极限存在准则两个重要极限(共28张PPT)

极限存在准那么两个重要极限第一页，共28页。一、函数极限与数列极限的关系定理1

的充分必要条件是：

对任意数列{xn}，xn≠x0，

当xn→x0(n→∞)时，

都有

定理1经常被用于证明某些极限不存在.第二页，共28页。例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及显然当n→∞时，xn→0,由定理1知不存在.第三页，共28页。定理2(两边夹法那么)如果函数g(x),f(x),h(x)满足：二、极限存在准那么第四页，共28页。例2.

证明证:利用两边夹法那么.且由g(n)h(n)第五页，共28页。定理3〔收敛准那么Ⅰ〕定理4〔收敛准那么Ⅱ〕单调递减且有下界的数列必有极限．

单调递增且有上界的数列必有极限．第六页，共28页。单调递增〔递减〕且有上界〔下界〕数列必有极限(证明略)第七页，共28页。例3数列满足：

证明数列

收敛．

证

先用数学归纳法证明

〔1〕当n=1时，结论成立．

〔2〕当n=k时，xk<2,那么由数学归纳法知xn≤2.再证明该数列单调递增．

第八页，共28页。由定理2知数列收敛．

令那么第九页，共28页。故极限存在，备用题

1.设

,且求解：设那么由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准那么第十页，共28页。圆扇形AOB的面积证:

当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积三、两个重要极限第十一页，共28页。为了方便地求函数的极限，可记住以下结果：时，第十二页，共28页。∴数列单调递减有下界，的值无限接近于一个常数∴数列单调递减有下界，第二十六页，共28页。定理1经常被用于证明某些极限不存在.第二十四页，共28页。单调递增且有上界的数列必有极限．的值无限接近于一个常数第二十七页，共28页。定理3〔收敛准那么Ⅰ〕单调递增且有上界的数列必有极限．再证明该数列单调递增．∴数列单调递减有下界，第二十一页，共28页。填空题(1～4)证:利用两边夹法那么.例4.

求解:

第十三页，共28页。例5.

求解:

令那么因此类似可证1-1第十四页，共28页。例6.

求解:

原式=第十五页，共28页。2.我们可以通过列出函数

的局部取值列表来观察该函数值的变化趋势．

xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827……xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.71828……的值无限接近于一个常数

第十六页，共28页。由此可得:令z=1/x,那么x→∞时，z→0，第十七页，共28页。为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：第十八页，共28页。例6.

求解:

令那么说明：假设利用那么原式第十九页，共28页。解:

原式=例7.

求第二十页，共28页。例8

求

解

第二十一页，共28页。的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在;

法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.第二十二页，共28页。(2)函数极限存在的两边夹法那么;(3)单调递增〔递减〕且有上界〔下界〕数列必有极

限第二十三页，共28页。2.两个重要极限第二十四页，共28页。思考与练习填空题

(1～4)第二十五页，共2