天津市河东区2020届高三学生居家学习自我检测数学试题(含解析)

2020年高考数学(4月份)模拟测试试卷一、选择题（共9个小题）1.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2—x—2=0},则anb=（ ）A.?B.{2}C.{0}D.{-2}.设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件.曲线y=xex1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A.2eB.eC.2D.1i i -i_.已知a=2~5b=log2=c=ep，则（ ）A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A,B两点，则|AB|=()A.V30B.6C.A.V30B.6C.12.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产)~TD.)~TD.WmU)—1A.一C.pq.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法TOC\o"1-5"\h\z共有( )A.60种B.70种C.75种D,150种.若log4(3a+4b)=log2疝，贝Ua+b的最小值是( )A.6+2Mb.7+2代C.6+4&D.7+4点.已知函数f(x)=Ix-2I+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A.(0,以 B.(4,1)C.(1,2) D.(2,+引二、填空题(共6个小题).i是虚数单位，TT=.(x-2)6的展开式中x3的系数是.(用数字作答).正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为..已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点，且^ABC为等边三角形，则实数a=..若将函数f(x)=sin(2x+子)的图象向右平移。个单位，所得图象关于y轴对称，则。的最小正值是..已知向量而与正的夹角为120。，且网=3,网=2,若京=QS+京,且亚，前，则实数入的值为.三、解答题(共5个小题).在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=#b,sinB=^sinC,(I)求cosA的值；(n)求cos(2A一卷)的值..某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为1■和卷.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.(I)求至少有一种新产品研发成功的概率；(n)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望..如图，已知长方形ABCD中，AB=2&,ADM为DC的中点，将^ADM沿AM折起，使得平面ADM，平面ABCM(I)求证：ADXBM(口)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为尊..(16分)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(I)求数列｛an｝的通项公式(n)设数歹U｛bn｝的前n项和为Tn,且(入为常数).令Cn=b2n,(nCN*),求数列｛Cn｝的前n项和Rn..(16分)已知函数f(x)=(cosx—x)(兀+2x)—卷(sinx+1)g(x)=3(x—兀)cosx-4(1+sinx)ln(3证明:(I)存在唯一XoG(0,£),使f(xo)=0；(n)存在唯一xic(/，兀)，使g(xi)=0,且对(I)中的X0,有Xo+xi＜兀.参考答案.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2—x—2=0},则anb=（ ）A.?B.{2}C.{0}D.{-2}解：由B中方程变形得：（x-2）（x+1）=0,解得：x=2或x=-1,HPB={-152},-A={-2,0,2},・•・AnB={2}.故选：B．2.设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：因为a,b都是实数，由a>b,不一定有a2>b2,如-2>-3,但（-2）2<（-3）2,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件；反之，由a2>b2也不一定得a>b,如（-3）2>(―2)2,但—3<—2,所以“a>b”是“a2

>b2”的不必要条件.故选：D.3,曲线y=xex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.e解：函数的号数为f'A.2eB.e解：函数的号数为f'ex1,C.2D.1(x)=ex1+xex1=(1+x)当x=1时，f'(1)=2,即曲线y=xex1在点(1,1)处切线的斜率k=f'=2,故选：C.4.已知a=35b=log2?c=10g^,则( )A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a解：=0<a=24<20=15b=log2号<l0g21=0,c=1 =log23>log22=1,・二c>a>b.故选：C.5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A,B两点，则|AB|

=（）A.亭B.6C.12D.7爪解：由y2=3x得其焦点Fc，0）,准线方程为3X=一至・则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x-总）=喙（x-左）.代入抛物线方程，消去y,得16x2-168x+9=0.设A(x1，yl,B(x2,12)所以|AB|=xi+-J+x2+(4=4-+十+等=12.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产)o)o55)B. 2 1D. ⑷1)—1A.一C.pq解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,U(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=占)-1,.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法

共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15X5=75种；故选：C..若log4(3a+4b)=log2日，贝1a+b的最小值是( )A.6+2QB.7+2行C.6+46D.7+4毋解：「3a+4b>0,ab>0,a>0.b>0.log4(3a+4b)=log2m,•・log4(3a+4b)=log4(ab)，3a+4b=ab,aw4,a>0.b>0a>4,则a+b=a+碧;=a+叱:产=a+3+蒜=(a-4)+W+7谓+7=4/+7,当且仅当a=4+2通取等号.故选：D.9故选：D.9.已知函数f(x)=+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A.(0d) B.(1,1)C.(1,2) D.(2,+刈解：由题意可得函数f(x)的图象(蓝线)和函数g(x)的图象(红线)有两个交点,如图所不：K0A=数形结合可得二＜:、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.)i是虚数单位，i-i=-1+2i解:|l+3i =2+4i1丁解:=(i-D(w)121・故答案为：-1+2i..(x-2)6的展开式中x3的系数是-160 .(用数字作答)解：根据题意，（x-2）6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6r(-2)r=(-1)r?2r?C6rx6r,令6-r=3可得r=3,此时丁4=(—1)3?23?C63x3=—160x3,即x3的系数是-160；故答案为-160..正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为解：如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F,连接AE,AF,由球的性质可知△PAF为直角三角形且AELPF,根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF?PE,因为西逗浑二零L加，所以侧棱长P鼠+PF=2R,所以18=2RX4,所以R=£所以S=4TtR2=^L故答案为：J

13.已知直线13.已知直线ax+y—2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点，且4ABC为等边三角形，则实数a=4±后解：圆心C(1,a),半径r=2,•••△ABC为等边三角形，「•圆心C到直线AB的距离d=庐!心,2a-2平方得a2-8a+1=0,解得a=4±百^,故答案为：4士共14.若将函数f(x)=sin(2x+用)的图象向右平移。个单位，所得图象关于y轴对称，则。的最小正值是解：将函数f(x)=sin(2x+全)的图象向右平所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x-。）TT IX+Nl=sin（2x+ 2（|））关于y轴对称，贝U2一2（[）=kit+=，kCz,即 ,故4）的最小正值为爷，故答案为：等..已知向量至与它的夹角为120°,且叵|=3,网=2.若至=入山+菽，且正，前，则实数入的值为7五一,解：由题意可知：BC=AC-A35因为族，获，所以藤♦庆汉所以二|::'「I「I」「=入立・。丸凝2病2-正•瓦=1—赛%X3&2-2X3x（卷）=-12入+7=0解得人=矗.故答案为：i.三、解答题：（5个题，共75分）.在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a—c=Tb,sinB=^sinC,（I）求cosA的值；（n）求cos（2A-V）的值.

解：(I)将sinB=^sinC,利用正弦定理化简得：b=泥c,代入a-c=第b、得：a-c=c,即a=2c>，cosa=/,，cosa=/,2 2b+c-a2bc6eW-4^

2V6c2(n)=cosA=*A为三角形内角，••sinA= )，cos2A=2cos2A-1=一京，sin2AJT2sinAcosA=^,JC TTJT则cos(2A-刀)=cos2Acos]+sin2Asin=-^x亭+窄x»甲.17.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为誉和现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.(I)求至少有一种新产品研发成功的概率；(n)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望.解：(I)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为看和I则P(B)=11得)乂(1)沾渴心,再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1-P(B)=总故至少有一种新产品研发成功的概率为普.(n)由题可得设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220,由独立试验的概率计算公式可得，p手手*学df*,p笠理看堂得)唱,p(x=WQ)=d4)x-i-4,P保=22。)后X可方，所以X的分布列如下：TOC\o"1-5"\h\zX0 120 100 220c/、 2 .1 2P(X) 15 商 5 5则数学期望E?)=如会12筋含的。吟咏谓=140.18.如图，已知长方形ABCD中，AB=2&,AD=四M为DC的中点，将^ADM沿AM折起,使得平面ADM，平面ABCM(I)求证：ADXBM(口)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为卓.D【解答】（1）证明：.「长方形ABCD中，AB=2恒,AD=M为DC的中点，•.AM=BM=2,bBM±AM.••・平面ADM，平面ABCM,平面ADMn平面ABCM=AM,BM?平面ABCM・•・BM，平面ADM.AD?平面ADM，ADIBM;（2）建立如图所示的直角坐标系，设立c位，则平面AMD的一个法向量后=（0,1,0）,血=而+h而=（1一入，2入，1—入）,京=（—2,0,0）,设平面AME的一个法向量为1=（x,y,z）,则「学了。 m*ME=tl-%）工+2入y+（l-入）z=C?什 |2人取y=1,得x=0,z=i-a.,则益=（。，1,脍■）,•,cos（月'>=高3=',二求得'卷，故E为BD的中点.

19.(16分)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且$4=4$2,a2n=2an+1.(I)求数列｛an｝的通项公式次+1(n)设数歹U｛bn｝的前n项和为Tn,且％皆"(入为常数).令Cn=b2n,(nWN*),求数列｛Cn｝的前n项和Rn.解：(I)设等差数列｛an｝的首项为ai,公差为d.由S4 =4S2 5a2n= 2an+1 .得F4a廿0144da］+(2n_1)d=2a［十2(门-1)d+L解得a1=15d=2.因此a因此an=2n—1,nWN*.(II)由(I)可得入=入一严1.当n32时,bn=Tn—Tnr="*「［，一产2)=2n-i.故％=/号仔=吟严i,nWN*.・=Rn=0+IXf2父9+...=(n-L)」丁口,也=°+1X去+2T+…+(nNJx/Mn-DT，

两式相减得"%两式相减得"%=111.1（n-C-1143n41143n-Rn=・二数列｛Cn｝的前n项和20.(16分)已知函数f（x）=（cosx—x）（f（x）=（cosx—x）（兀+2x）（sinx+1）g（x）=3（x—兀）cosx-4（1+sinx）In（3-空）证明：（D存在唯一xoG（0,号），使f（x。）=0；（n）存在唯一xm（尚，兀），使g（xi）=0,且对（I）中的x°,有x0+xi＜兀.【解答】证明：（I）•当x€（0,m）时，f'（x）=-（1+sinx）（兀+2x）-2x-ycosx<0,・•・函数f(x)在(