数学讲义-通关秘笈

解析几一、平面解析几yy0k(xx0，(斜率存在ykx

yy1y2

xx1x2

xy

一般式AxByC（1）有斜率的两直线l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2；有：①l1∥l2k1=k2且l2k1·k2=- ③l1与l2相交 ④l1与l2重合k1=k2且b1=b2（2）一般式的直线有：①l1∥l2A1B2-A2B1=0；且B1C2- ②l1⊥l2③l1与l2相交A1B2- ④l1与l2重合A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0点P（x，y）到直线Ax+By+C=0的距离 A2BA2BAx0By0Ax+By+C=0Ax+By+C=0A2BA2BC1(xx)2(xx)2(yy ①过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程=0（λ∈R）(除l2外)M(x0y0yy0k(xx0（xx0AxByC0AxByC0(CCAxByC0BxAyC一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(DE

D2E2 参数方程xrcosxar

(是参数).消去θyr ybrsin:(x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)；表示过两圆交点的圆的直线（1时(D1D2)x(E1E2yF1F20一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C2）（6 =C≠0B=0D2+E2-P(x0,y0)与圆的位置关系:f(xxa)2yb)2（f(xx2y2DxEyF）看符号P在圆上f(x0y0Pf(x0y0Pf(x0y0x2y2r2M（x0,y0）的切线方程：xxyyr2（x(xxyyy0 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上点M（x0,y0）的切线（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-x2y2x2y2DxEy 00x y 22200f(f(x0,y0（1）P(x0y0的直线与坐标轴在P所在的象限围成的三角形AOB(A,B为直线与轴的交点)PAB中点，此时横截距a2x0,纵截距bSmin2|x0y0

xy 2A(x1y1B(x2y2为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2yy1yy2dmin心距半径drdmax心距半径d（一）1、椭圆的标准方程x

（a>b>0

（a>b>0xayb第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(0e1的点的

=e(椭圆的焦半径公式

2a|F1F2|2a|F1F2|F1F22a|F1F2| 3 1焦点三角形的面积

(其中∠FPF

(1k2)[(x(1k2)[(xx)24x 15P（xyx0xy0y22 22 6、直线与椭圆的位置关系凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有7、椭圆图象及几何性质中心在原点，焦点在x轴yx2y2 a by2x2 a bxa ybsinxb (yasin图y x Oy A2 O顶B1(0,b),B2(0,B1(0,a),B2(0,xy轴；短轴为2b，长轴为焦焦|FF|2c(c c2a2b21a准axcayc通2b2 （p为焦准距a|PF1|a|PF2|a|PF1|a|PF2|aey|AB|2ae(xAxB|AB|2aeyAyB仅与它（二）1、双曲线的定义：平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨2、第二定义：e(e1)的点的

|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（2a|F1F2|）2a|F1F2|2a|F1F2|3、双曲线的标准方①焦点在x轴上的方程：

y 1（a>0，b>0； ②焦点在y轴上的方程：y

（a>0，b>04、双曲线的渐近线①求双曲线x y

10x2y2

a

a x2y2

ya

1共渐近线的双曲线系方程 b2

25、等轴双曲线 为x2y2t2，渐近线是y=±x,其离心率 2x2y2 26、 1焦点三角形的面积：b2

7、弦长公式

(1k2)[(xx)24xx] 18、双曲线的图象及几何性质中心在原点，焦点在x轴yx2y2 a y2x2a byPxF1 OA2P 图形xO顶点xy轴；虚轴为2b，实轴为焦点焦距|FF|2c(c c2a2b21ec(e1（离心率越大，开口越大a准线axcaycybayab通径2b2 （p为焦准距aP在左支|PF1|a|PF2|aP在右支|PF1|a|PF2|aP在下支|PF1|a|PF2|aP在上支|PF1|a|PF2|a（三）1、定义2、几个概念①ppp14③方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方3（p0焦点在x轴上焦点在x轴上yyy22y22x22x22lyx lxyP Ol OxFP图 顶xy焦F(p,0)F(p,0)F(0,p2F(0,p2e准x2x2y2y2通2|PF||x| |PF||y| x12p2（当时，为2p——通径2设双曲 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于a2两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小a2222 2222 2

已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若· <0,则y0的 B.C.D.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的 A. C.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则 A.B.C.D.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2= A.B. 设、、是双曲线 的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（） 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）Ｂ．Ｃ． 的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（） B．1 C．2 D．4已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（） C．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与相交于A、B两点.若 ,则 B.C.D.E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为 - - - --到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 A.直 B.椭 C.抛物 D.双曲

y2

x2p0的焦点与双曲线

x2y3y

1C1第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则 3324 3324 直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 1616B. 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上|MF|=5,若以MF(0,2),则C的方程为 y2=4x或 B.y2=2x或C.y2=4x或 D.y2=2x或如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,BC=3PB,

如图,OAB,CDE,AODCP, 如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-的距离大于c恒成立,则实数c的最大值 设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 双曲线-y2=1的焦距 已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则 如图,Cx轴相切于点T(1,0),yA,B(BA的上方),且圆C的标准方程 AO:x2+y2=1M,N两点,下列三个结论- ; =2; - 在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆 27.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则 面直线AN,CM所成的角的余弦值 如图,OxA,C,B在圆O上,且点C位于第一象限,B ,∠AOC=α.若|BC|=1,则3cos2sincos 3的值 y=ex在点(0,1)y1(x>0)P处的切线垂直,Px 直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值 已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= m∈R,Ax+my=0B的动直线mx-y-m+3=0 过点M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆C: =1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则 如图,ABCDDEFG的边长分别为a,b(a<b),OAD的中点, 若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程 设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程 在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长 已知椭圆 =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为线段MN的中点在C上,则 A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值 PF2F1F22 的左右焦点为，P是双曲线左支上一点，满足直线PF与圆x2y2aPF2F1F22 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C， 过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程 直线y=2x和圆x2+y2=1交于A,B两点,以Ox为始边,OA,OB为终边的角分别为α,β,则 如图,在△ABC中C=90A=60AB=20,C作△ABCCDBD与外接圆交于点E,则DE的长 若点是抛物 面积是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程.C 的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.ab的值C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+ 成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.第一章空间几何体

侧 底面侧棱 棱柱于底

直棱柱其他棱

DC DC 的平方和如图】AC2AB2AD2AA 条棱所成的角分别是，，cos2cos2cos21，sin2sin2sin22③（了解）AC1A的相邻三个面所成的角分别是，，，则cos2cos2cos22sin2sin2sin21.侧面展开图nn个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻

chch2S

（其中c

圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋 母线叫圆柱..AA 面积、体积公式

C底

轴截面侧面S圆柱侧2rh；S圆柱全2rh2r2，V圆柱=Sh=r2h（其中r为底面半径，h为圆柱高S高顶点侧S高顶点侧面侧棱底面斜高 A正棱锥——如果有一个棱锥的底面（

OBH为直角三角形面积、体积公式：S正棱锥侧1ch2S正棱锥全1ch

，V棱锥 3

h

顶点（其中c为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高 母线 圆锥的性质

轴 侧面轴截面 底面②轴截面是等腰三角形,SAB;l2h2r2S圆锥侧rl，S圆锥全=r(rl，V圆锥1r2h3（r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长球R2R2d

球面球 半径O r ②r

（ODC AcO

4R2

4R3（R为球的半径 （二）（1）step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy（即取xoy90step2：画直观图时，把它画成对应的轴ox',oy'，取x'o'y'45(or135)，它们确定step3x'oy（1）（一）公理（二）共面:a平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：a//b,b//ca//（1）

AaPAaA符号语言aPA与aAa（1）（2） 2 aa'b'baa'b'bl直线与平面的位置关系：l l//平面与平面的位置关系： 斜交相交 垂直：a//baa//（线线平行线面平行ba

ab（线面平行线线平行（i）

l//（用于判断a//b

//（ii判定定理：aa//“线线平行面面平行（用于证明（iii）

a//b

ba

a（（4）a①直线与平面所成的角（简称线面角：若直线与平面斜交 AO则平面的斜线与该斜线在平面影的夹角AOPOOAOPA在平面内的射影，则PAO就PA与平面所成的角。范围：090，注：若l或l//，则直线l与平面所成的角为0；若l，则直线l与平面所成的角为90。①定义 //符号表述：a,b, bO,a//,b////

ObOObObO符号表述：a,b, bO,a',b',a//a',b//b'//

aaaa.（1）（2）及推论（常用（3）2//（1）a// 面平行 aa//b（面面平行线线平行（3）夹在两个平行平面间 符号表述：若任意a都有la，且l，则l.a,b bllal

l（线线垂直线面垂直③性质（1）lala（线面垂直线线垂直（2）abab（1）（2）a//bab（较常用//aa a

a

（面面垂直线面垂直）a a PO（1）（2）（3） O CBO CBPOPA在平面内的射影为OAa，①若aOAaPA——垂直射影垂直斜线，此为三Pa ②若aPAaOAPa （1）（2）（3）3.2（1）OBl,OAlAOB是二面角－l的平面AOB[0,（1）（2）垂面法3.3aB定义：若二面角l的平面角为90，则aBaaa aB性质：①若，二面角的一个平面角为MON，则MON90aB a（面面垂直线面垂直a a AaAaAA aA aa aa二、几何常见题型归1平行关垂直关1.a,ba//2.a,a//bb3.a,a//4.//,aa5.//,性 性

3、计算题。（）se1sep2求异面直线所成的角0（1）（2）求直线与平面所成的角0,90：关键找“两足垂足与斜（；求二面角的平面角0,.解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂，垂面法三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。1.如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角为α,则( 2.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( 3.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图,则 A.B.C.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( A.B.C.D. A.90 B.129 C.132 D.1387.(2014课标卷Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为 A.B.C.D.8.(2014课标卷Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为() 9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条 A.6 上，则这个球的表面积是（） 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. B.C.D.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 A. B. C. D.设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 C. D.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-的体积为 A.3B.2C.D.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 B.C. D.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的 C.2已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成 有且只有1 B.有且只有2C.有且只有3 D.有无数一个几何体的三视图,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表 3

C.4

3 D. A. B. C. D.π则a⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是 A. B. C. D.O-xyz中的坐标分别是(1,01),(1,1,0),(0,1,1),(0,00),画该四面体三视图中的正视图时,zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 α∥β且 B.α⊥β且C.α与β相交,且交线垂直于 D.α与β相交,且交线平行于如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为 OAO的半径M是OA的中点过MOA45°O的表面得到圆C.若圆C的面积等于,则球O的表面积等于一个四棱锥的底面是正方形,其顶点在底面的射影为正方形的中心.已知该四棱锥的各顶点都在同一个球面上,3,6,则这个球的表面积是.正六棱柱的高为.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P段D1E上.点到直线CC1的距离的最小值 31.(2014课标卷Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面PD的中点如图,ABC-A1B1C1中AB⊥AC,D、EAA1、B1C的中点DE⊥证明A-BD-C60°,B1CBCD所成的角的大小如图,ABC-A1B1C1中AC=BCAA1=ABDBB1的中点EAB1上的一点,证明:DEAB1CD的公垂线AB1CD45°,求二面角A1-AC1-B1的大小如图,ABCD-A1B1C1D1中AA1=2AB=4,ECC1证明:A1C⊥平面A1-DE-B的大小2如图,ABC-A1B1C1中D,EABBB1的中点22

证明BC1∥D-A1C-E的正弦值[答案][解析]B,C,kAB=,∵CD⊥AB,∴kCD=,∴直线CD的方程Dy+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD=+c,点D到直线BC的距离为c-x,∴<a+=a+c,b4<a2(c-a)·(c+a)=a2·b2,b2<a2,<1,又该双曲线的渐近线的斜率为或-,∴双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).选A.D[答案]0解得=.可知 ⇒<⇒y 0[答案]3.E的标准方程为-=1(a>0,b>0A(-a,0),B(a,0),M一象限内,则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,解得b2=a2,∴e==.[答案][解析]4.由题意得解得又由已知可得=2,c=2a,即∴cos∠AF2F1===.故选A.[答案]5.A 解 12121212(a+a)2+(a-a)2-2(a+a)·(a-a)cos60°=4c2,整理 12121212 =4,即 12121212 = == , +1的最小值为. .故选[答案]A，，，则 ， [答案] [解析] ），设 ，则、，两式相减 [答案]8. [解析] ②两式联立得代入到①中消b得关于a的一2[答案] [解析]9. 由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点 [答案][解析]10.解法一:由e===得a=2b,a=c,b=由得(3+12k2)y2+6cky-设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=①.y1y2=②.由=3得y1=-3y2③.联立①②③得k=±,又k>0,故k=.解法二:由椭圆定义可得||=,||=.其中e为离心率,p为焦准距,αAB由||=3||得 =,解得cosα=. 从而k=tanα=(k>0).[答案]11.B[解析]11.由已知kAB= 设E:-=1,A(x1,y1),B(x2,y2)∴-=1,- 则-而所以==1,b2=a2.①c2=a2+b2=9,②联立①②解得a2=4,b2=5, [答案]12.D12l∥ABCD,ABCDlxl与yP(x,y)为平面直角坐标系中到直线lyPPN⊥yN,PE⊥xE,PM⊥lM,ME,PM=PN,ME⊥xlx∴ME⊥ABCD,MElABCDd,在Rt△MEP中,PE=|y|,PM=PN=|x|,ME=d,∴PE2+ME2=PM2,即|y|2+d2=|x|2,∴-=1,∴ABCDly[答案][解析]13.设抛物线C1的焦点为F,则F.设双曲线C2的右焦点为F1,则直线FF1的方程为y=-x+,设M,因为M在直线FF1上,∴=-x0+.10∵y=x2,∴y'=x,∴C在M点处的切线斜率为x,又-y2=1的渐近线方程为y=±10故由题意得x0=,将①、②联立得p=,故选D.[答案]14.C14F(0,1),所以直线ly=1.与抛物线的交点为M、N,分别过M、N作x轴的垂线MM'和NN',交x轴于点M'、N',如图.故所求图形的面积等于阴影部分的面积,即S=4-2 dx=.故选C.[答案][解析]15.∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+=5M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为,∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=,即p2-10p+16=0,解得p=2p=8,y2=4xy2=16xC.[答案]16PA2=PB·PC,∵BC=3PB,∴PC=4PB,PA2=4PB2, [答案]17.2[解析]17.由切割线定理得PA2=PC·PD,得PD==∵CE∶ED=2∶1,∴CE=6,ED=3AE·EB=CE·ED,9EB=6×3EB=2.[答案]18.8[解析]18.易得 因为EC是切线,所以∠DCP=∠CBA,从而△CPD∽△BCA,故=[答案]19.19x2-y2=1y=xy=xx-y+1=0两直线之间的距离为=.因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点,所以点P直线y=x的距离 于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离 c的最大值为.[答案][解析]20.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.[答案]21Fc,0)PPFCP(c,2b),PC上,∴-=1,∴=5,∴e==.[答案]22. 分别解得 .∵F为△OAB的垂心,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-即·=-1⇒4b2=5a2⇒4(c2-a2)=5a2⇒=,∴e==.[答案]23.2;y=±x[解析]23.双曲线-y2=1中,a=,b=1,∴2c=2 =2.其渐近线方程为y=±x,即y=±x,也就是y=±x.[答案][解析]24.由双曲线-y2=1(a>0)知其渐近线方程为y=±x,又因为a>0,所以=,解得[答案]25.(1)(x-1)2+(y- 25.(1)C(a,b)rCxT(1,0),∴a=1,r=|b|,Cy轴正半轴交于两点,∴b>0b=r.∵|AB|=2,∴2=2,∴r=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-则==又 ∴==·=( =+1. , +=+1+=+1+-1=2,故正确结论的序号是①②③.[答案]26.(x-1)2+y2=226mx-y-2m-1=0m(x-2)=y+1,m∈R(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=,故所求圆的标准方程为[答案]27.[解析]27.由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂[答案]28a×1+(3-a)×(-2)=0,[答案]29DNDNH,HM,N、M、H|cos∠HMC|即为所求.AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2M,NAD,BCCM⊥AD,AN⊥BC,所以 =2 =2,MH=AN= =,[答案]30.[解析]形,∴sin∠AOB=sin=,∴cos2-sin·cos-=·--=-α+cosα=sin=sin [答案]131y=exy'=exy=ex在点(0,1)k1则有k1k2=-1,即1·=-1,解得=1,又又∵点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为[答案]32.依题意设过点(1,3x2+y2=2y-3=k(x-1),即 k1=-7,k2=1,l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2tan则tanθ1=-7,tanθ2=1,从而tan(θ1-θ2)==.[答案]33.4±=,解得a=4±.经检验均符合题意,则a=4±.[答案]34.534A(0,0),B(1,3[答案][解析]35.设A(x1,y1),B(x2,y2), .把已知条件代入上式得,- ×∴=,故椭圆的离心率e==.[答案]36.2[答案]37.|OD|=故 ,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点 -2·-又>1, [答案]38.x2+(y-1)2=138.根据题意得点(1,0)y=x(0,1)r=1,Cx2+(y-1)2=1.[答案]39.x2+239A,∵AF⊥x,∴A(c,b2c2=1-211又∵|AF|=3|FB|,∴由 得B ,代入x2+=1得+=1,又11[答案][解析]40. 得 得B,则线段AB的中点为M

=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2= [答案] ,∴弦长 [答案]42.(2[解析]42.函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方,点(x0,g(x0))的中点,又h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离 解之得b>2.所以实数b的取值范围为(2[答案]于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+ [答案] [解析] 的距离PCCPACB.[答案][解析] 从而. 中 ， .由双曲线定义得，所以 .[答案] [解析] ，又因为OF的线段长为c，所以可得原点与垂足之间的距离为a，又因为垂 段为坐标原点）的垂直平分线上可得a=b，所以双曲线的离心率为.[答案] [解析]47. 如图，分别过点、作准线的垂线，分别交准线于、，设，则在直角三角形中，， ， ，，即 48.(x-3)48kAB=0,ABx=3.Bx-y-1=0y-1=-(x-2)x+y-3=0,联立①②解得所以圆心坐标为(3,0) 半径 =C(x-3)[答案]49.[解析]49.不妨设 ,则sinα=,cosα=,sinβ=,cosβ=[答案]50O,ABOABOE,Rt△ABC∠ABC=30°,CD∠BCD=60°.BD⊥CD,∠CBD=30°,∠OBD=60°,OBEBE=10.BD=15,DE=15-51[解析]51.解析（Ⅰ）因为点在抛物线 ，此,（3若直线的斜率存在，设直线 ， 那么，为定值.（7分 ，.，（9 到直 的距 ，令 所以没有最大值.(12分52[解析]52.（1）由点在椭圆上得，①②由①② ，故椭圆的方程为……..4（2）假设存在常数，使得由题意可 并整理 ，则 6 ，从.又因为共线，则 ， 53.F(c,0)l1其方程为x-y-c=0,O到l的距离 = 故=,由e==,得a=, =CP,lF1122有=+成立 由(Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6.设A(x,y)、B(x,y)1122lxly=k(x-1)12121212C上的点P使=+成立的充要条件是P点的坐标为(x+x,y+y),且2(x+x)2+3(y+y1212121212122=6,整理得2+3+2+3+4xx+6yy1212又A、B在C上,即2+3=6,2+3 故2x1x2+3y1y2+3=0.y=k(x-1)2x2+3y2=6,(2+3k2x2-6k2x+3k2-12121212于是x+x=,x·x= y·y=k2(x-1)(x-1)=12121212121212代入①解得,k2=2.此时x+x= 于是y+y=k(x+x-2)=-,即P121212因此,当k=-时,P,l的方程为x+y-当k=时,P,l的方程为x-y-当l垂直于x轴时,由+=(2,0)知,C上不存在点P使=+成立.综上,C上存在点P使=+成立,此时l的方程为x±y-=0.[答案[解析1.CD⊥AB,则∠A'DBA'-CD-B的平面角,即若CDAB不垂直,在△ABC中,过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O,交BCA'D=AD,∴∠A'AD=∠A'DB.而∠A'AO是直线A'A与平面ABC所成的角,由线面角的性质[答案]2.C[解析2.∵S△OAB是定值,且VO-ABC=VC-∴OC⊥OAB时,VC-OAB最大,VO-ABC最大.设球OR,[答案[解析]3.如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为a3,剩余部分的体积为a3-a3=a3.它们的体积之比为.故选D.[答案[解析]4.由正方体的性质易求得sin∠C1OA1=,sin∠COA1=,注意到∠C1OA1是锐角,∠COA1是钝角,且> .故sinα的取值范围是.[答案] ×( [答案] [答案[解析]7.解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求,设BC=CA=CC1=2, 则AQ=,AN= ∴cos∠ANQ==== [答案]8.C]一个圆柱的底面半径为3cm,高为2cm.设零点的体积V1=π×22×4+π×32×2=34π(cm3).而毛坯的体积V=π×32×6=54π(cm3),因此切削掉部分的体积V2=V-V1=54π-34π=20π(cm3),所[答案]9.B[解析]9.由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,.其中面ABC⊥面BCD,△ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,BC的中点M,AM,DM,DM⊥面ABC,在等腰中,AD===6,又在Rt△ABC中,AC=4<6,故该多面体的各条棱中,AD,6,B.[答案10.[解析10.2[答案]11.C[解析11.解法一:作出草图设A为公共弦的中点,B为弦的一个端点,在Rt△OAB中,易得OA=,易知四边形为矩形,∴O1O2=OA=,故选解法二:设O1A=a,则在Rt△O1AB中, ∴O1O2==== ,故选C.[答案]12.D[解析12.正方体的正视图、侧视图、俯视图都为正方形;圆锥的正视图、侧视图、俯视图依个梯形不全等正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为:三角形、三角形、正方形故选[答案[解析13.由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体,V=+32×2=+18,故选[答案14[解析14.如图Rt△ASC≌Rt△BSC得CB=CAAB的中点为M,则SM⊥ABCM⊥AB,AB⊥故VS-ABC=VA-SCM+VB-SCM=在Rt△SAC与Rt△SMA中,可求 ,AC=2,SM=由 得 ,可得 故sin∠MSC= ××4×× ,故选C.[答案]15.C[解析]15.设底面的中心为O,令高为h,则AO=,AB=AO=×.体V=×2×h(12-h2)=-h3+8h.求导得V'=-2h2+8.由V'=0得h=2.[答案]16.B[解析16.解法一:AB=aCD=b,AB与CDθ,h,将△BCD平行四边形BCDE,则BE=b,∠ABE=θ,∴VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE=×absinθ·h=abhsinθ,由题意知a=b=2,分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面,则h=2,∴VA-BCD= sinθ=sinθ≤,当θ=90°时取等号解法二:分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面,将四面体ABCD放入长方体中,如图,设长方体的底面边长为a、b,则VA-BCD=V长方体=ab×2 ab,又由a2+b2=4≥2ab得ab≤2,则VA-BCD≤,故选B.解法三:CDPCD,AB⊥PCD,ABP,P到CDh,VA-BCD=×2××2×h=h,当球直径通过AB与CD的中点时h最大, , [答案[解析17.A1B,∴∠A1BE或其补角就是异面直线BE与CD1所成角,设AB=1,则A1E=AE=1,∴BE=, .由余弦定理可知:|cos∠A1BE|== [答案[解析]18.易得B1、D和正方体的中心O满足题意.排除A、B选项.再对角线B1D上的点B1DA1ADD1D1DCC1ABCD的距离相等,利用三垂线AB、CC1、A1D1的距离相等.D.[答案[解析]19.由三视图可知,该几何体是有一个侧面垂直于底面的三棱锥,且垂直于底面的侧面是一个边长为2的正三角形,外接球的球心是正三角形的中心,半径R为,所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×=,故选D.[答案20] [答案[解析21.依题意得,该几何体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴剖开),1,高为3,因此该几何体的体积为×=(cm3),故选A.[答案[解析22.①b⊂α;②中直线a与平面β的关系无法确定;③中还有可能a⊂α;④正[答案,正方体后,OA⊥BC,zOxA.[答案]24.D[解析]24.若α∥β,则m∥n,这与mn为异面直线,所以A不正确.将已知条件转化到正方体中,αβ不一定垂直,αβl,从而排除B、C.D.[答案],cos ,设 ,则 当0<m<2时 ∴当m=0时,y取最大值, 此时cosθ取最大值,(cosθ)max==.[答案]26.[解析]26.原两个几何体的总体积V=×π×52×4+π×22×8=π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则×π×r2×4+π×r2×8=π,解得r2=7,从而r= [答案[解析]27.设圆C的半径为r,有πr2=.得r2=.又设球的半径·R,,有OB=R, R,CB=r.在Rt△OCB中,·OB2=OC2+CB2,R2=R2+r2⇒R2=,∴R2=2S球[答案[解析28.如图,A-BCDE满足条件,O为四棱锥的外接球球心,PA上的投影[答案[解析29.以正六棱柱的最大对角面所在的平面为截面得截面图如图.正六棱柱的两底面中心分别为O1,O2,则O是O1O2的中点.设正六棱柱的底面边长为a,高为2h,则a2+h2=9.正六棱柱的体积V=6×a2×2h,即V=3 (9-h2)h,令V'=3 值点h=,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大值点.故当正六棱柱的体积最大时,其2[答案25[解析30.EEE1∥CC1B1C1E1,EE1⊥A1B1C1D1,E1,D1E1,过作PH∥EE1交D1E1于点H,则PH⊥面A1B1C1D1,连结C1H,则CC1⊥C1H,且PH∥CC1,所以为点P到线段CC1的距离.因为点P段D1E上运动,所以当C1H⊥D1E1时,C1H取得最小值,即点P到直线CC1的最小距离为. [答案31.[解析]31.(Ⅰ)连结BD交AC于点O,连结EO. 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB. 又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-则 设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0). 设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量, 即可取n1= =,解得m=因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为三棱锥E-ACD的体积V=× ×× [答案]32.解法一:(Ⅰ)证明:取BC中点F,连结 则EFB1B,从而AF,ADEF为平行四边形,AF∥DE2分又DE⊥BCC1,故AF⊥BCC1,从而AF⊥BC,AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC.(5分)(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连结CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知,∠AGC=60°.设AC=2,则AG=.又AB=2,BC=2 ,故AF= .由·AB·AD=AG·BD得 ,解得AD=,故·AD⊥AF,ADEF为正方形8分BC⊥AFBC⊥AD,AF∩AD=A,BC⊥DEF,BCD⊥AE、DF,AE∩DF=H,EH⊥DFEH⊥CH,则∠ECHB1CBCD所成的角因ADE