《结构力学》第4章：静定结构的位移计算

结构力学欢迎学习张毅主编董桂花徐继忠潘立常副主编2006年6月第1页，共27页。第1章结构的计算简图第2章平面结构体系的几何组成分析第3章静定结构的内力分析第4章静定结构的位移计算第6章位移法第8章影响线第5章力法第7章力矩分配法结构力学第2页，共27页。第4章静定结构的位移计算4.1结构位移计算的目的的4.2变形体的虚功原理4.3荷载作用下的位移计算的一般公式4.4静定结构在荷载作用下的位移计算4.5图乘法4.6静定结构在支座移动时位移计算4.7功的互等定理4.8小结第3页，共27页。本章学习要求理解静定结构位移计算的重要性。了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。理解弹性体系的几个互等定理及其应用。第4页，共27页。4.1结构位移计算的目的计算结构位移的目的主要有如下几个方面：在结构设计时，不仅要保证结构具有足够的强度，而且还要满足刚度的要求。结构在荷载作用下如果变形太大，表明结构的刚度不够，影响结构的正常使用。因此，设计时必须要验算结构的刚度。1.验算结构的刚度结构在制作、施工架设过程中，常常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取必要的防范和加固。如屋架下弦杆的“建筑起拱下料”做法等。2.结构在制作和施工架设中的位移计算超静定结构的支座反力和内力仅用静力平衡条件不可能全部求出，还必须利用结构的位移条件，建立补充方程，以求得全部未知力。3.为分析超静定结构创造条件第5页，共27页。应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：(1)材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律；(2)结构的位移(或变形)是微小的。第6页，共27页。W=P△式中，W—功；P—做功的力；△—沿力作用线方向的位移。在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向相应位移的乘积，表达式为4.2变形体的虚功原理1.功广义力广义位移对于其他形式力或力系所做的功，可用两个因子的乘积来表示，其中与力相应的因子称为广义力，而另一个与位移相应的因子称为广义位移。这样，功可以表示为广义力与广义位移的乘积。常用的是牛顿米(N•m)或千牛顿米(kN•m)。当力与位移方向一致时，功为正值，相反时为负值。第7页，共27页。作为结构当视为弹性体时，作用在弹性体上的外力在由它引起的力方向的位移所做的功，称为外力实功。由物理学知道，能量既不能创造，也不能消失，只能从一种形式转化为另一种形式，而能的总量保持不变，这就是能量守恒定律。功则是能量变化的量度。2.外力实功所谓“静力荷载”是指所加的荷载是从零缓慢地加到最终值。也就是说，施力过程是平稳地进行并不能使结构产生加速度，也就不产生惯性力，该过程称为静力过程。对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有式中f为比例常数第8页，共27页。如图4.1(b)所示，在荷载由零增加到P的过程中，荷载P所做的总功为图4.1静力做功(4.1)即等于三角形的面积。第9页，共27页。弹性结构在荷载作用下产生变形，其结构内部将积蓄应变能。在静力平衡过程中，略去其他微小能量的损耗，根据能量守恒定律，则在加载过程中外力所做的实功W全部转化为结构的弹性应变能，用U表示，即W=U。3.内力实功(应变能)凡力在其他因素引起的位移所做的功，称为虚功。图4.2力做虚功4.虚功如图4.2所示直杆由温度变化引起的荷载做功是虚功。第10页，共27页。第一状态的外力和内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功相等。5.变形体的虚功原理图4.3虚功原理第11页，共27页。式中，第一项是弯矩所引起的位移；第二项是剪力所引起的位移；第三项是轴力所引起的位移。利用虚功原理求结构在荷载作用下的位移计算问题。4.3荷载作用下的位移计算的一般公式这就是变形体在荷载作用下，位移计算的一般公式。这个方法称为单位荷载法。该法不仅适用于静定结构，而且也适用于超静定结构；适用于弹性材料和非弹性材料结构。(4.6)第12页，共27页。静定结构在荷载作用下，用位移计算的一般公式(4.6)求结构位移时，应根据结构的具体情况，只考虑其中的一项或两项。对于梁和刚架等结构，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以略去。4.4静定结构在荷载作用下的位移计算梁和刚架位移计算公式可简化为梁和刚架位移计算公式可简化为(4.8)(4.7)第13页，共27页。应特别强调的是：单位荷载必须根据所求位移而假设。例如图4.4(a)所示悬臂刚架，横梁上作用有竖直荷载，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷载有以下几种不同情况：(1)欲求A点沿水平方向的线位移，应在A点沿水平方向加一单位集中力，如图4.4(b)所示。图4.4单位荷载的虚设(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶，如图4.4(c)所示。(3)欲求A、B点的相对线位移(即A、B两点间相互靠拢或拉开的距离)，应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图4.4(d)所示。第14页，共27页。(4)欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B两截面处加一对反向的单位力偶，如图4.4(e)所示。由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。第15页，共27页。如图4.5所示为一等截面直杆段上的两个弯矩图，其中图为直线图形，Mp图为任意形状图形。对整个Mp图形的面积对y轴的截面一次矩积分得4.5图乘法上述积分运算等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心处所对应另一个直线弯矩图上的纵距yc，再除以EI。这就是所谓图形互乘法，简称为图乘法。图4.5图乘公式第16页，共27页。在使用图乘法时必须注意以下几点：如果结构的各段均可图乘，则位移公式可写为(1)必须符合下面的3个条件:①杆段的弯曲刚度EI为常数；②杆段的轴线为直线；③和两个弯矩图中至少有一个为直线图形。(2)纵坐标yc只能由直线图形上取得，且与另一个图形面积形心相对应。(3)若面积ω与纵坐标yc在杆件的同一侧时，乘积为正值，不在同一侧，则乘积取负值。第17页，共27页。(1)若两个弯矩图均为直线图形，可取其中任一个图形作为面积，乘上其形心所对应的另一直线图形上的纵坐标，所得计算结果不变。下面就图乘法在应用中遇到的计算问题说明如下：(2)若一个图形是曲线，另一个图形是由若干直线段组成的折线图形，则按折线分段进行图乘。(3)若两个图形都是在同一边的梯形，可将图的梯形分解为两个三角形(或一个矩形和一个三角形)，分别与另一个梯形对应相乘后再进行叠加。(4)若遇到均布荷载作用下某杆段较复杂的图，可根据弯矩图叠加原理将其分解为一个梯形和一个标准抛物线图形的叠加。第18页，共27页。【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图如图4.6(b)所示。图4.6(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。(3)计算ω，yc注意要分段。(4)计算△cr。第19页，共27页。静定结构由于支座移动(如地基的不均匀沉陷)或者制作误差都会产生位移。如图4.7(a)所示刚架产生位移，致使整个结构由实线位置移到虚线位置。4.6静定结构在支座移动时位移计算静定结构由于支座移动结构内部不产生变形，因此结构的内力虚功应等于零，即图4.7支座移动引起位移即上式就是静定结构在支座移动时的位移计算公式。第20页，共27页。符号规定如下：当与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。式中，为虚设单位力所产生的支座反力；c为支座处的实际位移。第21页，共27页。4.7功的互等定理如图4.8所示，计算第一状态的外力及其所引起的内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功和第二状态的外力及其所引起的内力在第一状态相对应的位移和变形上所做的虚功时，有图4.8功的互等上式表明，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。1.功的互等定理第22页，共27页。在功的互等定理中，假如两个状态中的荷载都是单位力时(即P1=1，P2=1)，为了明显起见，由单位力所引起的位移，用小写字母б12、б21表示，如图4.9所示。代入功的互等定理则有2.位移互等定理图4.9位移互等这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力(P2=1)在第一个单位力作用点沿其方向所引起的位移(б12)，等于第一个单位力(P1=1)在第二个单位力作用点沿其方向所引起的位移(б21)。第23页，共27页。4.8小结静定结构位移计算是以虚功原理作为理论依据建立的方法。虚功原理在结构分析中应用广泛，主要内容归纳如下：1.结构在荷载、支座移动等外因影响下都会产生位移。关于位移的计算，在工程实践和结构分析中占有重要地位。2.用虚功原理必须要有两个互不相关的独立状态，即力状态和位移状态；其中一个是实际的，而另一个则是根据计算的需要虚设的。但两个状态发生在相同的体系上。3.由虚功原理导出的平面结构的位移计算公式有：(1)荷载作用：第24页，共27页。工程实际中，常根据结构的受力特点，使上式简化为梁和刚架桁架(2)支座移动：4.计算荷载作用下的结构位移，一般应用积分法，但对于梁和刚架等结构，如果符合如下条件(1)杆段EI为常数；(2)杆轴为直线；(3)、Mp两个弯矩图中至少有一个是直线图形。可将积分运算转化为图乘法运算，即：第25页，共27页。5.弹性结构功的互等定理是最基本的，由其导出位移互等定理等，在今后求解超静定结构的计算中均要用到。第26页，共27页。内容梗概结构力学。4.1结构位移计算的目的的。熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移。(2)结构的位移(或变形)是微小的。常用的是牛顿米(N•m)或千牛顿米(kN•m)。如图4.1(b)所示，在荷载由零增加到P的过程中，荷载P所做的总功为。(1)欲求A点沿水平方向的线位移，应在A点沿水平方向加一单位集中力，如图4.4(b)所示。(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶，如图4.4(c)所示。(3)欲求A、B点的相对线位移(即A、B两点间相互靠拢或拉开的距离)，应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力，如图4.4(