现代控制理论第六章最优控制课件

第六章

最优控制2022年11月27日第六章

最优控制2022年11月26日1本章内容6.1概述6.2研究最优控制的前提条件6.3静态最优化问题的解6.4泛函及其极值――变分法6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题6.6极小值原理6.7线性二次型最优控制问题本章内容6.1概述26.1概述甲仓1500包乙仓1800包1元工地B

600包工地C

1200包2元4元4元5元9元如何发送水泥最省运费?工地A

900包6.1概述甲仓乙仓1元工地B

600包工地C

1200包23假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3;从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6总运费为:x的约束条件目标函数约束条件最优化问题假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,4最优化问题的数学描述目标函数等式约束条件不等式约束条件静态最优化问题最优化问题的数学描述目标函数等式约束条件不等式约束条件静态最5最优化问题的数学描述目标函数约束条件－－受控对象的状态方程动态最优化问题最优化问题的数学描述目标函数约束条件－－受控对象的状态方程动66.2最优控制的前提条件1.状态方程2.控制作用域控制集容许控制3.初始条件初始集可变始端4.终端条件目标集可变终端6.2最优控制的前提条件1.状态方程2.控制作用域控制集容75.目标泛函－－性能指标综合型、鲍尔扎型积分型、拉格朗日型终端型、梅耶型满足的控制，称为最优控制；在最优控制下，状态方程的解，称为最优轨线使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标5.目标泛函－－性能指标综合型、鲍尔扎型积分型、拉格朗日型终8线性二次型性能指标线性二次型性能指标96.3静态最优化问题的解静态最优化问题动态最优化问题目标函数多元普通函数泛函数解法古典微分法古典变分法6.3静态最优化问题的解静态最优化问题动态最优化问题目标106.3.1一元函数的极值设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函数，则存在极值u*点的必要条件是：u*极小值点的充要条件是u*极大值点的充要条件是6.3.1一元函数的极值设J=f(x)为定义在闭区间[a,116.3.2多元函数的极值设n元函数f=f(u),u=[u1,u2,…,un]，存在极值点的必要条件是：或者函数的梯度为零矢量取极小值点的充要条件是海赛矩阵6.3.2多元函数的极值设n元函数f=f(u),u12例6-1求函数f(x)的极值点及极小值。解：根据极值必要条件，得：解得：海赛矩阵：正定，x*为极小值点例6-1求函数f(x)的极值点及极小值。解：根据极值必136.3.3具有等式约束条件的极值目标函数等式约束条件解法（1）嵌入法（2）拉个朗日乘子法6.3.3具有等式约束条件的极值目标函数等式约束条件解法14拉个朗日乘子法等式约束条件核心思想：构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数，作为新得目标函数，同时消去等式约束。拉格朗日函数构造：将拉格朗日函数最为优化目标函数：则目标函数存在最优解的条件是：目标函数拉个朗日乘子法等式约束条件核心思想：拉格朗日函数构造：将拉格15则目标函数存在最优解的条件是：则目标函数存在最优解的条件是：16例6-2

求使取极值的x*和u*，并满足约束条件其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。解：构造拉格朗日函数：则目标函数存在最优解的条件是：例6-2求使取极值的x*和u*，并满足约束条件其中，Q1，17解得极值点为：由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。解得极值点为：由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条186.4泛函及其极值――变分法

1.什么是泛函?泛函就是函数的函数函数：对于x定义域中的每一个x值，y又有一个（或者一组）确定的值与之对应，则称y是x的函数，记做y(x)。泛函：对应于某一类函数中的每一个确定的函数y(x)，因变量J都有一个确定的值（注意、不是函数）与之对应，则称因变量J为宗量函数y(x)的泛函数，简称泛函，记做J=J[y(x)]6.4泛函及其极值――变分法

1.什么是泛函?19现代控制理论第六章最优控制课件20求弧长的泛函一般的L也是x，y的函数，求弧长的泛函一般的L也是x，y的函数，212．泛函的极值求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法称为变分法。如果泛函在任何一条与y0(x)接近的曲线上所取的值不小于J[y0(x)]，即，则称泛函在曲线上达到了极小值。反之，达到了极大值。2．泛函的极值求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法22现代控制理论第六章最优控制课件23泛函的变分的另一定义为关于的线性泛函是关于的髙阶无穷小量，泛函的变分的另一定义为关于的线性泛24现代控制理论第六章最优控制课件25例6-3求下列泛函的变分解：方法一的线性主部为，则例6-3求下列泛函的变分解：方法一的线性主部为，则26方法二方法二274．泛函极值定理4．泛函极值定理286.泛函极值的必要条件――欧拉方程欧拉方程6.泛函极值的必要条件――欧拉方程欧拉方程29证明：设极值曲线为，泛函极值为在极值曲线附近有一容许曲线，则代表了与之间所有可能的曲线。当时，就是极值曲线。

根据泛函极值条件证明：设极值曲线为，泛函极值为在极值30对第二部分分部积分对第二部分分部积分31欧拉方程

展开后得欧拉方程是一个二阶方程，需要两个边界条件如果有两个固定端点，边界条件为：

如有自由端点，则自由端满足

确定的边界条件为

欧拉方程展开后得欧拉方程是一个二阶方程，需要两个边界条件如32例6-5设受控对象的微分方程为以和为边界条件，求使下列性能泛函极值取最小值。解：将微分方程带入性能泛函欧拉方程为

解得

例6-5设受控对象的微分方程为以和为边界条33带入边界条件解上面方程得到C1和C2，即获得

根据，可得最优控制带入边界条件解上面方程得到C1和C2，即获得根据346.5用变分法求解连续系统的最优控制问题拉格朗日问题系统状态方程为性能泛函为寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，并使性能泛函J取极值

解状态方程写成约束方程形式

应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函：

6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题拉格朗日问题系统状35伴随方程

系统的状态方程

控制方程

哈密尔顿正则方程

伴随方程系统的状态方程控制方程哈密尔顿正则方程366.7线性二次型最优控制问题1.有限时间状态调节器状态调节器的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近平衡状态。在研究这类问题时，通常把初始状态矢量看作扰动，而把零状态取做平衡状态。于是调节器问题就变为寻求最优控制规律u，在有限的时间区间[t0,tf]内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能泛函取极值。

6.7线性二次型最优控制问题1.有限时间状态调节器状态37设线性时变系统的状态空间表达式为

为n×n维半正定的状态加权矩阵，为r×r维半正定的状态加权矩阵，

为n×n维半正定的终端加权矩阵。设u取值不受限制，寻求最优控制，使J取极值。

设线性时变系统的状态空间表达式为为n38解：（1）构造哈密尔顿函数（2）控制方程（3）正则方程解：（1）构造哈密尔顿函数（2）控制方程（3）正则方程39（4）边界条件(5)根据控制方程，控制最优控制u*(t)是线性函数，为了使用状态反馈，我们希望u*(t)是x的函数，为此，假设则K(t)就是最优反馈控制矩阵。

（4）边界条件(5)根据控制方程，控制最优控制u*(t)是线40（6）将带入正则方程，消去，得（7）将求导得黎卡提矩阵微分方程（对称矩阵）边界条件（6）将带入正412无限时间状态调节器设线性定常系统的状态空间表达式为

为n×n维半正定的状态加权矩阵，为r×r维半正定的状态加权矩阵。设u取值不受限制，寻求最优控制u*，使J取极值。2无限时间状态调节器设线性定常系统的状态空间表达式为为n42解：最优控制为其中P为n×n维正定常数矩阵，且满足下面得黎卡提矩阵代数方程最优轨线是下列线性定常齐次方程得解解：最优控制为其中P为n×n维正定常数矩阵，且满足下面得黎卡43例6-22

已知系统的状态方程性能泛函为

求使的最优控制解：已知

为使正定，假设

经检验受控系统完全能能控。和正定，因此存在最优控制

例6-22已知系统的状态方程性能泛函为求使44P是如下黎卡提代数方程的解整理得三个代数方程P是如下黎卡提代数方程的解整理得三个代数方程45在保证和P为正定条件下，可得则系统最优控制为在保证和P为正定条件下，可得则系统最优控制为46闭环系统框图闭环系统的状态方程为闭环系统框图闭环系统的状态方程为47闭环系统的传递函数为闭环极点参数根轨迹图为闭环系统的传递函数为闭环极点参数根轨迹图为48课堂练习给定线性定常系统状态方程，，系统初值为，，设性能指标为设计最优状态反馈，使性能指标最小。解

将上述矩阵带入黎卡提代数方程课堂练习给定线性定常系统状态方程，49将上式展开由上述第一个方程得，取带入后两个方程将上式展开由上述第一个方程得50经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量写51谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力LearningIsNotOver.IHopeYouWillContinueToWorkHard演讲人：XXXXXX时间：XX年XX月XX日

谢谢你的到来演讲人：XXXXXX52第六章

最优控制2022年11月27日第六章

最优控制2022年11月26日53本章内容6.1概述6.2研究最优控制的前提条件6.3静态最优化问题的解6.4泛函及其极值――变分法6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题6.6极小值原理6.7线性二次型最优控制问题本章内容6.1概述546.1概述甲仓1500包乙仓1800包1元工地B

600包工地C

1200包2元4元4元5元9元如何发送水泥最省运费?工地A

900包6.1概述甲仓乙仓1元工地B

600包工地C

1200包255假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3;从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6总运费为:x的约束条件目标函数约束条件最优化问题假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,56最优化问题的数学描述目标函数等式约束条件不等式约束条件静态最优化问题最优化问题的数学描述目标函数等式约束条件不等式约束条件静态最57最优化问题的数学描述目标函数约束条件－－受控对象的状态方程动态最优化问题最优化问题的数学描述目标函数约束条件－－受控对象的状态方程动586.2最优控制的前提条件1.状态方程2.控制作用域控制集容许控制3.初始条件初始集可变始端4.终端条件目标集可变终端6.2最优控制的前提条件1.状态方程2.控制作用域控制集容595.目标泛函－－性能指标综合型、鲍尔扎型积分型、拉格朗日型终端型、梅耶型满足的控制，称为最优控制；在最优控制下，状态方程的解，称为最优轨线使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标5.目标泛函－－性能指标综合型、鲍尔扎型积分型、拉格朗日型终60线性二次型性能指标线性二次型性能指标616.3静态最优化问题的解静态最优化问题动态最优化问题目标函数多元普通函数泛函数解法古典微分法古典变分法6.3静态最优化问题的解静态最优化问题动态最优化问题目标626.3.1一元函数的极值设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函数，则存在极值u*点的必要条件是：u*极小值点的充要条件是u*极大值点的充要条件是6.3.1一元函数的极值设J=f(x)为定义在闭区间[a,636.3.2多元函数的极值设n元函数f=f(u),u=[u1,u2,…,un]，存在极值点的必要条件是：或者函数的梯度为零矢量取极小值点的充要条件是海赛矩阵6.3.2多元函数的极值设n元函数f=f(u),u64例6-1求函数f(x)的极值点及极小值。解：根据极值必要条件，得：解得：海赛矩阵：正定，x*为极小值点例6-1求函数f(x)的极值点及极小值。解：根据极值必656.3.3具有等式约束条件的极值目标函数等式约束条件解法（1）嵌入法（2）拉个朗日乘子法6.3.3具有等式约束条件的极值目标函数等式约束条件解法66拉个朗日乘子法等式约束条件核心思想：构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数，作为新得目标函数，同时消去等式约束。拉格朗日函数构造：将拉格朗日函数最为优化目标函数：则目标函数存在最优解的条件是：目标函数拉个朗日乘子法等式约束条件核心思想：拉格朗日函数构造：将拉格67则目标函数存在最优解的条件是：则目标函数存在最优解的条件是：68例6-2

求使取极值的x*和u*，并满足约束条件其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。解：构造拉格朗日函数：则目标函数存在最优解的条件是：例6-2求使取极值的x*和u*，并满足约束条件其中，Q1，69解得极值点为：由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。解得极值点为：由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条706.4泛函及其极值――变分法

1.什么是泛函?泛函就是函数的函数函数：对于x定义域中的每一个x值，y又有一个（或者一组）确定的值与之对应，则称y是x的函数，记做y(x)。泛函：对应于某一类函数中的每一个确定的函数y(x)，因变量J都有一个确定的值（注意、不是函数）与之对应，则称因变量J为宗量函数y(x)的泛函数，简称泛函，记做J=J[y(x)]6.4泛函及其极值――变分法

1.什么是泛函?71现代控制理论第六章最优控制课件72求弧长的泛函一般的L也是x，y的函数，求弧长的泛函一般的L也是x，y的函数，732．泛函的极值求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法称为变分法。如果泛函在任何一条与y0(x)接近的曲线上所取的值不小于J[y0(x)]，即，则称泛函在曲线上达到了极小值。反之，达到了极大值。2．泛函的极值求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法74现代控制理论第六章最优控制课件75泛函的变分的另一定义为关于的线性泛函是关于的髙阶无穷小量，泛函的变分的另一定义为关于的线性泛76现代控制理论第六章最优控制课件77例6-3求下列泛函的变分解：方法一的线性主部为，则例6-3求下列泛函的变分解：方法一的线性主部为，则78方法二方法二794．泛函极值定理4．泛函极值定理806.泛函极值的必要条件――欧拉方程欧拉方程6.泛函极值的必要条件――欧拉方程欧拉方程81证明：设极值曲线为，泛函极值为在极值曲线附近有一容许曲线，则代表了与之间所有可能的曲线。当时，就是极值曲线。

根据泛函极值条件证明：设极值曲线为，泛函极值为在极值82对第二部分分部积分对第二部分分部积分83欧拉方程

展开后得欧拉方程是一个二阶方程，需要两个边界条件如果有两个固定端点，边界条件为：

如有自由端点，则自由端满足

确定的边界条件为

欧拉方程展开后得欧拉方程是一个二阶方程，需要两个边界条件如84例6-5设受控对象的微分方程为以和为边界条件，求使下列性能泛函极值取最小值。解：将微分方程带入性能泛函欧拉方程为

解得

例6-5设受控对象的微分方程为以和为边界条85带入边界条件解上面方程得到C1和C2，即获得

根据，可得最优控制带入边界条件解上面方程得到C1和C2，即获得根据866.5用变分法求解连续系统的最优控制问题拉格朗日问题系统状态方程为性能泛函为寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，并使性能泛函J取极值

解状态方程写成约束方程形式

应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函：

6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题拉格朗日问题系统状87伴随方程

系统的状态方程

控制方程

哈密尔顿正则方程

伴随方程系统的状态方程控制方程哈密尔顿正则方程886.7线性二次型最优控制问题1.有限时间状态调节器状态调节器的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近平衡状态。在研究这类问题时，通常把初始状态矢量看作扰动，而把零状态取做平衡状态。于是调节器问题就变为寻求最优控制规律u，在有限的时间区间[t0,tf]内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能泛函取极值。

6.7线性二次型最优控制问题1.有限时间状态调节器状态89设线性时变系统的状态空间表达式为

为n×n维半正定的状态加权矩阵，为r×r维半正定的状态加权矩阵，

为n×n维半正定的终端加权矩阵。设u取值不受限制，寻求最优控制，使J取极值。

设线性时变系统的状态空间表达式为为n90解：（1）构造哈密尔顿函数（2）控制方程（3）正则方程解：（1）构造哈密尔顿函数（2）控制方程（3）正则方程91（4）边界条件(5)根据控制方程，控制最优控制u*(t)是线性函数，为了使用状态反馈，我们希望u*(t)是x的函数，为此，假设则K(t)就是最优反馈控制矩阵。

（4）边界条件(5)根据控制方程，控制最优控制u*(t)是线92（6）将带入正则方程，消去，得（7）将求导得黎卡提矩阵微分方程（对称矩阵）边界条件（6）将带入正932无限时间状态调节器设线性定常系统的状态空间表达式为

为n×n维半正定的状态加权矩阵，为r×r维半正定的状态加权矩阵。