《结构力学》第十四章结构振动与稳定

14—1概述一.动荷载的定义大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。二.动荷载的分类动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载第1页，共41页。一.自由度的定义确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。14—2结构振动的自由度第2页，共41页。二.自由度的确定1)平面上的一个质点W=22)W=2弹性支座不减少动力自由度3)计轴变时W=2不计轴变时W=1为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4)W=15)W=2自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=27)W=1第3页，共41页。8)平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的平面刚体W=3W=210)第4页，共41页。W=111)12)W=13自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系;自由度无限多的体系为无限自由度体系。第5页，共41页。14—3单自由度结构的自由振动一、不计阻尼自由振动自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。1.运动方程及其解阻尼---耗散能量的作用。mEIl令二阶线性齐次常微分方程第6页，共41页。2.振动分析其通解为由初始条件可得令其中单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.自振周期自振园频率(自振频率)与外界无关,体系本身固有的特性A振幅初相位角第7页，共41页。3.自振频率和周期的计算利用计算公式第8页，共41页。算例例一.求图示体系的自振频率和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:第9页，共41页。例二.求图示体系的自振频率和周期.=1解:mEIllm/2EIEIll例三.质点重W,求体系的频率和周期.解:EIkl1k第10页，共41页。1.阻尼与阻尼力阻尼:使振动衰减的作用.阻尼产生原因:材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等.c-----阻尼系数

二、阻尼对振动的影响阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。2.计阻尼自由振动1）.运动方程及其解m令运动方程设特征方程第11页，共41页。2）.振动分析根为令方程的通解为由初始条件不振动--临界阻尼系数---阻尼比不振动小阻尼情况临界阻尼情况大阻尼情况周期延长计算频率和周期可不计阻尼第12页，共41页。例:对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数振动是衰减的对数衰减率利用此式,通过实验可确定体系的阻尼比.上式也可写成6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少2cm解:1.阻尼比2.刚度系数第13页，共41页。3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少第14页，共41页。1.运动方程及其解二阶线性非齐次常微分方程一、不考虑阻尼mEIlP(t)P---荷载幅值---荷载频率运动方程或通解其中设代入方程,可得通解为14—4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动第15页，共41页。11---频比2.纯受迫振动分析mEIlP(t)---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移---动力系数---稳态振幅第16页，共41页。若要使振幅降低,应采取何种措施?通过改变频比可增加或减小振幅.增函数减函数---共振为避开共振一般应大于1.25或小于0.75.应使频比减小.增加结构自频.增加刚度、减小质量.应使频比增大.减小结构自频.减小刚度、增大质量.第17页，共41页。例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知3.动位移、动内力幅值计算计算步骤:1）.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2）.计算动力系数；3）.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3动弯矩幅值图第18页，共41页。例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4振幅动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大位移第19页，共41页。[动荷载不作用于质点时的计算]m=1=1令P仍是位移动力系数是内力动力系数吗?运动方程稳态解振幅第20页，共41页。[列幅值方程求内力幅值]解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知同频同步变化mEIl/2l/2PP=1第21页，共41页。解:例:求图示体系右端的质点振幅P动弯矩幅值图mlmkllAPo第22页，共41页。二.考虑阻尼1.运动方程及其解设或通解第23页，共41页。初位移、初速度引起的自由振动分量动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动纯受迫振动第24页，共41页。2.阻尼对振幅的影响在平稳阶段随增大而减小阻尼在共振区内影响显著,在共振区外可不计阻尼.的最大值并不发生在位移滞后于荷载3.动内力、动位移计算除动力系数计算式不同外，其它过程与无阻尼类似。11第25页，共41页。例.图示为块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向刚度为;竖向振动时的阻尼比为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向振动时的振幅。解：第26页，共41页。m将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。一.瞬时冲量的反应1.t=0时作用瞬时冲量m2.

时刻作用瞬时冲量14—5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动第27页，共41页。二.动荷载的位移反应m---杜哈美积分计阻尼时若t=0时体系有初位移、初速度第28页，共41页。例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m解：动力系数为2第29页，共41页。14—6多自由度结构的自由振动自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。一.运动方程及其解或m1m2运动方程设方程的特解为代入方程,得---频率方程第30页，共41页。m1m2解频率方程得的两个根值小者记作称作第一频率也称作基本频率;值大者记作称为第二频率或高阶频率.将频率代入振型方程特解1特解2通解第31页，共41页。二.频率与振型体系按特解振动时有如下特点1)各质点同频同步;2)任意时刻,各质点位移的比值保持不变定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型。几点说明：1.按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2.发生按振型的自由振动是有条件的.3.振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.第32页，共41页。5。若已知柔度矩阵时6。求振型、频率可列幅值方程.4。N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得的N,从小到大排列依次称作第一频率,第二频率...第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.将频率代入振型方程得N个振型N个振型是线性无关的.振型方程频率方程按振型振动时第33页，共41页。m1m2振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移第34页，共41页。三.求频率、振型例题例一.求图示体系的频率、振型解令第35页，共41页。1111第一振型第二振型对称体系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型第36页，共41页。11第二振型对称系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型按对称振型振动=1l/3按反对称振型振动第37页，共41页。=1l/9第38页，共41页。解:例二.求图示体系的频率、振型.已知:m1m211.61810.618第39页，共41页。列运动方程例题例3.mEIlEIl1例4.mEIl/2EIl/21第40页，共41页。内容梗概14—1概述。14—1概述。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。14—2结构振动的自由度。自由度为1的体系称作单自由度体系。自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。14—3单自由度结构的自由振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.。自振园频率(自振频率)。A振幅。例二.求图示体系的自振频率和周期.。例三.质点重W,求体系的频率和周期.。1。材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外