第5章-光学系统的初始结构计算方法课件

5.1代数法(解析法和PW法)

5.2缩放法

第5章光学系统的初始结构计算方法5.1代数法(解析法和PW法)

5.2缩放法

第5章5.1.1PW形式的初级像差系数

为导出PW形式的初级像差系数，令

(5-1)5.1代数法(解析法或PW法)5.1.1PW形式的初级像差系数

为导出PW形式的初下面进一步变换成u和u′表示的形式，以便于应用。即把上式中的i和i′以u和u′取代

又因i－i′=u－u′，还可由上式求得ni：

将其代入P的表示式，得

下面进一步变换成u和u′表示的形式，以便于应用。即把上式而

由此可得所要求的P和W的表示式：

(5-2)

(5-3)而

由此可得所要求的P和W的表示式：

将上面P、W表示式及公式代入第2章当中的初级像差公式可得(5-4)将上面P、W表示式及公式代入第2章当中的初级像5.1.2薄透镜系统初级像差的PW表示式

薄透镜系统是由若干个厚度被忽略的薄透镜组成的，如图5-1所示。

图5-1薄透镜系统5.1.2薄透镜系统初级像差的PW表示式

薄透镜系在一个薄透镜组中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的外面。并将同一薄透镜组中各折射面的P、W之和作为该透镜的P、W，这样，每一个透镜组在各个公式中对应一项,而不是像原来公式中以每一个折射面对应一项。若系统中某一透镜组由k个折射面组成，则该透镜组的P、W如下式表示：

在一个薄透镜组中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的下面对式(5-4)中的最后一项进行化简，如前所述，h可提到之外，得下面对式(5-4)中的最后一项进行化简，由于，，方括号内各项两两相消，只剩下，若系统在空气中，则，故

(5-5)由于，，方括号内各项两两相消，只剩下对式(5-4)中的进行化简。对于第一个薄透镜的两个折射面，有如下关系：

薄透镜在空气中，n1=1，，(即玻璃的折射率)，则上式为

对式(5-4)中的进行化简。对于第一个薄透推广到整个薄透镜组得

(5-6)

如令，即μ为(折射率倒数)，则

(5-7)

对于一般光学玻璃，n=1.5~1.7，则μ=0.6~0.7。推广到整个薄透镜组得

经过以上化简，薄透镜系统的初级像差系数公式变为如下形式：(5-8)经过以上化简，薄透镜系统的初级像差系数公式变为如下形式：5.1.3薄透镜系统的基本像差参量

1.对有限距离的P、W值进行归化

在高斯公式两边乘以h，由于，，得

u′－u=hΦ

上式两边除以hΦ得

5.1.3薄透镜系统的基本像差参量

1.对有限距离令，，代入上式得

式中、分别称为归化像方孔径角和物方孔径角。

从以上关系得知，当取f′=1，h=1时，和为原来的u′和u乘以。再由式(5-2)和式(5-3)可知，P和u、u′的三次方成比例，W和u、u′的平方成比例。所以进行归化时有如下的关系：令，，代入上式得

式中、分别称为归由于

所以焦距归化后放大率不变，即物像的相对位置不变。(5-9)由于

所以焦距归化后放大率不变，即物像的相对位置不

2.对物体位置的归化

图5-2所示为一折射面，当物体位于A时，第一近轴光线与光轴的物方夹角为uA1，像差参量为PA、WA，当物移至B时，相应的夹角为uB1，像差参量为PB、WB，用uB1－uA1=α表示物体移动时u角的变化量。

2.对物体位置的归化

图5-2所示为一折射面，当图5-2物体经一折射面的成像关系图5-2物体经一折射面的成像关系根据球面折射公式有

分别由A、B发出的光线，对应的n、n′、r是相同的，而h也相等，因此有

根据球面折射公式有

分别由A、B发出的光线，对应的对整个薄透镜组来说，由于，，故以下关系成立：

式中，uB1－uA1=α，n1=1，则对任一折射面，以下关系成立：

对整个薄透镜组来说，由于，，故以下关系成立将，代入，可得将，代入，可得第一项:

第二项：第一项:

第二项：第三项：第三项：令，代入上式得

令，代入上式得

第四项：

将以上各项代入WB中得(5-10)第四项：

将以上各项代入WB中得(5-10)用同样的推导方法可得

(5-11)

由式(5-10)和式(5-11)可求得任意物面位置B的PB、WB。若B位于无限远，则uB1=0，α=－uA1，这样的像差参量以P∞、W∞表示如下：

(5-12)用同样的推导方法可得

当要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差参量PB、WB时,即A位于无限远，此时，uA1=0，，α=uB1,则式(5-11)和(5-10)分别为

(5-13)当要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差参量PB、WB时,3.薄透镜组的基本像差参量

将上述P、W归化步骤综合如下：

第一步：按式(5-9)，将P、W归化为、；

第二步：将、归化为∞、∞，由于、

对应的

，所以，,这样公式(5-12)变为

(5-14)3.薄透镜组的基本像差参量

将上述P、W归化步骤如由归化条件下的∞、∞求、，可将hΦ=1代入式(5-13)得

(5-15)如由归化条件下的∞、∞求、，可将hΦ=1代此时的位置色差系数以表示，当相接触薄透镜系统在空气中，则

此时的位置色差系数以表示，当相接触薄透镜系统在空气归化和不归化的相接触薄透镜系统的位置色差系数有如下关系:

故

(5-16)归化和不归化的相接触薄透镜系统的位置色差系数有如下关系:相应地，可得倍率色差系数和的关系

(5-17)相应地，可得倍率色差系数和的关系

4.用、表示的初级像差系数

将式(5-9)代入式(5-8)就得到用、表示的单色初级像差系数公式，同时把式(5-16)和式(5-17)的两个色差系数也列在一起,即4.用、表示的初级像差系数

将式(5(5-18)(5-18)5.1.4双胶合透镜组的∞、∞、Ⅰ和结构参数的关系

若玻璃材料选定，光焦度也确定的条件下，只要确定三个折射球面半径之一，其余两个也就确定了。因为

(5-19)5.1.4双胶合透镜组的∞、∞、Ⅰ和结构参数的关当n1、n2和φ1、φ2确定后，如给定胶合面的半径r2，则由

式(5-19)的第一式可确定r1，第二式可确定r3，因此，三个半径只有一个是独立变数。所以双胶合薄透镜组以r2或ρ2=1/r2为独立变数，并以阿贝不变量Q来表示之，即

(5-20)当n1、n2和φ1、φ2确定后，如给定胶合面的半径r2，则由综上所述，用以表示双胶合薄透镜的全部独立结构参数为n1、ν1、n2、ν2、φ1、Q。

至于球面半径或其曲率，可从上述结构参数求得。计算公式如下

(5-21)

将上式代入公式得

(5-22)综上所述，用以表示双胶合薄透镜的全部独立结构参数为n1、同理可得

(5-23)

下面导出、、与结构参数的函数关系。对于归化的色差系数，可写为如下形式:

同理可得

将代入上式得

(5-24)将代入上式得

根据归化条件，对于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n1，h=1,再把式(5-22)中的1/r1代入单个折射球面的近轴光计算公式，得

根据归化条件，对于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n对于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1，用式(5-21)代入单个折射面的近轴光计算公式，得

对于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1将上面所得的u1=0，，

和代入式(5-2)和式(5-3)中，此时P为,W为

，即

将上面所得的u1=0，，

和则经展开化简和整理后可得(5-25)(5-26)(5-27)则经展开化简和整理后可得(5-25)(5-26)(5-2(5-29)(5-28)(5-29)(5-28)如果将对Q配方，则

(5-30)

(5-31)

式中

(5-32)如果将对Q配方，则

(5-33)

(5-34)

(5-35)

(5-33如把常用光学玻璃进行组合，并按不同的值计算其A值，A值的变化范围不大，取平均值A＝2.35，由此

。为了讨论、和玻璃材料的关系，从式(5-30)和(5-31)中消去与形状有关的因子(Q－Q0)得到

(5-36)如把常用光学玻璃进行组合，并按不同的值计算其A值，A当A＝2.35时，；当冕牌玻璃在前时，W0=－0.1；当火石玻璃在前时，W0=－0.2。将这些近似值代入式(5-36)，得

(5-37)当A＝2.35时，；当冕牌玻璃在前时，W0=图5-3所示曲线为时,K9、ZF2和K9、F4两对玻璃的像差特性曲线。

图5-3时K9、ZF2和K9、F4两对玻璃的像差特性曲线图5-3所示曲线为时,K9、ZF2和K9、F4(1)由、按式(5-36)求P0。

(2)由P0和查附录1找出需要的玻璃组合，再查附录2按所选玻璃组合找出φ1、Q0、P0、W0。

(3)由式(5-30)和式(5-31)求Q:

(5-38)

(5-39)(1)由、按式(5-36)求P0。

(2(4)根据Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。计算公式为式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)。

(5)由上面求得的曲率是在总焦距为1的归化条件下的曲率。从薄透镜的焦距公式可知，如果实际焦距为f′，则半径和f′成正比，即得

(5-40)(4)根据Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。计算公式5.1.5单透镜的、、和结构参数的关系

单透镜可看做双胶合透镜组的特例。当φ1=1，φ2=0，n1=n时，双胶合透镜组便变成单透镜。将以上关系代入双胶合透镜组的有关公式中，并去掉不必要的下标“1”，即得单透镜的公式。由式(5-21)和式(5-22)得

(5-41)5.1.5单透镜的、、和结构参数的关系

由可得

(5-42)

同样由式(5-27)、式(5-28)、式(5-29)和式(5-34)的关系得单透镜的各系数如下：由可得

(5-44)(5-43)(5-44)(5-43)由式(5-25)和式(5-26)可得

(5-45)

由式(5-30)和式(5-31)可得

(5-46)由式(5-25)和式(5-26)可得

由式(5-36)可得

(5-47)

再由式(5-32)、式(5-33)和式(5-35)得

(5-48)由式(5-36)可得

5.1.6用PW方法求初始结构的实例

例5.1设计一个焦距为1000mm，相对孔径为1∶10的望远物镜，像高y′=13.6mm。

(1)选型。这个物镜的视场角很小，所以轴外像差不大。主要校正的像差为球差、正弦差和位置色差。

相对孔径也不大，可选用双胶合或双分离的类型。本例采用双胶合型，孔径光阑与物镜框重合。

(2)确定基本像差参量。根据设计要求，设像差的初级量为零，则按初级像差公式有5.1.6用PW方法求初始结构的实例

例5.1第5章--光学系统的初始结构计算方法课件亦即

由此可得基本像差参量为

亦即

由此可得基本像差参量为

(3)求P0。由式(5-37)可得

因为玻璃未选好，可暂按选用冕牌玻璃进行计算。取W0=－0.1，并将和的值代入上式，得

P0=0－0.85(0+0.1)2=－0.0085(3)求P0。由式(5-37)可得

(4)从附录2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n2=1.6725)组合的双胶合薄透镜组的各系数为

P0=0.038319,Q0=－4.284074,W0=－0.06099

φ1=2.009404,并取A=2.44,K=1.72(4)从附录2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n(5)求形状系数Q:

(5)求形状系数Q:

(6)求透镜各面的曲率(归化条件下的)。由式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)得

(6)求透镜各面的曲率(归化条件下的)。由式(5-21(7)求薄透镜各面的球面半径和像差计算:

(7)求薄透镜各面的球面半径和像差计算:

现将该透镜系统结构数据整理如下：tanω=－0.0136，物距L=－∞，入瞳半径h=50，入瞳距第一折射面距离lz=0现将该透镜系统结构数据整理如下：tanω=－0.0136经光线追迹，得焦距和像方孔径角以及要校正的像差数据如下：经光线追迹，得焦距和像方孔径角以及要校正的像差数据如下：(8)求厚透镜各面的球面半径。

①光学零件外径的确定。根据设计要求f′=1000和

，可算出通光口径。透镜用压圈固定，其所需余量由手册查得为3.5，由此可求得透镜的外径为103.5。(8)求厚透镜各面的球面半径。

①光学零件外径的②光学零件的中心厚度及边缘最小厚度的确定。其确定有两种方法，一种方法是由手册查得；另外一种方法是保证透镜在加工中不易变形的条件下，其中心厚度与边缘最小厚度以及透镜外径之间必须满足一定的比例关系：

对凸透镜： 高精度3d+7t≥D

中精度6d+14t≥D

其中还必须满足d>0.05D

对凹透镜： 高精度8d+2t≥D且d≥0.05D

中精度16d+4t≥D且d≥0.03D

式中，d为中心厚度，t为边缘厚度，如图5-4所示。②光学零件的中心厚度及边缘最小厚度的确定。其确定有两种图5-4双胶合透镜图5-4双胶合透镜根据上面公式，可求出凸透镜和凹透镜的厚度。

凸透镜：3d+7t=D

(5-49)

式中x1、x2为球面矢高，可由下式求得

(5-50)根据上面公式，可求出凸透镜和凹透镜的厚度。

凸透镜式中r为折射球面半径，D为透镜外径。将已知数据代入可求得|x1|=2.17，|x2|=2.67。然后，再将它代入式(5-49)得凸透镜最小边缘厚度

由图5-4得，凸透镜最小中心厚度

d1=|x1|+t+|x2|=4.84+8.9=13.74

凹透镜：

(5-51)式中r为折射球面半径，D为透镜外径。将已知数据代入可求得|x|x3|的求法同上，将已知数代入式(5-50)得|x2|=1.03。然后，再将它代入式(5-51)便可求得凹透镜最小边缘厚度

d2=t－|x2|+|x3|=11.66-2.67+1.03=10.02

在最小中心厚度基础上，根据工艺条件，可适当加厚些。最后用作图法检查一下计算是否有误。|x3|的求法同上，将已知数代入式(5-50)得|x2|=1③在保持u和u′角不变的条件下，把薄透镜变换成厚透镜。薄透镜变换成厚透镜时，要保持第一近轴光线每面的u和u′角不变，由式(5-2)和式(5-3)可知当u和u′不变时，

P、W在变换时可保持不变，放大率亦保持不变。当透镜由薄变厚时，第一近轴光线在主面上入射高度不变，则光学系统的光焦度亦保持不变。③在保持u和u′角不变的条件下，把薄透镜变换成厚透镜。图5-5表示各种类型物镜基本光学特性之间的关系，可供选型时参考。

5.2缩放法图5-5表示各种类型物镜基本光学特性之间的关系，可供选型图5-5各种类型物镜基本光学特性之间的关系图5-5各种类型物镜基本光学特性之间的关系5.2.2缩放焦距

结构型式选好之后，它的焦距不一定完全符合设计要求，因此必须缩放焦距。假定已有结构的焦距为f′，要求的焦距为，则缩放后的结构参数为

(5-52)5.2.2缩放焦距

结构型式选好之后5.2.3更换玻璃

1．保持色差不变更换玻璃

根据薄透镜的光焦度公式，欲保持各折射面的光焦度不变，新的折射率n*、曲率半径r*和原来的折射率n、曲率半径r之间应符合以下关系

(5-53)5.2.3更换玻璃

1．保持色差不变更换玻璃

2．更换玻璃校正色差

由像差理论，微分得

(5-54)2．更换玻璃校正色差

由像差理论，由可知，CⅠ与δn成比例,要改变CⅠ，只需按比例改变δn即可。

假定被更换玻璃的色散为δn，它产生的色差系数为CⅠ，希望将色差系数改变ΔCⅠ，则色散应改变

(5-55)

计算出Δδn*之后，再按下式求出需要更换玻璃的色散δn*

δn*=δn+Δδn*(5-56)由可知，CⅠ与δn成比例,要改变CⅠ，

例5.2有一双高斯照相物镜，其相对孔径为

，单色像差都已校好，位置色差较大，希望能减小－0.2mm左右，被更换的玻璃为ZK9，nD=1.6203，δn=0.01029，色差系数CⅠ=0.09,求更换的新玻璃。

解首先将换成ΔCⅠ。由式(5-54)得

例5.2有一双高斯照相物镜，其相对孔径为

，单已知：，，，代入上式得ΔCⅠ=－0.0125。

然后按式(5-55)和式(5-56)求新的玻璃色散：

已知：，，，代入上式得ΔC5.2.4估算高级像差

1．球差

(1)孔径高级球差。球差级数展开式：

δL′=a1h2+a2h45.2.4估算高级像差

1．球差

(1)孔我们可以按初级球差的变化规律将曲线由a移到b，如图5-6所示。由于初级球差与h2成比例，所以0.707孔径的变化量等于边缘球差变化量的一半，故剩余球差为

(5-57)我们可以按初级球差的变化规律将曲线由a移到b，如图5-6图5-6球差曲线图5-6球差曲线(2)视场高级球差。视场高级球差定义为轴外球差和轴上球差的差：

(5-58)

(5-59)(2)视场高级球差。视场高级球差定义为轴外球差和轴上球

2．彗差

(1)孔径高级彗差。初级彗差、孔径高级彗差和孔径的关系与球差推导方法完全—样，它的剩余彗差按下式计算

(5-60)2．彗差

(1)孔径高级彗差。初级彗差、孔径高(2)视场高级彗差。由于初级彗差和视场的一次方成比例，因此得到

(5-61)(2)视场高级彗差。由于初级彗差和视场的一次方成比例，对于弧矢彗差可以用0.707孔径的剩余正弦差表示孔径弧矢彗差：

(5-62)

用最大视场的实际弧矢彗差和由正弦差确定的最大视场彗差之差来表示弧矢视场高级彗差：

(5-63)对于弧矢彗差可以用0.707孔径的剩余正弦差表示孔

3．细光束子午和弧矢场曲

初级和高级子午和弧矢场曲与视场的关系与轴上点初级和高级球差与孔径的关系完全一样，仿照剩余球差公式得

(5-64)

(5-65)3．细光束子午和弧矢场曲

初级和高级子午和弧矢

4．畸变

根据初级畸变与视场的三次方成比例的关系，可得以下公式

(5-66)4．畸变

根据初级畸变与视场的三次方成比例的关系，5.2.5检查边界条件

在进行像差校正之前一定要检查边界条件，因为经过缩放以后的结构往往会出现透镜的中心厚度变薄、边缘变尖的情况，在设计时要随时进行检查，以免浪费时间。

对于正透镜要检查边缘厚度是否变尖；对于负透镜要检查中心厚度是否太薄。此外还应注意工作距是否满足要求。边界条件满足之后再开始像差校正就不会出问题了。5.2.5检查边界条件

在进行像差校正之前一5.2.6计算举例

例5.3计算一个f′=50mm，D/f′=1/2，画面尺寸24mm×36mm，后工作距，结构总长L<38mm的摄影物镜。

解此物镜边界条件要求严格，成像质量要求高，根据其基本光学特性的要求，选用双高斯型及其变型结构可满足要求。从已有的资料中选择初始结构是比较合适的。由光学设计手册上选两个结构作为初始结构，如图5-7和图5-8所示。5.2.6计算举例

例5.3计算一个f′=50图5-7第一初始结构图5-7第一初始结构图5-8第二初始结构图5-8第二初始结构(1)缩放焦距。手册上的结构参数都是在f′=1时的数据，把这些参数乘50，则得新的结构参数，见表5-1和表5-2。表5-1第一种结构参数(1)缩放焦距。手册上的结构参数都是在f′=1时的数据表5-2第二种结构参数表5-2第二种结构参数(2)更换玻璃。

①第一种结构。由式(5-53)可得修改后的曲率半径：

②第二种结构。

(3)检查边界条件。经过调整后的两个结构参数，见表

5-3和表5-4。(2)更换玻璃。

①第一种结构。由式(5-53)表5-3第一种结构的结构参数表5-3第一种结构的结构参数表5-4第二种结构的结构参数表5-4第二种结构的结构参数(4)估算系统的高级球差。将上述两种结构上机进行光路计算，其像差结果见表5-5和5-6。表5-5第一种结构的像差计算结果(f′=50.369mm,l′=37.724mm)(4)估算系统的高级球差。将上述两种结构上机进行光路计表5-6第二种结构的像差计算结果(f′=50.365mm,l′=38.137mm)表5-6第二种结构的像差计算结果上述两种结构的基本光学特性完全相同，透镜的数量和像差校正的可能性也完全相同，因此它们最后的成像质量完全由高级像差决定。由式(5-57)到式(5-66)可算出它们的高级像差，见表5-7。上述两种结构的基本光学特性完全相同，透镜的数量和像差校正表5-7两种结构高级像差的计算结果表5-7两种结构高级像差的计算结果5.1代数法(解析法和PW法)

5.2缩放法

第5章光学系统的初始结构计算方法5.1代数法(解析法和PW法)

5.2缩放法

第5章5.1.1PW形式的初级像差系数

为导出PW形式的初级像差系数，令

(5-1)5.1代数法(解析法或PW法)5.1.1PW形式的初级像差系数

为导出PW形式的初下面进一步变换成u和u′表示的形式，以便于应用。即把上式中的i和i′以u和u′取代

又因i－i′=u－u′，还可由上式求得ni：

将其代入P的表示式，得

下面进一步变换成u和u′表示的形式，以便于应用。即把上式而

由此可得所要求的P和W的表示式：

(5-2)

(5-3)而

由此可得所要求的P和W的表示式：

将上面P、W表示式及公式代入第2章当中的初级像差公式可得(5-4)将上面P、W表示式及公式代入第2章当中的初级像5.1.2薄透镜系统初级像差的PW表示式

薄透镜系统是由若干个厚度被忽略的薄透镜组成的，如图5-1所示。

图5-1薄透镜系统5.1.2薄透镜系统初级像差的PW表示式

薄透镜系在一个薄透镜组中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的外面。并将同一薄透镜组中各折射面的P、W之和作为该透镜的P、W，这样，每一个透镜组在各个公式中对应一项,而不是像原来公式中以每一个折射面对应一项。若系统中某一透镜组由k个折射面组成，则该透镜组的P、W如下式表示：

在一个薄透镜组中，各折射面上的h和hz相等，可以提到∑的下面对式(5-4)中的最后一项进行化简，如前所述，h可提到之外，得下面对式(5-4)中的最后一项进行化简，由于，，方括号内各项两两相消，只剩下，若系统在空气中，则，故

(5-5)由于，，方括号内各项两两相消，只剩下对式(5-4)中的进行化简。对于第一个薄透镜的两个折射面，有如下关系：

薄透镜在空气中，n1=1，，(即玻璃的折射率)，则上式为

对式(5-4)中的进行化简。对于第一个薄透推广到整个薄透镜组得

(5-6)

如令，即μ为(折射率倒数)，则

(5-7)

对于一般光学玻璃，n=1.5~1.7，则μ=0.6~0.7。推广到整个薄透镜组得

经过以上化简，薄透镜系统的初级像差系数公式变为如下形式：(5-8)经过以上化简，薄透镜系统的初级像差系数公式变为如下形式：5.1.3薄透镜系统的基本像差参量

1.对有限距离的P、W值进行归化

在高斯公式两边乘以h，由于，，得

u′－u=hΦ

上式两边除以hΦ得

5.1.3薄透镜系统的基本像差参量

1.对有限距离令，，代入上式得

式中、分别称为归化像方孔径角和物方孔径角。

从以上关系得知，当取f′=1，h=1时，和为原来的u′和u乘以。再由式(5-2)和式(5-3)可知，P和u、u′的三次方成比例，W和u、u′的平方成比例。所以进行归化时有如下的关系：令，，代入上式得

式中、分别称为归由于

所以焦距归化后放大率不变，即物像的相对位置不变。(5-9)由于

所以焦距归化后放大率不变，即物像的相对位置不

2.对物体位置的归化

图5-2所示为一折射面，当物体位于A时，第一近轴光线与光轴的物方夹角为uA1，像差参量为PA、WA，当物移至B时，相应的夹角为uB1，像差参量为PB、WB，用uB1－uA1=α表示物体移动时u角的变化量。

2.对物体位置的归化

图5-2所示为一折射面，当图5-2物体经一折射面的成像关系图5-2物体经一折射面的成像关系根据球面折射公式有

分别由A、B发出的光线，对应的n、n′、r是相同的，而h也相等，因此有

根据球面折射公式有

分别由A、B发出的光线，对应的对整个薄透镜组来说，由于，，故以下关系成立：

式中，uB1－uA1=α，n1=1，则对任一折射面，以下关系成立：

对整个薄透镜组来说，由于，，故以下关系成立将，代入，可得将，代入，可得第一项:

第二项：第一项:

第二项：第三项：第三项：令，代入上式得

令，代入上式得

第四项：

将以上各项代入WB中得(5-10)第四项：

将以上各项代入WB中得(5-10)用同样的推导方法可得

(5-11)

由式(5-10)和式(5-11)可求得任意物面位置B的PB、WB。若B位于无限远，则uB1=0，α=－uA1，这样的像差参量以P∞、W∞表示如下：

(5-12)用同样的推导方法可得

当要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差参量PB、WB时,即A位于无限远，此时，uA1=0，，α=uB1,则式(5-11)和(5-10)分别为

(5-13)当要由P∞、W∞求任意物面位置B的像差参量PB、WB时,3.薄透镜组的基本像差参量

将上述P、W归化步骤综合如下：

第一步：按式(5-9)，将P、W归化为、；

第二步：将、归化为∞、∞，由于、

对应的

，所以，,这样公式(5-12)变为

(5-14)3.薄透镜组的基本像差参量

将上述P、W归化步骤如由归化条件下的∞、∞求、，可将hΦ=1代入式(5-13)得

(5-15)如由归化条件下的∞、∞求、，可将hΦ=1代此时的位置色差系数以表示，当相接触薄透镜系统在空气中，则

此时的位置色差系数以表示，当相接触薄透镜系统在空气归化和不归化的相接触薄透镜系统的位置色差系数有如下关系:

故

(5-16)归化和不归化的相接触薄透镜系统的位置色差系数有如下关系:相应地，可得倍率色差系数和的关系

(5-17)相应地，可得倍率色差系数和的关系

4.用、表示的初级像差系数

将式(5-9)代入式(5-8)就得到用、表示的单色初级像差系数公式，同时把式(5-16)和式(5-17)的两个色差系数也列在一起,即4.用、表示的初级像差系数

将式(5(5-18)(5-18)5.1.4双胶合透镜组的∞、∞、Ⅰ和结构参数的关系

若玻璃材料选定，光焦度也确定的条件下，只要确定三个折射球面半径之一，其余两个也就确定了。因为

(5-19)5.1.4双胶合透镜组的∞、∞、Ⅰ和结构参数的关当n1、n2和φ1、φ2确定后，如给定胶合面的半径r2，则由

式(5-19)的第一式可确定r1，第二式可确定r3，因此，三个半径只有一个是独立变数。所以双胶合薄透镜组以r2或ρ2=1/r2为独立变数，并以阿贝不变量Q来表示之，即

(5-20)当n1、n2和φ1、φ2确定后，如给定胶合面的半径r2，则由综上所述，用以表示双胶合薄透镜的全部独立结构参数为n1、ν1、n2、ν2、φ1、Q。

至于球面半径或其曲率，可从上述结构参数求得。计算公式如下

(5-21)

将上式代入公式得

(5-22)综上所述，用以表示双胶合薄透镜的全部独立结构参数为n1、同理可得

(5-23)

下面导出、、与结构参数的函数关系。对于归化的色差系数，可写为如下形式:

同理可得

将代入上式得

(5-24)将代入上式得

根据归化条件，对于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n1，h=1,再把式(5-22)中的1/r1代入单个折射球面的近轴光计算公式，得

根据归化条件，对于第一折射面有：u=0，n=1，n′=n对于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1，用式(5-21)代入单个折射面的近轴光计算公式，得

对于第二折射面，，n=n1，n′=n2，h=1将上面所得的u1=0，，

和代入式(5-2)和式(5-3)中，此时P为,W为

，即

将上面所得的u1=0，，

和则经展开化简和整理后可得(5-25)(5-26)(5-27)则经展开化简和整理后可得(5-25)(5-26)(5-2(5-29)(5-28)(5-29)(5-28)如果将对Q配方，则

(5-30)

(5-31)

式中

(5-32)如果将对Q配方，则

(5-33)

(5-34)

(5-35)

(5-33如把常用光学玻璃进行组合，并按不同的值计算其A值，A值的变化范围不大，取平均值A＝2.35，由此

。为了讨论、和玻璃材料的关系，从式(5-30)和(5-31)中消去与形状有关的因子(Q－Q0)得到

(5-36)如把常用光学玻璃进行组合，并按不同的值计算其A值，A当A＝2.35时，；当冕牌玻璃在前时，W0=－0.1；当火石玻璃在前时，W0=－0.2。将这些近似值代入式(5-36)，得

(5-37)当A＝2.35时，；当冕牌玻璃在前时，W0=图5-3所示曲线为时,K9、ZF2和K9、F4两对玻璃的像差特性曲线。

图5-3时K9、ZF2和K9、F4两对玻璃的像差特性曲线图5-3所示曲线为时,K9、ZF2和K9、F4(1)由、按式(5-36)求P0。

(2)由P0和查附录1找出需要的玻璃组合，再查附录2按所选玻璃组合找出φ1、Q0、P0、W0。

(3)由式(5-30)和式(5-31)求Q:

(5-38)

(5-39)(1)由、按式(5-36)求P0。

(2(4)根据Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。计算公式为式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)。

(5)由上面求得的曲率是在总焦距为1的归化条件下的曲率。从薄透镜的焦距公式可知，如果实际焦距为f′，则半径和f′成正比，即得

(5-40)(4)根据Q求折射球面的曲率ρ1、ρ2、ρ3。计算公式5.1.5单透镜的、、和结构参数的关系

单透镜可看做双胶合透镜组的特例。当φ1=1，φ2=0，n1=n时，双胶合透镜组便变成单透镜。将以上关系代入双胶合透镜组的有关公式中，并去掉不必要的下标“1”，即得单透镜的公式。由式(5-21)和式(5-22)得

(5-41)5.1.5单透镜的、、和结构参数的关系

由可得

(5-42)

同样由式(5-27)、式(5-28)、式(5-29)和式(5-34)的关系得单透镜的各系数如下：由可得

(5-44)(5-43)(5-44)(5-43)由式(5-25)和式(5-26)可得

(5-45)

由式(5-30)和式(5-31)可得

(5-46)由式(5-25)和式(5-26)可得

由式(5-36)可得

(5-47)

再由式(5-32)、式(5-33)和式(5-35)得

(5-48)由式(5-36)可得

5.1.6用PW方法求初始结构的实例

例5.1设计一个焦距为1000mm，相对孔径为1∶10的望远物镜，像高y′=13.6mm。

(1)选型。这个物镜的视场角很小，所以轴外像差不大。主要校正的像差为球差、正弦差和位置色差。

相对孔径也不大，可选用双胶合或双分离的类型。本例采用双胶合型，孔径光阑与物镜框重合。

(2)确定基本像差参量。根据设计要求，设像差的初级量为零，则按初级像差公式有5.1.6用PW方法求初始结构的实例

例5.1第5章--光学系统的初始结构计算方法课件亦即

由此可得基本像差参量为

亦即

由此可得基本像差参量为

(3)求P0。由式(5-37)可得

因为玻璃未选好，可暂按选用冕牌玻璃进行计算。取W0=－0.1，并将和的值代入上式，得

P0=0－0.85(0+0.1)2=－0.0085(3)求P0。由式(5-37)可得

(4)从附录2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n2=1.6725)组合的双胶合薄透镜组的各系数为

P0=0.038319,Q0=－4.284074,W0=－0.06099

φ1=2.009404,并取A=2.44,K=1.72(4)从附录2查得K9(n1=1.5163)和ZF2(n(5)求形状系数Q:

(5)求形状系数Q:

(6)求透镜各面的曲率(归化条件下的)。由式(5-21)、式(5-22)和式(5-23)得

(6)求透镜各面的曲率(归化条件下的)。由式(5-21(7)求薄透镜各面的球面半径和像差计算:

(7)求薄透镜各面的球面半径和像差计算:

现将该透镜系统结构数据整理如下：tanω=－0.0136，物距L=－∞，入瞳半径h=50，入瞳距第一折射面距离lz=0现将该透镜系统结构数据整理如下：tanω=－0.0136经光线追迹，得焦距和像方孔径角以及要校正的像差数据如下：经光线追迹，得焦距和像方孔径角以及要校正的像差数据如下：(8)求厚透镜各面的球面半径。

①光学零件外径的确定。根据设计要求f′=1000和

，可算出通光口径。透镜用压圈固定，其所需余量由手册查得为3.5，由此可求得透镜的外径为103.5。(8)求厚透镜各面的球面半径。

①光学零件外径的②光学零件的中心厚度及边缘最小厚度的确定。其确定有两种方法，一种方法是由手册查得；另外一种方法是保证透镜在加工中不易变形的条件下，其中心厚度与边缘最小厚度以及透镜外径之间必须满足一定的比例关系：

对凸透镜： 高精度3d+7t≥D

中精度6d+14t≥D

其中还必须满足d>0.05D

对凹透镜： 高精度8d+2t≥D且d≥0.05D

中精度16d+4t≥D且d≥0.03D

式中，d为中心厚度，t为边缘厚度，如图5-4所示。②光学零件的中心厚度及边缘最小厚度的确定。其确定有两种图5-4双胶合透镜图5-4双胶合透镜根据上面公式，可求出凸透镜和凹透镜的厚度。

凸透镜：3d+7t=D

(5-49)

式中x1、x2为球面矢高，可由下式求得

(5-50)根据上面公式，可求出凸透镜和凹透镜的厚度。

凸透镜式中r为折射球面半径，D为透镜外径。将已知数据代入可求得|x1|=2.17，|x2|=2.67。然后，再将它代入式(5-49)得凸透镜最小边缘厚度

由图5-4得，凸透镜最小中心厚度

d1=|x1|+t+|x2|=4.84+8.9=13.74

凹透镜：

(5-51)式中r为折射球面半径，D为透镜外径。将已知数据代入可求得|x|x3|的求法同上，将已知数代入式(5-50)得|x2|=1.03。然后，再将它代入式(5-51)便可求得凹透镜最小边缘厚度

d2=t－|x2|+|x3|=11.66-2.67+1.03=10.02

在最小中心厚度基础上，根据工艺条件，可适当加厚些。最后用作图法检查一下计算是否有误。|x3|的求法同上，将已知数代入式(5-50)得|x2|=1③在保持u和u′角不变的条件下，把薄透镜变换成厚透镜。薄透镜变换成厚透镜时，要保持第一近轴光线每面的u和u′角不变，由式(5-2)和式(5-3)可知当u和u′不变时，

P、W在变换时可保持不变，放大率亦保持不变。当透镜由薄变厚时，第一近轴光线在主面上入射高度不变，则光学系统的光焦度亦保持不变。③在保持u和u′角不变的条件下，把薄透镜变换成厚透镜。图5-5表示各种类型物镜基本光学特性之间的关系，可供选型时参考。

5.2缩放法图5-5表示各种类型物镜基本光学特性之间的关系，可供选型图5-5各种类型物镜基本光学特性之间的关系图5-5各种类型物镜基本光学特性之间的关系5.2.2缩放焦距

结构型式选好之后，它的焦距不一定完全符合设计要求，因此必须缩放焦距。假定已有结构的焦距为f′，要求的焦距为，则缩放后的结构参数为

(5-52)5.2.2缩放焦距

结构型式选好之后5.2.3更换玻璃

1．保持色差不变更换玻璃

根据薄透镜的光焦度公式，欲保持各折射面的光焦度不变，新的折射率n*、曲率半径r*和原来的折射率n、曲率半径r之间应符合以下关系

(5-53)5.2.3更换玻璃

1．保持色差不变更换玻璃

2．更换玻璃校正色差

由像差理论，微分得

(5-54)2．更换玻璃校正色差

由像差理论，由可知，CⅠ与δn成比例,要改变CⅠ，只需按比例改变δn即可。

假定被更换玻璃的色散为δn，它产生的色差系数为CⅠ，希望将色差系数改变ΔCⅠ，则色散应改变

(5-55)

计算出Δδn*之后，再按下式求出需要更换玻璃的色散δn*

δn*=δn+Δδn*(5-56)由可知，CⅠ与δn成比例,要改变CⅠ，

例5.2有一双高斯照相物镜，其相对孔径为

，单色像差都已校好，位置色差较大，希望能减小－0.2mm左右，被更换的玻璃为ZK9，nD=1.6203，δn=0.01029，色差系数CⅠ=0.09,求