地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元-无限元耦合模型

第

35

卷

第

10

期2016年10月岩石力学与工程学报Chinese

Journal

of

Rock

Mechanics

and

EngineeringVol.35

No.10Oct.，2016地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型1，233马龙祥

，刘维宁

，刘卫丰

，晏启祥1，2(1.

西南交通大学

土木工程学院，四川

成都

610031；2.

西南交通大学

交通隧道工程教育部重点实验室，四川

成都

610031；3.

北京交通大学

土木建筑工程学院，北京

100044)摘要：为了对地铁列车运营引起的环境振动进行高效、高精度的预测，全面考虑列车真实行进过程对环境产生的效应，并假想隧道–地层系统为线路纵向无限个完全相同的薄片结构两两相接所组成的周期结构，其中各薄片结构均由围绕隧道近场的有限单元及可提供良好边界条件的远场无限单元构成。在将环境振动激励力分解为各激励频率轮轨力对应的成分基础上，利用叠加原理及线路纵向任意一薄片结构在单一频率轮轨力激励下存有的周期性边界条件，在频域内将列车引起三维隧道–地层系统振动响应问题的求解转化到在线路纵向一个薄片范围内进行。研究结果表明，提出的模型能有效地对列车运营引起隧道–地层系统在任意方向上的任意振动物理量进行预测，其不仅预测精度高，而且计算速度快、计算能力强；地铁列车运营引起地表在横向、垂向及纵向

3

个方向上的振动速度及加速度响应具有相似的频率成分及同一量级的时域最大振幅。关键词：隧道工程；地铁运营；环境振动；预测；周期性方法；薄片有限元–无限元耦合模型中图分类号：U45文献标识码：A文章编号：1000–6915(2016)10–2131–11Slicedfiniteelement-infiniteelementcouplingmodelfor

predictingenvironmentalvibrationinducedbymetrotrainMA

Longxiang1，2，LIU

Weining

，LIU

Weifeng

，YAN

Qixiang331，2(1.Schoolof

CivilEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu，Sichuan610031，China；2.

KeyLaboratoryofTransportationTunnelEngineering，MinistryofEducation，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu，Sichuan610031，China；3.Schoolof

Civiland

ArchitecturalEngineering，BeijingJiaotongUniversity，Beijing100044，China)Abstract：In

order

to

carry

out

the

all-round

prediction

with

high

efficiency

and

high

precision

for

the

metrotrain-induced

environmental

vibration，the

effect

of

the

actual

moving

award

process

of

train

on

the

environmentwas

taken

into

full

consideration，and

the

tunnel-soil

system

was

supposed

as

a

longitudinal

periodic

structure，which

consists

of

a

series

of

the

identical

sliced

structures

successively

arrayed

in

the

longitudinal

direction

oftunnel.

Each

sliced

structure

was

supposed

to

be

composed

ofthe

finite

elements

inthe

near

fieldof

tunneland

theinfinite

elements

in

the

far

field

away

from

the

tunnel

which

can

provide

good

boundary

conditions.

Based

on

thedecompositions

of

the

environmental

vibration

excitation

forces

into

the

components

corresponding

to

thewheel-rail

forces

with

various

excitation

frequencies，utilizing

the

principle

of

superposition

and

the

periodic收稿日期：2015–11–27；修回日期：2016–05–03基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278043，51278425)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2682015BR019)Supported

by

the

National

Natural

Science

Foundation

of

China(Grant

Nos.

51278043

and

51278425)

and

the

Fundamental

Research

Funds

for

the

CentralUniversities(GrantNo.2682015BR019)作者简介：马龙祥(1988–)，男，博士，2009年毕业于北京交通大学土木工程(铁道工程)专业，现任讲师，主要从事地铁列车振动环境影响及其控制、列车运营振动对隧道结构长期安全性影响等方面的研究工作。E-mail：malongxiang_swjtu@163.comDOI：10.13722/ki.jrme.2015.1634•2132•岩石力学与工程学报2016

年boundary

conditions

existed

in

each

longitudinal

sliced

structure

under

the

wheel-rail

forces

with

a

singleexcitation

frequency，the

solution

of

the

vibration

response

of

the

actual

three-dimensional

tunnel-soil

systeminduced

by

the

moving

train

was

transformed

to

be

solved

within

a

longitudinal

sliced

range

in

the

frequencydomain.

Computation

results

show

that

the

proposed

model

can

effectively

predict

any

train-induced

vibrationphysical

quantity

oftunnel-soil

systemin

any

direction.the

model

notonlyhashighprediction

precision，butalsohas

fast

calculation

speed

and

strong

calculation

ability.

The

ground

surface

vibration

velocity

and

accelerationresponses

in

the

transverse，vertical

and

longitudinal

directions

induced

by

metro

train

have

the

similar

frequencycomponents，andtheirtime-domainmaximum

amplitudesareinthesameorderofmagnitude.Keywords：tunnellingengineering；metrooperation；environmentalvibration；prediction；periodicapproach；slicedfiniteelement-infiniteelementcouplingmodel(SFEIECM)向变换到波数域，进而分别使用有限元及边界元、1

引

言有限元及无限元或有限元及人工边界对系统横断面进行离散模拟，最终建立了

2.5

维数值模型，将三维问题的求解归结于研究系统的一个横断面。然而，这些波数方法都必须通过对系统纵向进行波数变换，才能使问题的计算工作量得以有效减少。而这样的波数变换却致使这些模型仍然较难全面考虑列车真实行进过程(具有多频率成分轮轨力的行进过程)对环境产生的效应。因此，这些波数模型在考虑运行列车引起的环境振动响应时，往往会或多或少地进行一些简化处理。快速发展的城市轨道交通在缓解交通压力的同时也引起了越来越严重的环境振动问题[1-2]。与此同时，由于具有重要的现实意义，如何对地铁列车运营引起的环境振动响应进行有效预测，也已成为社会广泛关注的问题[3]。刘维宁等[4]在时域内建立了地铁列车–轨道相互作用动力模型及隧道–地层系统的三维有限元模型，对地铁列车振动的环境响应进行了分析。和振兴等[5]建立轨道及隧道的三维有限元动力分析模型，研究了地铁列车准静态移动轴荷载引起的地面振动。孙晓静等[6-7]分别在实测钢轨振动响应反推得到的数定列车荷载及实测列车荷载基础上，将荷载按一定方式沿线路纵向均布，建立二维有限元模型对地铁列车运营引起的地表振动进行了研究。但是，在预测地铁列车振动环境影响问题时，以上这些方法要么会产生巨大的计算工作量，要么就会因为对问题进行了一定简化，致使无法真实模拟列车行进过程或实际多频率成分轮轨力行进过程对环境产生的效应。综上所述，可以看到，如何高效、高精度地预测隧道–地层结构在列车真实行进效应或实际多频率成分轮轨力行进效应下的振动响应，仍是目前有待进一步研究的问题。鉴于此，为了克服既有地铁环境振动预测模型中存在的不足，本文在将隧道–地层系统视为沿线路纵向以扣件间距为周期的周期结构基础上，提出了地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型(简写为SFEIECM)。该模型与特定车轨动力耦合模型进行了良好衔接，借助于频域内的环境振动激励力及一个无需进行线路纵向波数变换的新思路，实现了列车真实行进效应的高效、准确模拟，并最终在频域内将列车引起三维隧道–地层系统振动响应问题的求解，转化到在线路纵向一个由有限单元及无限单元构成的薄片范围内进行。该模型大大减少了环境振动预测建模所需的自由度，并对问题进行了全面考虑，因此具有较高的预测效率及预测精度。为了提高问题的计算效率，一些学者将轨道–隧道–地层或隧道–地层系统近似视为一个沿线路纵向具有一致性或周期性的结构，又建立了预测隧道–地层系统由地铁列车作用或移动力作用所引起振动响应的波数方法。G.Degrand等[8-9]视系统为沿线路纵向的周期结构，使用

Floquet

变换将系统纵向变换到波数域，进而建立了周期性有限元–边界元耦合模型，将三维动力问题的求解归结于研究系统的一个周期范围。X.

Sheng等[10-12]视系统为沿线路纵向具有一致性的结构，运用

Fourier

变换将系统纵2

环境振动激励力及其模拟考虑地铁列车的真实行进效应对环境产生的影第35卷

第10期马龙祥等：地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型•2133•响，将车轨系统与隧道–地层系统解耦处理(由于隧道基底提供给轨道的刚度远远大于轨道自身的支撑刚度，采用解耦的方法求解环境振动激励力，是合理可行的[4，9])，使用基于无限–周期结构理论的车轨动力耦合模型[13-15]，来模拟运营在具有不平顺轨道上的列车经由轨道结构传递给隧道基底的环境振动激励力(见图

1)，并以此对隧道–地层系统进行动力加载。3

薄片有限元–无限元耦合模型的建立3.1

基本假定由于轨道交通运行引起土体及隧道结构等的动应变量值很小，土体及隧道结构等的变形均在完全线弹性变形范围内[4-13]，因此，将隧道–地层系统的介质考虑为各向同性的完全线弹性连续介质，并做如下假定：vMcJcφczc(1)

地层为水平成层状介质；…kt

ctMt

Jt…φt(2)

忽略隧道结构沿线路纵向的坡度，认为其为水平布置的直线结构；kwkHcwMwztRough(x)zw(3)

隧道结构与周围土体紧密接触，在交接面上变形协调；……LˆˆFk+1Fk(4)

隧道–地层系统阻尼满足线性滞回阻尼理论[16](又称复阻尼理论)。模型计算时，取相应介质的弹性模量及剪切模量如下：环境振动激励力图1

环境振动激励力Fig.1

EnvironmentalvibrationexcitationforcesE*=E(1

2iβ)⎪⎫+⎬(3)基于无限–周期结构理论的车轨动力耦合模型G*=

G(1+

2iβ)⎪⎭视轨道为以扣件间距为周期的周期性离散支撑无限长结构，其在频域内将列车与轨道进行耦合，并将轮轨力表述成一系列简谐荷载的叠加。而实际的车轨动力响应可由各频率成分轮轨力激扰下的响应结果进行叠加求得。运用该模型，能够对列车准静态轮轨力及由轨道不平顺引发的动态轮轨力共同作用下的环境振动激励力进行高精度的模拟。具体地，由该模型计算得到的轨道系统任意扣件下的环境振式中：β

为介质阻尼比；

E

，G

分别为介质实弹性模量及实剪切模量；

E

，

G

分别为考虑介质阻尼**的弹性模量及剪切模量。3.2

模型建立的基本原理将由基于无限–周期结构理论的车轨动力耦合模型求得的、沿线路纵向等间距分布的环境振动激励力施加于隧道–地层结构上，经过特定处理及运算，可在频域内建立地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型。下面分别针对地铁实际运营中的几种常见情况，对建立相应薄片有限元–无限元耦合模型进行问题处理的基本原理进行说明。动频域激励力[13]可表示为NRˆˆ∑F

(ω)

=

F

(ω，ω

)(1)kkll=0ˆ式中：F

(ω)

为第

k

个扣件下的频域振动激励力；NkR为轨道不平顺的采样点数，亦为考虑动态轮轨力激3.2.1

单洞隧道情况ˆ振频率的个数；ω

为轮轨力激励频率；F

(ω，ω

)

为lkl先考虑纵向无限长的隧道–地层结构在左右轨的相应位置，各自受单一频率轮轨力引发的系列振车轨动力耦合系统特定激振频率

ωl

的轮轨力作用在钢轨上，由轨道第

k

个扣件下部结构传递给固定基础对应频率为ω

的力，其满足如下关系：ˆ动激励力

F

(ω，ω

)

(

k

=

−∞～+∞

)作用。利用问题kl的对称性，取一半(对应单股钢轨)的隧道–地层空ˆω

−ωlˆF

(ω，ω

)

=

ei()L/v

F

(ω，ω

)(2)间进行研究，并将线路对称面设置为

x

0

m面，见图

2(a)。图

2

中两相邻振动激励力之间的间距即为扣件间距

L。=k+1lkl式中：L为扣件间距，v为列车运行速度。即，在单一激振频率轮轨力作用下，线路纵向任意两相邻(对应第

k

和

k+1

个扣件的)频域振动激励力都存在仅具有相位差的周期性关系。值得一提的是，该周期性关系在时域内表现为相应时程仅在波形上具有一个时间延迟(或超前)

Δt

=

L

/

v

。在满足上述基本假定的前提下，借鉴离散网格化的模拟思路，图

2(a)所示的空间模型可以视为由线路纵向(z方向)上无限个厚度为

L的、在各自相同ˆ侧的端面承受激励力

F

(ω，ω

作用的、具有相同)lk•2134•岩石力学与工程学报2016

年好边界条件的无限单元所组成，且它们在线路纵向(z

方向)均只使用一个单元进行实体模型的描述(由于各薄片厚度

L

对应于扣件间距，一般仅为

0.6

m左右，在厚度方向上使用一个单元进行实体模型的描述已能得到较好的模拟结果)。即，隧道–地层模型可被视为一个具有单元划分的纵向无限的周期性结构。在该周期结构中，构成每一基本薄片的所有单元沿线路纵向(图2(b)中

z方向)都是柱状的，因此各薄片纵向上的2个横端面单元结点一一对应。yxzAk∶z=

zkAk+∶1

z=

zk+1)ˆωωlˆFk+3F

(，kˆˆ…FF…k−2k+2ˆˆk+1(ωωlFF，)k−1ˆ将力

F

(ω，ω

)

作用的第

k

个基本薄片

B

单独klk(a)取出进行研究，见图

2(c)。其中，面

A∶z

=

z

及面kkA

∶z=

z

为基本薄片

Bk

纵向上的

2

个横端面，+1k+1y…k它们在最初纵向无限长空间模型中的位置可见图2(a)。令基本薄片

Bk

的单元结点编号规则为：先编完

A∶z=

z

面上的结点，而后再编

A

∶z=

zzxˆFk−1ˆFkˆFkkk+1k+1k+1面上的结点，并使

Ak+1

面上结点的编号等于

Ak

面上相同位置(x

及

y

坐标相同)处的结点编号加上

Ak

面上的总结点数。…Bk－1Bk通过力学分析可知，在上述结点编号规则下，Bk+1=基本薄片

Bk

频域内未引入

x

0

m

面对称边界条件的动力控制方程可以写为(b)ˆˆ′ˆ[K(ω)

−ω2M(ω)]d(ω，ω

)

=

P

(ω，ω

)

+

P(ω，ω

)yl0llAk∶z

=

zkzxAk+∶1

z=

zk+1(4)式中：

K(ω)

和

M(ω)

分别为基本薄片

Bk

频域内对ˆFkω(应于频率

的刚度矩阵及质量矩阵

由于本文模型中无限单元的形函数是关于频率ω

的函数，因此质量与刚度矩阵均与频率ω

有关)，其中

K(ω)

采用线有限单元性滞回阻尼理论计算得到，其也包含了结构系统的无限单元ˆ阻尼矩阵；P(ω，ω

)

为基本薄片

B

及

Bk+1

作用于lk−1ˆ′基本薄片

B

上的力向量；

P

(ω，ω

)

为环境振动激k0l无限单元励力向量，大部分元素为

0

元素，唯一非

0

元素为Bk车轨耦合动力模型计算得到的第

个扣件下的振动k(c)ˆ

ω

ˆ

ω，ωωl激励力

F

(

)

，其位置由

F

(

，

)

作用的结klk图2

薄片有限元–无限元耦合模型及其建立(单洞隧道情况)点号及方向确定。记

KM(ω)

=

K(ω)

−ω

M(ω)

，并按纵向上的

22Fig.2

Slicedfiniteelement-infiniteelementcouplingmodelanditsestablishment(singletunnelcase)个横端面将式(4)写成分块矩阵形式，则有⎡KM

ω

，KM

ω

⎤⎧⎪

ˆ

ωω

)⎫⎪l(

)

(

)

d

(，1112k=⎬⎢⎥⎨单元网格划分的基本薄片

Bk

(

k

=

−∞～+∞

)两两相ˆKM

(

)，KM

(

)

⎪d

(ω，ω

)⎪⎦⎩ωω⎣2122l⎭k+1接、排列而成，见图

2(b)(图中

Bk

−1，Bk

及

Bk+1

以外⎧

ˆ⎫

⎧

ˆ⎪

P

(ω，ω

)

⎪，(ω

ω

)⎫0P0更多的基本薄片以虚线框进行示意)。其中，基本薄⎨kl⎬

+

⎨l⎬(5)ˆ⎪P

(ω，ω

)⎪

⎩⎩k+1l⎭⎭片具有相同单元网格划分是指各薄片在单元构成及单元划分上完全相同。具体地，各基本薄片均由围绕隧道结构的有限单元及远离振源近场、可提供良ˆˆ式中：d

ω，ω

，d

(ω，ω

)

分别为面

A∶z=

z()lkk+1lkk与面

Ak+1

zk+1∶

=

上所有结点

3

个方向位移响应所z第35卷

第10期马龙祥等：地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型•2135•ˆ组成的位移向量；P

(ω，ω

)

为基本薄片

B

作用于klk−1基本薄片

B

的面

A∶z=

z

上所有结点

3

个方向的kkkyˆx力所组成的力向量，

P

(ω，ω

)

为基本薄片

B作zk+1lk+1用于基本薄片

B

的面

A

∶z=

z

上所有结点

3

个kk+1k+1Ak∶z

=

zkA

∶z=

zk+1

k+1ˆ方向的力所组成的力向量。显然，

d

(ω，ω

)

与klˆk+1(ω，ω

)lFˆˆ

ˆ(ω，ω

)

以及

P

(ω，ω

)

与

P

(ω，ω

)

中相同l

k

l

k+1

ldk+1Fˆk−1Fˆk+3……位置处的元素分别对应于

Ak

及

Ak+1

面上相同位置处的结点及结点自由度。ˆˆ

ˆF

(ω

ω

)

F，k+2

l

k+4Fk将式(5)展开可得ˆˆKM

(ω)d

(ω，ω

)

+

KM

(ω)dk+1(ω，ωl

)

=11kl12ˆˆP

(ω，ω

)

+

P

(ω，ω

)(6)(7)kl0l(b)

新状态ˆˆKM

(ω)d

(ω，ω

)

+

KM

(ω)dk+1(ω，ωl

)

=图3

2种受力状态Fig.3

Two

loadedstates21kl22ˆP

(ω，ω

)k+1l由于在单一频率轮轨力激励下，振动激励力F

(ω，ω

)

满足式(2)所示的周期性关系。故想象将将式(8)，(9)代入式(6)及(7)，并消去未知力向ˆˆ

ωωl量

P

(

，

)

，有klkˆ系列振动激励力

F

(ω，ω

)

(

k

=

−∞～+∞

)均乘以系ω

ˆ

ω

ω

=

ˆ

ωC(

，

)d

(

，klω)P

(

，ω

)(10)lkl0lω

−ωl)L/v

(

F

(

，

)

乘

以

系

数

e将

变

成F

(ω，ω

)

)，得到隧道–地层系统受力的一种新ˆ

ωkωli(ωl

−ω)L/v数

ei(其中，ˆC

ω，ω

=

KM

(ω)

+

ei(ω

−ω

KM

ω

+())L/v(

)12k

+1ll的状态，显然新状态下面

A∶z=

z

与原状态下面l11kke−i(ωl

−ω)L/v

KM

(ω)

+

KM

(

)ω22Ak+∶1

z=

zk+1

受力情况完全相同(见图

3)。因此可得，在原始系列力

F

(ω，ω

)

(

k

=

−∞～+∞

)作用下21KM

(ω)

=

KM(ω)12Tˆ21kl(原状态)，基本薄片

B

的两个横端面

A∶z=

z

与对式(10)引入

x

0

m面上的对称边界条件：面=kkkAk+∶1

z=

zk+1

上任意对应结点(x，y

坐标相同，仅

z坐标分别位于两个横端面上)频域内的位移与受力也存在与式(2)相同或类似的关系，即有上所有结点

x

方向位移为

0，采用对角元素改

1

法[17]，得′(ω

ω

)

(ω

ω

)

P

(ω

ω

)ˆ=

ˆC，d，，(11)C′(ω

ω

)，

为引入对称边界条件后的系数矩llkl

0lˆω

−ωˆdk+1(ω，ωl

)

=

ei()L/vd

(ω，ω

)(8)(9)式中：阵。lklˆω

−ωlˆωP

(ω，ω

)

=

−ei()L/v

P

(ω，ω

)解式(11)可得单一激振频率

的列车移动轮轨k+1lkll力作用下基本薄片

Bk

的位移响应：ˆ′ˆd

(ω，ω

)

=

C

(ω，ω

)−1

P

(ω，ω

)(12)kll0ly对于实际由多频率成分轮轨力引起的基本薄片xzBk

的位移响应，可由叠加原理按下式进行计算：Ak∶z

=

zkAk+∶1

z

=

zk+1NNRˆ∑Rˆ∑C′(ω，ωl)−1

(ω，ωl)ˆP0d(ω)=d(ω，ωl)=ˆω，ω

)lkkF

(kl=0l=0ˆˆ…FF…(13)依据式(13)所示的频域位移响应，容易求得基k−2k+2ˆˆωωlˆFFk+1(，)Fk+3k−1本薄片

Bk

中隧道及地层的速度及加速度频域响应，进而由逆傅里叶变换，可求得相应响应的时程。更进一步地，运用式(12)，(8)及叠加原理，也可容易由基本薄片

Bk

的振动响应扩展求得纵向无限长隧道–地层系统中任意一纵向位置处的振动响(a)

原状态•2136•岩石力学与工程学报2016

年应。至此可见，在环境振动响应求解的全过程中，本文模型实际只需对一个薄片范围内的隧道–地层结构进行建模及分析。需要特别说明的是，由于在列车的匀速行进过程中，线路纵向不同位置处横断面上响应的量值及频率成分是相类似的，在运用本文模型预测环境振动时，可不用过多关注预测点在线路纵向的位置，而可直接将具体研究基本薄片中的某些对应点响应取为振动关注点的预测响应。3.2.2

双洞隧道单车运行情况元–无限元耦合模型研究左、右线列车各自单独运行引起的环境振动时，可通过具体输入薄片结构的、带有特定相位信息的环境振动激励力，来控制

2

种情况叠加后所得响应具体对应于线路纵向上何处横断面的响应。具体地，在建立相应薄片有限元–无限元耦合模型时，设针对

2

种情况建立的薄片分别受相应(左线或右线)车轨系统产生的第

p

个ˆˆ(ω，ω

)

或

F

(ω，

)

(上标kω或第

k

个振动激励力

FLpRll“L”和“R”分别表示左右线)作用，即可通过设置

p，k的相应取值，对输入薄片结构的环境振动激励力进行设置(由基于无限–周期结构理论的车轨耦合模型计算得到的特定位置处的环境振动激励力将具有特定的相位信息)，从而对

2种情况叠加后研究的具体线路横断面进行控制。如：若两辆对向运行列车车型及速度相同，取

p=k，则研究横断面就是两车初始交汇断面，该断面由两车各自引起的振动响应在时间上将具有最长的叠合，也将具有时域内最大的环境振动响应量值，为一些特定情况(如一些需以振动时域物理量评价环境振动对敏感目标影采取与单洞隧道情况相类似的处理方法，将整个隧道–地层空间分割为具有网格的薄片。但对于双洞隧道单车运行情况(双洞距离较近，否则可视为单洞隧道情况)，在线路横断面上，有限单元区域应扩大至一个包含

2

个隧洞及周围土体的长方形范围(长方形范围外的土体使用无限单元模拟)，如图

4所示。在这样的网格划分下，使用与单洞隧道情况相同的计算方法，可预测得到双洞隧道单车通过情况下相应的环境振动响应。有限元区域(需足够大)响的情况)的最不利工况。无限元区域无限元区域3.3

有限元及无限元模式ˆˆFkFk由前所述，隧道结构及近场土体采用有限元方法模拟，具体地，采用三维八结点等参单元来模拟。三维八结点等参单元插值函数与形函数表达式相同，可统一表达为……无限元区域图4

双洞隧道单车运行情况对应模型的有限及无限单元分布1M

=

N

=

(1+ξξ

)(1+ηη

)(1+ζζ

)(14)ii8iiiFig.4

Distributionoffiniteandinfiniteelementsinthemodelcorrespondingtothecasethatasingletrainmovesinoneofthedoubletunnels式中：ξ

，η

和ζ

分别为

x，y和

z方向的局部坐标；η

=

±1，ζ

=

±1(i

=1，2

，3，4，5，6，7，8

)为相应结ii点在相应方向的局部坐标。3.2.3

双洞隧道双车相向运行情况远场土体采用三维八结点无限元(见图6)模拟，其插值函数

M

和形函数

N

可分别取为双洞隧道双车相向运行的情况可以分解为左右线列车各自单独运行情况的叠加，见图

5。因此，按照双洞隧道单车运行情况，对左右线列车各自单独运行引起环境振动响应进行计算并叠加(同一点的响应直接相加)，即可得到双洞隧道双车相向运行引起的环境振动响应。此情况下，在建立薄片有限ii⎧1−2ξ1−ξ1+ξ1−ξ(1+ηη

)(1+ζζ

)(i

=1，2，3，4)⎪ii⎪4M

=

⎨(15)i1⎪(1+ηη

)(1+ζζ)(i

=

5，6，7，8)⎪⎩4iiˆ

L

ˆ

LF

Fˆ

R

ˆ

Rˆ

R

ˆ

RF

Fk

kˆ

L

ˆ

LF

FFFppkk=+pp列车垂直于纸面向里行驶列车垂直于纸面向外行驶图5

双洞隧道双车相向通过情况及其分解Fig.5

Thecasethattwotrainsmovetowardseachotherindoubletunnelsanditsdecomposition第35卷

第10期马龙祥等：地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型•2137•y7(为①，②及③区，见图

图中仅以单洞隧道情况进行x示意，双洞情况与此类似)，进而针对各区域分别在不z4(MATLAB)。具体同软件中进行建模

但最终均需导入8思路如下：153y7zx26①区图6

无限单元示意Fig.6

Infiniteelement②区1N

=

(1+ηη

)(1+ζζ

)

f

(ξ)

(i

=1，2，3，4)

(16)iii4式中：ξ

对应于无限方向；

f

(ξ)

为传播函数，也称衰减函数，表示无限元在ξ

方向的位移模式，其可表示为

f

(ξ)

=

e−αl(1+ξ

)/(1−ξ)e−ikl(1+ξ

)/(1−ξ

)

(具体推导可参见马③区龙祥[13])；l为无限元结点

i(5，6，7，8)与结点

i－4之间

x

方向的坐标差(即距离)，α

为位移幅值衰减①，②区：有限单元区域；

③区：无限单元区域因子，

e−αl(1+ξ

)/(1−ξ)代表了由于波的散射造成的位移代表了波在整体坐标中传递的相位损失。α

及

k的取值方法可参见马龙祥[13]图7

程序处理的分区幅值的衰减；

k

为波数，

e−ikl(1+ξ

)/(1−ξ)Fig.7

Subregionsintheprogramprocessing(1)

借助

ANSYS

有限元软件建立①区的有限元模型，提取出区域的相应结点、刚度矩阵及质量矩阵信息，存储至

MATLAB

软件。而后，在MATLAB

软件里对①区结点按模型编号规则进行重新编号，并对原有刚度矩阵及质量矩阵进行相应调整，生成新编号规则下的①区有限元模型的刚度及质量矩阵。。而有限单元及无限单元的刚度矩阵及质量矩阵均可由以下两式进行计算：11

1∫

∫

∫K

=BTDB

|

J

|

dξdηdζ(17)(18)−1−1−111

1∫

∫

∫M

=ρN

N

|

J

|

dξdηdζT−1−1−1(2)

在MATLAB软件里生成采样频率序列

a1

，a

，…，

a

(M

为采样点数，

a

取为

0

Hz，

a

依式中：相关符号含义可参见王勖成和邵

敏[17]的研究。2M1M据最高分析频率进行取值)，进而对各采样频率ω

=

ai做如下循环计算，得到目标点位移振动响应的频域解：①

依据模型结点编号规则，编程建立②区有限元及③区无限元区域的模型，并生成与采样频率ω

相对应的区域刚度、质量矩阵；②

根据“按结点编号对号入座的法则”，进行①，②区及③区的

耦

合

，

生

成

整

个

模

型

区

域

的

初

始

刚

度

矩

阵K(ω)

(含阻尼矩阵)及质量矩阵

M(ω)

；③

根据模型的计算原理，计算运行列车引起目标点对应于采样频率ω

=

ai

的频域振动位移响应。4

模型的计算程序依据上述理论，在借助

ANSYS

有限元软件的部分建模及计算功能基础上，运用

MATALB

软件编制了薄片有限元–无限元耦合模型的计算程序。考虑到运用

MATALB

软件编制并计算不规则有限元区域的刚度及质量矩阵较为繁琐，且从

ANSYS中提取过大范围有限元区域模型的信息存储至MATLAB也较为困难，该计算程序将模型区域划分为

3

个区域：近激励源具有不规整结点信息的隧道及周边土体所组成的有限元区域、距激励源较远的土体有限元区域及最外围的土体无限元区域，分别(3)

根据目标点的频域振动位移响应，求解其频域振动速度及加速度响应，进而再由逆傅里叶变换求得各振动物理量的相应时程，从而完成地铁列车运行引起目标点环境振动的预测。•2138•岩石力学与工程学报2016

年图

9

给出了由上述薄片有限元–无限元耦合模型(SFEIECM)计算得到的隧道–地层系统横断面对应于某一特定频率的频域振动位移响应。具体地，图中给出了横断面上对应于

5

Hz

的垂向振动位移响应及对应于40Hz的水平向振动位移响应。从图

9

中可以看到：列车通过引起隧道–地层系统的振动最大值出现在隧道附近区域；振动随距隧道距离的增加，整体上将出现衰减，且较高频段的振动衰减得快，而低频段振动衰减得慢，一些特5

算

例运用该程序对北京地铁

1

号线东单站至建国门站区间隧道段的地铁列车振动环境影响问题进行分析。东单站至建国门站区间是暗挖马蹄形隧道，其拱顶埋深为11.5m，净空宽

4.9m，高

5.05m，衬

砌型式为复合式衬砌，初衬厚

0.25m，二衬厚0.3m。初衬混凝土的弹性模量为28500MPa，泊松比

0.2，

定频率的低频振动甚至在距隧道中线200

m

处的地密度2450kg/m3，材料阻尼比为0.02。二衬混凝土的弹性模量为30000MPa，泊松比

0.2，密度

2500kg/m3，材料阻尼比为

0.02。根据地质钻孔资料，该区间地层可近似划分为

3

层：第一层为杂填土，平均厚度为2.5m；第二层土主要为粉质黏土，平均厚度为18m；第三层土为卵石和圆砾，其厚度在计算中可取无穷大。各层土的物理性质见表

1。地层及隧道横断面如图

8(a)所示。该地铁区间轨道为普通表仍然具有较大的量值，如图9(a)所示的频率5

Hz的垂向振动(实际上，在

5

Hz

的振动频率下，土体振动以表层的瑞利波为主)。值得注意的是，图

9也展示了本文提出的模型在预测地铁列车振动环境影响时的超强计算能力，即能对距线路中线足够远(200

m

以上)的区域进行有效分析。这对一些涉及在地表附近传播较远的低频环境振动的分析，如低频振动对精密仪器的影响分析，将具有重要意义，因DTVI2

扣件轨道，运营列车为6

节编组地铁

B型车，

为传统数值方法由于建模自由度过大的缘故，难以设计运营速度为

60

km/h。鉴于该区间地铁上下行线路间距较大，以单洞隧道模型来研究该区间的地铁振动环境影响问题。具体地，根据上述工程条件及对称性，取一半结构建立薄片有限元–无限元耦合模型。模型纵向(线路延伸方向)长度按扣件间距取为0.6

m，横断面上有限元区域大小取深×宽为

100

m×230m，建模时使计算区域内有限单元尺寸均不大于1

m。其中，隧道近场(隧道及其周边)由ANSYS软件建立的有限元网格如图

8(b)所示。认为该区间的轨道不平顺为随机不平顺，并采用美国轨道五级谱来对其进行描述。在此基础上，应用基于无限–周期结构理论的车轨动力耦合模型计算隧道–地层结构所受振动激励力，并将其施加到建立的薄片有限元–无限元耦合模型上，以进行环境振动的分析。在该算例的分析中，提出的模型展现出了明显高于普通三维动力有限元模型的计算效率，因此其实现了高效进行列车振动环境影响预测这一初衷。下面对上述工程实例由其计算得到的环境振动响应进行讨论。有效地对远场地层振动进行分析。图

10

给出了由

SFEIECM

模拟得到的列车通过引起隧道结构不同位置的位移响应时程。各位移时程曲线发生的具体位置在图中也进行了示意。从图10中的部分位移时程上，可以清晰辨识出列车各轮轴依次通过拾振点断面的过程，这直接证明了模型对列车行进过程进行了充分模拟。此外，从图10中还可以看到：(1)

在列车驶近–到达–驶离拾振断面的过程中，横向位移及垂向位移时程在整体趋势上呈正对称形态分布，而纵向位移时程在整体趋势上则呈反对称形态分布；(2)

列车通过引起隧道结构的垂向位移响应幅值显著大于横向及纵向位移响应幅值；(3)

列车通过引起隧道结构的横向位移响应在拱腰和拱脚之间(点

D

附近)具有最大振幅，引起隧道结构的垂向位移响应在隧道基底及拱底(点

A

和B)附近具有最大振幅，而引起隧道结构的纵向位移响应则在拱顶具有最大振幅。表1

东单站至建国门站区间地层参数Table

1

Soilparametersofthesubway

sectionbetweenDongdanstationandJianguomenstation层数类型厚度/m2.5剪切波速/(m·s－1)压缩波速/(m·s－1)动弹性模量/(MPa)动泊松比0.350密度/(kg·m－3)1650阻尼比0.05123杂填土173.3235.0332.0356.5472.6620.0138.8308.0670.0粉质黏土卵石和圆砾18.0–0.32720100.040.28620500.03第35卷

第10期马龙祥等：地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型•2139•Y3.0×10－60.0XZC－3.0×10－6－6.0×10－6－9.0×10－6－1.2×10－5－1.5×10－5－1.8×10－5EFAEDDCB0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

16

17时间/s(a)

横断面(单位：m)(b)

隧道近场有限元网格图8

区间横断面及隧道近场有限元网格Fig.8

Cross-sectionaldrawingofthesubwaysectionandfiniteelementgridofthenearfieldregionoftunnel(a)

横向位移响应2.0×10－50.0FE－2.0×10－5－4.0×10－5－6.0×10－5－8.0×10－5－1.0×10－4－1.2×10－4DCAEBFDACB0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

16

17时间/s(b)

垂向位移响应(a)

频率5Hz的垂向振动位移1.2×10－5F9.0×10－66.0×10－6EDCA3.0×10－60.0BB－3.0×10－6－6.0×10－6－9.0×10－6－1.2×10－5CDAEF0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415

16

17时间/s(c)

纵向位移响应(b)

频率40Hz的水平向振动位移图10

列车通过引起隧道结构不同位置的位移响应时程Fig.10

Displacementtimehistoriesofdifferentpartsofthetunnelinducedbythemovingtrain图9

隧道–地层系统横断面特定频率的振动位移响应(单位：m·Hz－1)Fig.9

Vibration

displacementofcrosssectionoftunnel-soilsystemsataparticularfrequency(unit：m·Hz－1)度响应集中在80

Hz以下频段，而引起的地表加速度响应集中在30～80Hz频段；图

11

给出了由提出模型模拟得到的地表距隧道中线40m

处在横向、垂向及纵向3

个方向上的速度及加速度振动响应。从图11中可以看到：(1)

地铁列车在

DTVI2

扣件轨道段运营引起的地表振动速度及加速度响应在横向、垂向及纵向三个方向上具有相似的频率成分，其中引起的地表速(2)

单趟地铁列车对该测振点的振动影响持时约为11s；(3)

在该测振点，由地铁列车通过引起的垂向振动响应最大，横向振动响应次之，而纵向振动响应最小，但它们的时域最大振幅处于同一数量级水•2140•岩石力学与工程学报2016

年654321065432106543210020406080

100

120020406080

100

120020406080

100

120频率/Hz频率/Hz频率/Hz(a)

速度响应频谱2015105201510520151050005551015201015201015200246810

12

14

16

180246810

12

14

16

18时间/s(b)

速度响应时程02468

10

12

14

16

18时间/s时间/s0.0200.0150.0100.0050.0000.0200.0150.0100.0050.0000.0200.0150.0100.0050.000020406080

100

120020406080

100

120020406080

100

120频率/Hz频率/Hz频率/Hz(c)

加速度响应频谱0.060.040.060.040.060.040.020.020.020.000.000.00－0.02－0.04－0.06－0.02－0.04－0.06－0.02－0.04－0.060246810

12

14

16

180246810

12

14

16

18时间/s(d)

加速度响应时程0246810

12

14

16

18时间/s时间/s图

11

地表距隧道中线40m处的振动响应Fig.11

Vibration

responsesofgroundsurfacepointwithadistance40mfromcentrelineoftunnel平(针对速度及加速度响应而言)。特别地，本工况下，地铁列车运行引起地表距隧道中线

40m

处的垂向速度及加速度响应时程峰值分别为

0.174mm/s

及0.063m/s2。807060504030实测值20图12给出了地表距隧道中线40

m处由SFEIECM模拟、普通动力有限元模型模拟以及现场实测的垂向加速度响应

1/3

倍频程谱的对比图。其中，普通动力有限元模型模拟采用孙晓静[6]给出的方法进行。本文SFEIECM

模拟值普通动力有限元模拟值100－10110频率/Hz100图12

模拟及实测的地表加速度响应1/3倍频程谱的比较Fig.12

Comparisonofthesimulatedandmeasuredone-thirdoctave

band

RMS

spectrasof

ground

surface

acceleration比较图

12

中振动加速度响应的

2

种模拟值及第35卷

第10期马龙祥等：地铁列车振动环境影响预测的薄片有限元–无限元耦合模型•2141•Wenbin.

Prediction

method

for

subway

train-induced

environmentalvibration

responses[J].

Journal

of

China

Railway

Science，2013，34(4)：110–117.(inChinese))实测值，可以发现本文模型的模拟值与实测值吻合得较好，且相对于孙晓静[6]提出的普通有限元模拟方法具有更高的精度。这充分表明，应用本文提出的薄片有限元–无限元耦合模型，可较高精度地对地铁列车振动环境影响问题进行预测。[4]

刘维宁，夏

禾，郭文军.

地铁列车振动的环境响应[J].

岩石力学与工程学报，1996，15(增1)：586–593.(LIU

Weining，XIAHe，GUO

Wenjun.

Study

of

vibration

effects

of

underground

trains

onsurrounding

environments[J].

Chinese

Journal

of

Rock

Mechanics

andEngineering，1996，15(Supp.1)：586–593.(inChinese))[5]

和振兴，翟婉明，罗

震.

地铁列车引起的地面振动[J].

西南交通大学学报，2008，43(2)：218–221.(HEZhenxing，ZHAIWanming，LUO

Zhen.

Ground

vibration

caused

by

moving

metro

trains[J].JournalofSouthwestJiaotongUniversity，2008，43(2)：218–221.(inChinese))6

结

论本文针对地铁列车振动环境影响问题，在频域内提出了一种有效的半解析半数值预测模型——薄片有限元–无限元耦合模型(SFEIECM)。该模型全面考虑列车真实行进过程对环境产生的效应，并假想隧道–地层系统为线路纵向无限个完全相同的薄片结构两两相接所组成的周期结构，其中各薄片结构均由围绕隧道近场的有限单元及可提供良好边界条件的远场无限单元构成。在将环境振动激励力分解为各激励频率轮轨力对应的成分基础上，利用叠加原理及线路纵向任意一薄片结构在单一频率轮轨力激励下存有的周期性边界条件，该模型在频域内将列车引起三维隧道–地层系统振动响应问题的求解转化到在线路纵向一个薄片范围内进行。运用该模型对地铁列车振动环境影响问题进行了算例分析，得到以下主要结论：[6]

孙晓静.

地铁列车振动对环境影响的预测研究及减振措施分析[博士学位论文][D].

北京：北京交通大学，2008.(SUN

Xiaojing.Prediction

of

environment

vibrations

induced

by

metro

trains

andmitigation

measures

analysis[Ph.

D.

Thesis][D].

Beijing：BeijingJiaotongUniversity，2008.(inChinese))[7]

栗润德.

地铁列车引起的地面振动及隔振措施研究[博士学位论文][D].

北京：北京交通大学，2008.(LI

Runde.

Study

on

the

Metroinduced

ground

vibrations

and

isolation

measures[Ph.

D.

Thesis][D].Beijing：BeijingJiaotongUniversity，2008.(inChinese))[8]

DEGRANDE

G，CLOUTEAU

D，OTHMAN

R，et

al.

A

numericalmodel

for

ground-borne

vibrations

from

underground

railway

trafficbased

on

a

periodic

finite

element-boundary

element

formulation[J].JournalofSoundandVibration，2006，293(3/5)：645–666.[9]

GUPTA

S，LIU

WF，DEGRANDEG，etal.Predictionofvibrationsinduced

by

underground

railway

traffic

in

Beijing[J].

Journal

of

SoundandVibration，2008，310(3)：608–630.[10]

SHENG

X

JONES

C

J

C

THOMPSON

D

J.

Prediction

of

ground，，vibration

from

trains

using

the

wave

number

finite

and

boundaryelementmethods[J].JournalofSoundandVibration，2006，293(3/5)：575–586.[11]

HUNGHH，CHENGH，YANGYB.Effectofrailwayroughnessonsoil

vibrations

due

to

moving

trains

by

2.5

D

fin