x—h)2+k(a丰0),・「当x二TOC\o"1-5"\h\z1,—… …・「当x二不时，有最大值25,即：顶点为-,252 12/ 1、 … 1 …j=a(x—)2+25=ax2—ax+a+252 41由已知得：ax2—ax+a+25=0的两根为a、p，满足a3+03=194(a+0)[(a+0)2—3ap]=19根据两根之和与两根之积的关系解得a=—4j=—4x2+4x+24,即a=-4,b=4,c=24.［点评］本例虽在题中已设一般式，但由于已知顶点坐标，因此，设顶点式较为方便，再把顶点式展开即为一般式.再利用a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)分解因式，转化成两根之和与两根之积的问题.［例10］已知二次函数J=-9x2—6ax—a2+2a(—3<x<3)有最大值一3,求实数a的值...1a1 一. . a.［解答］⑴若一3<-3<3,即—1<a<l抛物线开口向下,当x二-3时,J最大高2a一. 3•・•二次函数最大值—3，即a=--与-1<a<1矛盾，舍去。(2)若—3〈—3,即a>1当一3<x<3时,j随x增大而减小,当x二一3时,j最大值=-a2+4a-1，由—a2+4a—1=—3,WWa二2±<6又a>1,；.a=2+<6(3)若—3>3,即a<—1当―1<x<1时，J随x增大而增大，当x=1时，J目/J—a2—1,3 3 3最大值由—a2—1=—3次^^a=±\/2 又a<—1,.，.a=—%;2综上所述，a=2+<6或a=—\；2［点评］本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数

ayay=—9x2—6ax—a2+2a的对称轴是x=——,而x的取值范围是-;<x<3,所以要对a—3是否在x的取值范围内讨论求解.［例11］已知：抛物线y=—x2+px+q交x轴于点A、B，交y轴正半轴于点C,又ZACB=90°,tanZCAO—tanZCBO=2,求抛物线的解析式.［解答］设A、B两点的横坐标分别为x1,x2，则x1,x2是方程x2—px—q=0的两个根，且x<0<x,x+x=p,xx=—q<0•・•在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高，・•.OC2=O^A\•|OB|=|x1xJ=q又•「OC2=q2 q2=q因为抛物线不经过原点，・•・q丰0,故q=1由三角函数的定义和xi<0<x2，易得：tan/CAO=tan/CBOtan/CAO=tan/CBO—AOx1则x+x——则x+x——2xx由题设，得——————T 2—2,xxxxx+x+x—p,xx——q——1・•・p=2故抛物线得解析式为y——x2+2x+1［点评］本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt△等多方面的知识.欲求抛物线的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q与方程x2—px—q—0的两根有联系，另一方面q等于线段OC的长，而OC2—|OA卜|OB|,且|OA|、OB|又是方程x2—px—q—0的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q.

［同步练习］一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1 ，，-八.（2010年全国竞赛）若实数a,b满足万a—ab+b2+2=0，则a的取值范围是（ ）.（A）a<-2 （b）a>4 （C）a«-2或a>4（d）-2<a<4.（2009年全国竞赛）关于l，y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（％，y）的组数为（ ）.（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组（2009年全国竞赛）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB//DC,/B=90°.动点P从点B出发，沿梯形的边由B-C—D-A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）.(A)10 (A)10 (B)16 (C)18(D)32二、填空题（2008年全国竞赛）对于实数u,v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v.若关于x的方. / 、 1 人 ……程x*（a*x）=-4有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 .（2008年全国竞赛）关于x,y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整数解为.三、解答题（2008年全国竞赛）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k丰0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，且使得^OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.（I）用b表示k； （11）求4OAB面积的最小值.设直线y=kx+b与抛物线y=ax2的两个交点的横坐标分别为、和x2，且直线与x轴交TOC\o"1-5"\h\z一 1 1 1点的横坐标为x，求证：—। =—.x