绝对值的三角不等式典型例题

1.4绝对值三角不等式☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3.理解绝对值三角不等式；4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。☆教学重点：定理1的证明及几何意义。☆教学难点：换元思想的渗透。☆教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）（2）（3）（4）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明（1），（2）。证明（1）如果那么所以如果那么所以（2）根据（1）的结果，有，就是，。所以，。例2、证明。例3、证明。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？定理1如果,那么.在上面不等式中,用向量分别替换实数,则当不共线时,由向量加法三角形法则:向量构成三角形,因此有｜a+b｜<｜a｜+｜b｜其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知，求证证明（1），∴（2）由（1），（2）得：例5、已知求证：。证明，∴，由例1及上式，。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习：1、已知求证：。2、已知求证：。作业：习题1.22、3、51.4绝对值三角不等式学案☆预习目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;3.理解绝对值三角不等式。☆预习内容：1．绝对值的定义：，2.绝对值的几何意义：10.实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A20.两个实数，它们在数轴上对应的点分别为，那么的几何意义是3.定理1的内容是什么？其证法有几种？4.若实数分别换成向量定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？☆探究学习：1、绝对值的定义的应用例1设函数．解不等式；求函数的最值．2.绝对值三角不等式：探究，，之间的关系.①时,如下图,容易得：.②时,如图,容易得：.③时,显然有：.综上,得定理1如果,那么.当且仅当时,等号成立.在上面不等式中,用向量分别替换实数,则当不共线时,由向量加法三角形法则:向量构成三角形,因此有它的几何意义就是:定理1的证明:定理2如果,那么.当且仅当时,等号成立.3、定理应用例2（1）证明，（2）已知，求证。☆练习：当成立的充要条件是 A． B． C． D．对任意实数，恒成立，则的取值范围是；对任意实数，恒成立，则的取值范围是若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是方程的解集为,不等式的解集是已知方程有实数解，则a的取值范围为。画出不等式的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式1、;2、解不等式：1、;2、;3、;4、1、已知求证：。2、已知求证：。3、已知求证：1、已知求证：2、已知求证：参考答案:☆课后练习B.2、a＜33、a＞44、a＞75、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x<0或x>2}6、-3<=a<-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：，，.其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式1.;2．答案：1、-0.5<x<0.52.为一菱形区域。8、1、0<x<2/3