高考热点：定积分与导数

PAGE16定积分与导数【三年真题重温】1【新课标全国理，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．A．B．4C．D．62【新课标全国理，4】曲线在点（-1，-1）处的切线方程为A．y＝2＋1B．y＝2－1C．y＝－2－3D．y＝－2－2【答案】C【解析】命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识由可得应选A3【新课标全国文】曲线y=3ln1在点（1,1）处的切线方程为________【答案】【解析】，，所以点斜式方程得到切线方程为考点定位：本小题考查导数的性质，利用导数求切线的斜率，求切线方程。4【新课标全国理，20】在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，··，点的轨迹为曲线．Ⅰ求的方程；Ⅱ为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值．【解析】本题以向量为载体考查求曲线方程的方法，考查了抛物线的切线、点到直线的距离公式、利用基本不等式求最值等．Ⅰ设，由已知得，所以，，再由题意可知，即所以曲线的方程为．Ⅱ设,为曲线：上一点，∴，=，∴的斜率为，∴直线的方程为=，即∴点到的距离===，当时取等号，∴点到的距离的最小值为．5【新课标全国文，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．求，的值6【新课标全国文，4】曲线在点（1,0）处的切线方程为（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】【命题意图猜想】1导数的几何含义是一个非常热点的知识，尤其文科这三年均有所涉及而理科定积分的应用出现了隔年交替出现的特征，且因和导数的运算法则能够有效的联系到一起，但试题难度一般不大，因考试说明只是了解此部分的内容。2从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．预测今后高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点．重点考查运算及数形结合能力．【最新考纲解读】1导数概念及其几何意义1了解导数概念的实际背景．2理解导数的几何意义．2．定积分与微积分基本定理（理）1了解定积分的实际背景，基本思想及概念．2了解微积分基本定理的含义．【回归课本整合】1定积分的几何意义（理）①当函数f在区间[a，b]上恒为正时，定积分eq\i\ina,b,fd的几何意义是由直线＝a，＝ba≠b，y＝0和曲线y＝f所围成的曲边梯形的面积图1中阴影部分．②一般情况下，定积分eq\i\ina,b,fd的几何意义是介于轴、曲线f以及直线＝a、＝b之间的曲边梯形面积的代数和图2中阴影所示，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3定积分的基本性质①eq\i\ina,b,fd＝eq\i\ina,b,fd为常数②eq\i\ina,b,[f1±f2]d＝eq\i\ina,b,f1d±eq\i\ina,b,f2d③eq\i\ina,b,fd＝eq\i\ina,c,fd＋eq\i\inc,b,fd其中a<c<b．2．微积分基本定理（理）如果f是区间[a，b]上的连续函数，并且F′＝f，那么eq\i\ina,b,fd＝Fb－Fa，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把Fb－Fa记成F|eq\o\alb,a，即eq\i\ina,b,fd＝F|eq\o\alb,a＝Fb－Fa．3导数的概念与几何意义（1）导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成（）导数的几何意义：导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者未必是切点导数的物理意义：函数在点处的导数就是物体的运动方程在点时刻的瞬时速度，即【方法技巧提炼】1计算简单定积分的步骤：1把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；2利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；3分别用求导公式求出F，使得F′＝f；4利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5计算所求定积分的值．2计算简单定积分注意问题：1求函数的原函数和求函数的导数恰好互为逆运算，注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．另外，一个函数的导数是惟一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．2分段函数的定积分问题、绝对值函数的定积分问题都可以采用分段求解的方法．3利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（,y）是曲线y=f上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y=f,再根据题意求出切点【考场经验分享】1求定积分的常用技巧:1求被积函数，要先化简，再求积分．2求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．3对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．2本热点与导数运算联系非常紧密，所以常见函数的求导、求导的运算法则和复合函数求导法则要充分掌握，总结容易求导的出错运算的式子结构，强化训练与归纳【新题预测演练】1【湖北省黄冈中学、孝感高中高三三月联合考试】设曲线与直线所围成的封闭区域的面积为，则下列等式成立的是A． B．C． D．【答案】B【解析】将曲线方程与直线方程联立方程组，解得或．结合图形可知选项B正确．2【山东省实验中学高三第二次诊断性测试】由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为.1C【答案】D【解析】根据积分的应用可知所求面积为，选D3【烟台市第一学期模块检测】曲线在点处的切线方程是（）A．B4【云南师大附中高三适应性月考卷（三）】如图3，直线y=2与抛物线y=3－2所围成的阴影部分的面积是（）

A． B． C． D．【答案】D，故选D5【广西百所高中高三年级第三届联考】已知曲线与在处切线的斜率的乘积为3，则的值为（） A．-2 B．2 C． D．1【答案】D【解析】与，则由题意得，∴7【北京四中第一学期高三年级期中数学测试】函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（）

A．B．1C．2D．

【答案】A【解析】根据积分的应用可求面积为

8【重庆市部分重点中学高三上学期第一次联考】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．［0，］B．［0，）∪［,πC．［,πD．,］【答案】B【解析】∵y′＝32-1,故导函数的值域为［-1，∞．∴切线的斜率的取值范围为［-1,∞）．设倾斜角为α,则tanα≥-1．、∵α∈［0,π,∴α∈［0,∪［,π．9【长春市高中毕业班第一次调研测试】设，，，则、、的大小关系为 A B C D【答案】A【解析】由题意可计算得；

；

，综上，故选A11【河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知直线a﹣by﹣2=0与曲线y=3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设曲线y=3在点P（1，1）处的切线斜率为，则=f′（1）=3,因为直线a﹣by﹣2=0与曲线y=3在点P（1，1）处的切线互相垂直所以12【贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】如果的展开式中的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为（）A 9 D14【东北三省三校高三3月第一次联合模拟考试】已知是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为．【答案】【解析】由题知：此题是几何概型问题，从而15【山东省济宁市高三上学期期末考试】由直线及所围成的封闭图形的面积为【答案】【解析】所求面积为。16【北京市东城区第一学期期末教学统一检测】图中阴影部分的面积等于．

【答案】【解析】根据积分应用可知所求面积为。17【广州市高三年级1月调研测试】若直线是曲线的切线，则实数的值为18【河南省中原名校高三（上）第三次联考】函数f（）=3﹣21在点（1，2）处的切线与函数g（）=2围成的图形的面积等于．【答案】【解析】∵（1，2）为曲线f（）=3﹣21上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为，则=f′（1）=（32﹣21）|=