人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1。1。1集合的含义与表示¤知识要点：1。把一些元素组成的总体叫作集合(set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛｝”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，,既要关注代表元素x,也要把握其属性，适用于无限集.基本形式为3。通常用大写拉丁字母表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R。4.元素与集合之间的关系是属于（belongto）与不属于（notbelongto)，分别用符号、表示，例如,.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数。解：（1）用描述法表示为：用列举法表示为；.(2）用描述法表示为:用列举法表示为；.【例2】用适当的符号填空：已知,，则有：A；－5A；17B。解：由,解得，所以17;由由，解得，所以，解得;，所以。【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6练习题2,P13A组题4）（1）一次函数(2）二次函数与的图象的交点组成的集合；的函数值组成的集合；（3)反比例函数解：(1)的自变量的值组成的集合。。（2)(3）。.点评：以上代表元素,分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为,也注意对比(2）与（3）中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同,分析时一定要细心.＊【例4】已知集合，试用列举法表示集合A．．应分以下三种情况::由△=0，得解：化方程为：⑴方程有等根且不是,此时的解为,合．⑵方程有一解为另一解，而另一解不是：将代入得，此时,合．⑶方程有一解为,而另一解不是:将代入得,此时另一解为，合．综上可知，．点评:运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§1.1.2集合间的基本关系¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作（或）,读作“A含于B”(或“B包含A”）。2.如果集合A是集合B的子集(）,且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等,记作.3。如果集合，则称集合A是集合B的真子集（propersubset），记作B（或B4.不含任何元素的集合叫作空集（emptyset),记作，并规定空集是任何集合的子集.，但存在元素，且AA).5。性质：若；若，，则;，则；若，则。¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形｝｛平行四边形｝；{等腰三角形}｛等边三角形｝.（2）；0｛0｝；{0｝;N{0}。解：（1），；(2）=，∈，，.【例2】设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（）。解：简单列举两个集合的一些元素，，,易知BA，故答案选A．另解：由，易知BA，故答案选A．【例3】若集合，且,求实数的值。解:由，因此，。（）若时，得，此时，。若；（）若时,得,满足，解得时存在.故所求实数的值为或或。点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“"，因为.从而需要分情况讨论。题中讨论的主线是依据待定的元素进行。【例4】已知集合A=｛a，a+b，a+2b}，B=｛a，ax，ax2｝。若A=B，求实数x的值.解：若a+ax2—2ax=0,所以a(x-1）2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时,集合B中的元素均相同，故舍去。若2ax2-ax—a=0。因为a≠0，所以2x2—x—1=0，即(x-1）（2x+1）=0.又x≠1，所以只有。经检验,此时A=B成立。综上所述。点评:抓住集合相等的定义，分情况进行讨论。融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.第3讲§1。1.3集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念,并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次。下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于由属于集合A且属于集合对于集合A,由全集U中不属集合B的元素所组成的集B的元素所组成的集合，于集合A的所有元素组成的合，称为集合A与B的并称为集合A与B的交集集合，称为集合A相对于全集（unionset）(intersectionset)集U的补集(complementaryset）记号符号（读作“A并B"）（读作“A交B”)(读作“A的补集”）图形表示¤例题精讲：【例1】设集合。解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示:，，【例2】设，,求：（1)解：;(2）。。(1）又（2）又得,∴；,。∴。【例3】已知集合，，且，求实数m的取值范围.解：由,可得。在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知,.点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集，，,求，，，，并比较它们的关系.解：由，则.由由则,则，，，。由计算结果可以知道，，.另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果。点评：可用Venn图研究与，在理解的基础记住此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲§1。1.3集合的基本运算（二）¤知识要点：1。含两个集合的Venn图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果。我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形,我们还可以发现一些集合性质:，.2.集合元素个数公式：.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合解：由于当,若，求实数的值.,且，则有：解得，此时。，不合题意，故舍去；当时，解得不合题意,故舍去；，合题意.所以，。【例2】设集合（教材P14B组题2），,求,。解：当.时，时，时，且,则，;当，则，;当,则时,,；当且，则，。点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论。罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则。【例3】设集合A={｜｝，B=｛|，}，若AB=B，求实数的值．解：先化简集合A=。由AB=B，则BA，可知集合B可为，或为｛0｝，或｛－4｝，或。(i）若B=，则，解得＜；（ii)若B，代入得=0=1或=,当=1时，B=A，符合题意；当=时，B=｛0｝A，也符合题意．(iii）若－4B,代入得=7或=1，当=1时，已经讨论,符合题意；当=7时，B=｛－12,－4｝,不符合题意．综上可得，=1或≤．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B，若定义，当集合，集合时，有=。（由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为”而拓展)解：根据题意可知，，由定义，则.点评:运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素。如果再给定全集U，则也相当于.第5讲§1.2.1函数的概念¤知识要点：1。设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function)，记作=，．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain)，与x的值对应的y值叫函数值,函数值叫值域（range）.的集合2.设a、b是两个实数，且a<b,则：｛x|a≤x≤b｝＝［a,b]叫闭区间；｛x|a〈x<b}＝(a,b)叫开区间；｛x|a≤x<b}＝，｛x｜a〈x≤b｝＝符号:“∞"读“无穷大”；“－∞"读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。则，都叫半开半闭区间。，，，，.3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲:【例1】求下列函数的定义域：（1）；（2）.解:（1）由，解得且，所以原函数定义域为。（2）由，解得且，所以原函数定义域为。【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）；(2）.解：(1）要使函数有意义,则，解得.所以原函数的定义域是.，所以值域为（2)..所以原函数的定义域是R，值域是.【例3】已知函数.求:(1）的值；（2）的表达式解：(1)由（2）设，解得，所以.，解得，所以,即。点评：此题解法中突出了换元法的思想。这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数（1）求。的值；(2）计算：.解：(1）由。(2）原式点评：对规律的发现,能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键.第6讲§1.2。2函数的表示法¤知识要点：1.函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点：简明，给自变量可求函数值）;图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象,反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点：不需计算就可看出函数值）。2.分段函数的表示法与意义（一个函数,不同范围的x,对应法则不同）。3。一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应（mapping）．记作“"。为从集合A到集合B的一个映射判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲:【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x,长、宽为，所以体积为V＝。又由，解得.所以，体积V以x为自变量的函数式是，定义域为。【例2】已知f（x)=，求f[f（0)］的值.解：∵,∴f(0）=。又∵>1，∴f（)=(）3+(）-3=2+=,即f[f(0)]=.【例3】画出下列函数的图象：(1)；（教材P26练习题3）（2）.解：（1）由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示。（2）,所以，函数的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象。【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如的解析式，并作出函数的图象.，,当时，写出解：点评：解题关键是理解符号.函数图象如右：的概念,抓住分段函数的对应函数式。第7讲§1。3。1函数的单调性¤知识要点：1.增函数：设函数y=f(x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2,当x1〈x2时，都有f（x1）<f（x2)，那么就说f（x）在区间D上是增函数（increasingfunction）。仿照增函数的定义可定义减函数。2。如果函数f(x）在某个区间D上是增函数或减函数,就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f（x)的单调区间.在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1)，减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性。3。判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x；→计算f(x)－f(x)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.解：任取∈（0,1)，且。则.由于。，，,,故，即所以,函数在(0，1)上是减函数。【例2】求二次函数解：设任意的单调区间及单调性.，且.则。若，当时，有,，即，从而，即，所以在上单调递增.同理可得在上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间:(1）；（2）。解：（1）,其图象如右.上是减函数.由图可知,函数在上是增函数,在（2），其图象如右。由图可知，函数在、上是增函数,在、上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数。第2小题也可以由偶函数的对称性,先作y轴右侧的图象,并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.的图象。由图第8讲§1。3.1函数最大（小）值¤知识要点：1.定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:对于任意的x∈I，都有≤M;存在x0∈I，使得=M.那么，称M是函数的最大值（MaximumValue）.仿照最大值定义,可以给出最小值（MinimumValue）的定义。2.配方法：研究二次函数的最大（小)值，先配方成后，当时,函数取最小值为；当时，函数取最大值。3.单调法：一些函数的单调性,比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4。图象法:先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数的最大值。，由解：配方为，得。所以函数的最大值为8。【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为.即。当时,.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为360元.【例3】求函数的最小值.解：此函数的定义域为