第三章波动方程初值问题与行波法

数学物理方法海洋大学海洋与气象学院：：第3章波动方程与行波法、降维法§3.1

一维波动方程一.

d’Alembert公式推导二.

d’Alembert公式物理意义三.

依赖区间、决定区域和影响区域四.

半

弦

振动问题§4.2

三维波动方程

问题一.三维波动方程和球对称解二.三维波动方程的Poisson公式和球对称解行波法——d’Alembert公式d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)

法国著名的物理学家、数学家和天文学家，最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力

学》、23卷的《

》、《百科全书》的序言等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。一维波动方程定解问题弦

振动*

弦强迫振动半

弦

振动*半

弦强迫振动三维波动方程定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形*一般情形球面平均法行波法降维法有限弦振动问题§3.1

一维波动方程一.d’Alembert公式推导初始位移

(

x)，初始速度

(

x)的

弦

振动2ttxxt

0t t

0u

a

u

0 (

x

,

t

0)u

(

x),

u

(

x),

x

初值问题(Cauchy问题)我们可以求出方程的通解,考虑变量代换

x

at

x

at利用复合函数求导法则得u

u

u

u

ux

x

x

2u

u

u

u

u

x2

x

x

2u

2u

2u

2

2

2为什么？同理可得：2)a2

(u2

2u

t

22u

2u

2

2将两式代入原方程,可得：

2u

0连续积分两次得u

,

F

G

其中

F

,

G

是任意二次连续可微函数，即有u

x,

t

F

x

at

G

x

at

注：u

x,t

F

x

at

G

x

at

是方程u

a2u

(

x

,

t

0)tt

xx的通解,它包含两个任意函数。对无限长的

振动,

利用初始条件,

则：u

|t

0

F

x

G

x

x

ut

|t

0

aF

'

x

aG

'

x

x

u

|t

0

F

x

G

x

x

ut

|t

0

aF

'

x

aG

'

x

x

两端对x

积分，可得：01xa

xF

x

G

x

d

C

11212x2a

x0C2C212a

x

F

x

G

x

x

d

d

xx0由此即得原定解问题的解:112xat2a

xatu

x,

t

[

x

at

x

at

]

d无限长弦振动的达朗贝尔(d’Alembert)公式.行波法小结

(注：行波法仅适用于双曲型方程)：：2.特征方程与特征根2

2u

2

2u

0 (

x

,

t

0)t

a

x21.波动方程：u(

x,0)

(

x),

ut

(

x,0)

(

x)

2

a2

0

a

x

at

=x

at变量替换解方程：

2u

0

u

F

(

x

at

)

G(

x

at

)5.利用初始条件解F、G：

12u

x,

t =

1

2a

(

)dx

atx

at

(

x

at

)

(

x

at

)

例1：振动波动方程

问题：tt

xxtu(

x,

0)

x2u

a2u

0,

-

x

,

t

0u(

x,

0)

sin

x解：由达朗贝尔公式：sin(

x

at

)

sin(

x

at

)

212

1

2ax

atx

atu

d3

sin

x

cos

at

t

(3

x2

a2t

2

)例2：解定解问题:tt

xx

a2

u

,u

x

,

t

0u

|t

0

sin

x,

ut

|t

0

cos

x解:

11cos

d2u

x,

t

[sin

x

at

sin(

x

at

)]2axatxata

sin

x

cos

at

1

cos

x

sin

at.例3：求解波动方程问题-<

x

,

t

0,

-<

x

1

x21tt

xxtu

(

x,

0)

u

a2u

0u(

x,

0)

0

,解：由达朗贝尔公式：11

22au

1x

atx

atd2a

1

arctan(

x

at

)

arctan(

x

at

)例4：求二阶线性偏微分方程初值问题的解

2uxy

3uyy

0u

|

3

x2

,

u

|

0

y0

y

y0uxx解:

先确定所给方程的特征曲线。特征方程为：dy

2

2dxdy或者

dy

2

dy

2

3

0.dx

dx

它的两族积分曲线为3

x

y

C12

x

y

C做特征变换

3

x

y

x

y容易验证，经过变换原方程化成

2u

0.它的通解为u

F

G

其中

F

,G

是任意二次连续可微函数，即有u

x,

t

F

3x

y

G

x

y

把这个函数代入到条件

u

|y0

3

xF

3

x

G

x

3

x2yF

'3

x

G

'

x

03

1

F

3

x

G

x

C344x2F

3

x

9

x2

C

'

C

'G

x

代入到x2434F

x

1

x2

C

'

C

'G

x

u

x,

t

F

3x

y

G

x

y

,得原问题的解为：u

x,

y

1

3x

y2

3

x

y2

3x2

y24

4例5求二阶线性偏微分方程的通解

2sin

xuxy

cos

xu

0.2yyuxx解：特征方程为dy

2

2sin

xdxdy

dy

1

sin

x

dx

dx积分曲线为：

y

x

cos

x

C12

y

x

cos

x

C经过变换原方程化成

2u

0所以,令

y

x

cos

x

y

x

cos

xf1

,f2

是任意二次连续可为原问题的通解，其中微函数。u(

x,

y)

f1

(

y

x

c2二.d’Alembert公式物理意义u

x,

t

F

x

at

G

x

at

1.考虑u2

G

x

at

,

若G(

x)

的图形已经给定，那么，随着时间

t

的推移，u2

G

x

at

的图形以速度a向x轴正方向平行移动,故称齐次波动方程形如

u2

G

x

at

的解为右行波。2,u1

F

x

at

表示一个以速度a

向x

轴负方向

的行波，且

过程中，波形也不变化。称为左行波。xOx02u(t

0)x

x0u2

G(

x

at

)(t

t0

)atxOx0u1

F

(

x)x0

atu1

F(

x

at

)atG(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x-at)=F(x0+at-at)=F(x0)xa

a的物理意义,如图给出的特例u2u2x

a23a2u2x02au2xa3a考虑：u2

Gu2

G(

x)t

02t

1u

G(

x

a

/

2)2t

1u2

G(

x

a)u2

G(

x

2a)t

2行波速度：T千克

米/秒2

T千克/米=

米/秒a

弦拉的越紧,波速度越快;密度越小,波越快P912

1

2a

(

)dx

atx

atu(

x,

t

)

(

x

at

)

(

x

at

)

结论：达朗贝尔解表示沿

x

轴正、反向 的两列波速为a的波的叠加，故称为行波法。(2)只有初始速度时：

1

2a

(

)dx

atx

atu(

x,

t

)

u(

x,

t

)

1

(

x

at

)

1

(

x

at

)(1)只有初始位移时，2u(

x,

t)

1

(

x

at)

(

x

at)

(

x

at

)代表以速度a

沿x

轴正向的波

(

x

at

)

代表以速度a

沿x

轴负向

的波假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于0xx

at

x

at为解的依赖区间。三.依赖区间、决定区域和影响区域内的初始条件，在区间以外改变初始数据时，解的值不变。tP(x,

t)它是过（x，t）点，斜率为

1的直线与

x

轴所截而得到

依赖区间1.依赖区间u(x,t)仅仅依赖于[x

ata的区间（如右图）。区间

[x

at该区域中任一点(x,

t)的依赖区间都落在区间[c, d]内部，因此解在此该区域中的数值完全由区间[c,

d]上的初始条件决定。该区间称为决定区域。在区间[x1

,x2]上给定初始条件，就可以在其决定区域中确定初值问题的解。xtx

c

atc决定区域dx

d

at2.决定区域3.影响区域如果在初始时刻

t＝0，扰动仅仅在有限区间

[c,d

]上存在，则经过时间t

后，扰动传到的范围为c

at

x

d

at

(t

0)定义：上式所定义的区域称为区间

[c,d

]的影响区域。cxdx

d

at影响区域tx

d

at121

2a

(

)dxatxatx1xx22x

x影响区域tx

x1

atx1x

x

at(x

at)

(x

at)

tx1决定区域x2x

x2x依赖区间x

at

x

atu(x,t)

tP(x,

t)小结：x

at

C特征线特征变换

x

at

x

at的两族直线：a分析其物理意义表明,在xot

平面上斜率为

1x

at

常数对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线为一维波动方程的特征线。波动沿特征线

。称为特征变换,行波法也叫特征。

x

at,

x

at自变量变换4.行波法又叫特征注：容易看出,一维波动方程的两族特征线x

at

常数恰好是常微分方程

dx

2

a这个常微分方程称为波动方程的解。u

a2u

(

x

,

t

0)tt

xx的特征方程。11212af

(

,

)d

dt xa(t

)xat2a

xat0

xa(t

)u

x,

t

[

x

at

x

at

]

d

一维非齐次波动方程问题的Kirchihoff公式.四.弦受迫振动问题2tt

xxu

a

u

f

(

x,

t

)(

x

,

t

0)u(

x,0)

(

x),

ut

(

x,0)

(

x)tt

xx

a2vv(1)

v(

x,0)

(

x),

vt

(

x,0)

(

x)tt

xx

a2

w

f

(

x,

t

)w(2)

w(

x,0)

wt

(

x,0)

0u

v

w

2u

2u

a2

sin

xx2例：

t

2u

cos

x,

u

x

t

0

t

t

0uII

(x,t)

cos

at

cos

x

xtuIII

(x,

t)解：cos(x

a(t

))

cos(x

a(t

))d

112a

1

2a0a20atsin

x

sin

a(t

)d

1

sin

x[1

cos

at]t

sin

ddt

xa

(t

)0

xa

(t

)a2u(x,t)

cos

at

cos

x

xt

1

sinx[1

cos

at](

x,

t

)t

0t

0

2u

a2

,t

0,

0

x

2ux2

t

2u(

x,

t

)

(

x),

(

x)utu(0,

t

)

g(t

)我们先考虑

g(t

)

0

情形，即端点固定的振动。希望能利用达朗贝尔公式来求解u(

x,

t

)

(

)d2

at

)

at

)(

x

(

x

1

2axatxat五.半弦的振动问题为此，我们要作奇延拓(有时也作偶延拓)：u(

x,

t

)U

(

x,

t

)

u(

x,

t

)(

x

0)(

x

0)(

x)

(

x)

((

x)

(

x)

(t

0t

0

2U

a2

,t

0,

x

2Ux2

t

2U

(

x,

t)

(

x),(

x,

t)

(

x)Utxatxat(

x

at

)

(

x

at

)

12

2aU

(

x,

t

)

(

)d半当问题的解为：x

at时：当

0

x<

at

时：2(

x

(

x

(

)dxatxat

at

)

at

)

1

2au(

x,

t

)

2

(

)dxatat

x

at

)

u(

x,

t

)

(

x

(at

x)

1

2a当在x=0处有一个端，即：ux

(0,t)

0则需要作偶延拓。例

2u

2u

t

2

x2

,t

0t t

0

2

x2

,

u

3

xx0x

0,

t

0

0uu当x

0,x

t

0u(

x,

t)

(

x

t)2

(

x

t)2

12(3

)dxtxt22

2

x

2t

3

xt当x

0,x

t

02212u(

x,

t)

(

x

t)

(t

x)

(3

)dxtt

x

7xt§3.2

三维波动方程

问题的解一.三维波动方程和球对称解

(

x,

y,

z)

(

x,

y,

z)

2u

2u

2u

2u

,

t

0,z2

t

0u

a2

x2

y2

t

2u

tt

0

2u

2u

2uu

x2

y2

z2

rM

(

,,

)M

(

x,

y,

z)rS

Mxyzo球坐标中的Laplace运算：

x

r

sin

cos

y

r

sin

sin

z

r

cosu

2u

2u

2ux2

y2

z222sinr1

2u

1

2

u

1

u

r

rr

r

sin

r

2

sin

2

球对称性：所谓球对称是指u与

,

无关，则波动方程可化简为22ar

2u

1

2

u

t

2

r