椭圆地定义及几何性质

标准文案标准文案椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点尸到两个定点耳、的距离之和等于常数忙片|+|F%]=2"二网为],这个动点F的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若阂+用二忸闯，则动点尸的轨迹为线段及玛；若因十归国T啊L则动点尸的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程TOC\o"1-5"\h\z.当焦点在工轴上时，椭圆的标准方程：，（厘：“>,其中；22匕+三=1.当焦点在尸轴上时，椭圆的标准方程：后，g：s，0）,其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；.在椭圆的两种标准方程中，都有值>i>0和1=履一匕.椭圆的焦点总在长轴上当焦点在工轴上时，椭圆的焦点坐标为,；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为（0户），。知识点三：椭圆的简单几何性质

对于椭圆标准方程口卜,把换成一，或把换成一，或把、同时换成一一，方程都不变，所以椭圆口b对于椭圆标准方程口卜,把换成一，或把换成一，或把、同时换成一一，方程都不变，所以椭圆口b是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线土和土所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆门（>>）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为②椭圆门（一a）,（a，），(01),(0）。③线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，（a，），(01),(0）。③线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率2cc①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作0②因为>>0所以的取值范围是①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作0②因为>>0所以的取值范围是vv°越接近，则就越接近，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于,就越接近，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为椭圆1萨的图像中线段的几何特征(如下图):1^11_1^1()|郎川空|二巴|H此|()|期|二同二一()巴可书周二”巴司=忸/1=4,十七,;F+~2~1知识点四：椭圆以心与(>>)的区别和联系标准方程W+二=1俗>b>Q)ab却二=1似>占>6ba图形民性质隹点/1*、八、、及㈠⑼，用(Q，f),焦距[&及[=2ig=Jd—V)1号玛卜勿(=■〃)范围㈤汽对称性关于轴、轴和原点对称顶点曲功电土硕,,轴长轴长=b，短轴长离心率曰二三（0〈曰<1）a准线方程焦半径1尸/1=,+事不|尸月1=1+",-2+f=1注意：椭圆3b,（>>）的相同点为形状、大小都相同，参数间e=—（0<<1）的关系都有>>和口,c不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例】方程%晔・2■■y2・%隆・2・■y2■10化简的结果是。【例】已知,，，，动点满足，则点的轨迹为（）圆椭圆线段直线x2y2【变式训练】已知椭圆-+4-上的一点到椭圆一个焦点的距离为则到另一焦点169距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例】若椭圆经过点，，3则该椭圆的标准方程为。【例】^ABC的底边BC■16,AC和AB两边上中线长之和为，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.

【例】求以椭圆9X2■5w■45的焦点为焦点，且经过点M(2,46)的椭圆的标准方程.【变式训练】、焦点在坐标轴上，且a2■13,c2■12的椭圆的标准方程为。、焦点在％轴上，a:b■2:1，c■v6椭圆的标准方程为。、已知三点(5)、F(-,)、F(,)，求以F、F为焦点且过点的椭圆的

1212标准方程；、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为435和235，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.考点三：利用标准方程确定参数【例】若方程就【例】若方程就()表示圆，则实数的取值是()表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是()表示焦点在型上的椭圆，则实数的取值范围是()表示椭圆，则实数的取值范围是【例】椭圆4x2■25y2■100的长轴长等于，短轴长等于顶点坐标是焦点的坐标是焦距是,离心率等于。

x2y2【变式训练】1椭圆—■—■1的焦距为2,1则m4m、椭圆5x2■ky2■5的一个焦点是(0,2),那么k■考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义(求出或找到)求离心率()已知椭圆CQQi,(a■b■0)的两个焦点分别为勺(・，一、求离心率1、用定义(求出或找到)求离心率()已知椭圆CQQi,(a■b■0)的两个焦点分别为勺(・，0)，F2(1，0)且椭圆C41经过点P(3,3)则椭圆C的离心率x2y23a()设F1F2是椭圆E:a■高.13■b■0)的左、右焦点，P为直线x■工上一点，■空勺是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为(x2y2()椭圆a■卷■1(>>0的左、右顶点分别是左、右焦点分别是，。若成等比数列，则此椭圆的离心率为()在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为亚，焦点到相应准线距离为，则该椭圆的离心率为、根据题设条件构造、的齐次式方程，解出ema2■nac■pc2■0■m■—・■p(c)2■0maa(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(()在平面直角坐标系％°y中椭圆C的标准方程为上■y2■1(a■0,b■0)右焦点为a2b2F右准线为l短轴的一个端点为B设原点到直线BF的距离为dF至Ijl的距离为d12若d■*6d则椭圆C的离心率为21C)设椭圆的两个焦点分别为F过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若三角形为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。二)、求离心率的范围(关键是建立离心率相关不等式)、直接根据题意建立a,c不等关系求解TOC\o"1-5"\h\z()椭圆一■y~■1(a■b■0)的焦点为F,F，两条准线与X轴的交点分别为M，N,a2b212若MN■■F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是。()已知F，F为椭圆三■y2■l・■b■0■勺焦点，B为椭圆短轴上的端点，12a2b2BF・BF■1FF，求椭圆离心率的取值范围。12212、借助平面几何关系(或圆锥曲线之间的数形结合)建立a,c不等关系求解—4—4—设f,f分别是椭圆上■y2■1(a・b印)的左、右焦点，若在其右准线上存在尸，使12a2b2线段PF的中垂线过点F，则椭圆离心率的取值范围是。12、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解(焦半径或横纵坐标范围建立不等式)X2y2()椭圆一■y~■1(>>)的两个焦点为、若为其上一点，且a2b21212则椭圆离心率的取值范围为。X2y2()已知椭圆一■y~■1(a■b■0)右顶为点在椭圆上，为坐标原点，且垂直a2b2于，求椭圆的离心率的取值范围。()椭圆兰■^2■1(a■b■0)和圆X2■y2■工■cH(其中c为椭圆半焦距)有四个a2b2■2■不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。

考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用TOC\o"1-5"\h\z【例】已知椭圆方程?■y2■1ta■b■0■，长轴端点为A,A,焦点为F,F,Pa2b21212是椭圆上一点，■APA■■,■FPF■■.求：・FPF的面积（用a、b、■表示）.121212分析：求面积要结合余弦定理及定义求角■的两邻边，从而利用S.-1absinC求面积.x2y2【变式训练】、若是椭圆—■匚■1上的一点，F、F是其焦点，且■FPF■60n100641212求^FPF的面积、已知x2y2是椭圆25■y、已知x2y2是椭圆25■y-■1上的点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF■PF11——2■—IPFI■PFI212贝必F1PF2的面积为（课后作业：一、选择题已知,已知,,,）动点满足A圆椭圆B线段,则点的轨迹为直线Dx2yx2y2已知漆而■蓝■1表示椭圆，则的取值范围是2、椭圆二十22与椭圆工十之■■■有（）3223相等的焦距相同的离心率相同的准线8椭圆正■上■1与三■■1（k的关系为（2599■■25■■相等的焦距相同的的焦点相同的准线轴二、填空题以上都不对）有相等的长轴、短x2x2y2、椭圆—■4-■1左右焦点为169为过的弦，则■的周长为、求满足以下条件的椭圆的标准方程长轴长为，短轴长为长轴是短轴的倍，且过点，经过点，，，、若/顶点B、若/顶点B坐标分别为的重心的轨迹方程为边上的中线长之和为0则,x242，过点作轴的垂线交椭圆于椭圆菊■唱叫"b■0）的左右焦点分别是，过点作轴的垂线交椭圆于点。若N60则椭圆的离心率为、已知正方形，则以、为焦点，且过C两点的椭圆的的离心率为椭圆方程为已知椭圆的方程为田■与■1,点是椭圆上的点且■FPF2■60・求产F2的面积—若椭圆的短轴为，它的一个焦点为1则满足△为等边三角形的椭圆的离心率为一TOC\o"1-5"\h\zx2y2椭圆loo■|6■1上的点到它的左焦点的距离是，那么点到它的右焦点的距离是1已知椭圆上■三■1（。■5）的两个焦点为F、F，且FF■8，弦过点F，则a22512121△ABF2的周长。3中心在原点、长轴是短轴的两倍一条准线方程为1■4那么这个椭圆的方程为。、椭圆的两个焦点三等分它