三角形全等的应用

word格式-可编辑-感谢下载支持经典例题透析类型一：三角形全等的应用、CF相交于点D，DE⊥AC，垂 足分别为E、且。求证：AB=AC。思路点 拨：挖掘并合理运用隐含条件：(1)隐含相等的线段公共边、线段的或（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。∴∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定义在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（ASA）∴BD=CD（全等三角形对应边相等又DE=DF∴BE=CF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）总结升华：复杂题目都是由简单题目组合而成，所以要特别注意简单典型题目的解题思想以及图形特点。举一反三：【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB1AM=A（2AA。解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°（垂直的定义）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠1=∠2在△ABM和△NCA中∴△ABM≌△NCA（SAS）∴AM=AN，∠3=∠N（全等三角形对应边、对应角相等）在Rt△AFN中：∠4+∠N=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠3+∠4=90°∴AM⊥AN（垂直的定义）【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。解析：延长BA、CE相交于点F∵CE⊥BE

word格式-可编辑-感谢下载支持∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定义）在△BEC和△BEF中∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF（全等三角形对应边相等）即FC=2CE∵CA⊥BA°（垂直的定义在Rt△ABDRt△BEF中∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠ADB=∠F在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=FC（全等三角形对应边相等）∴BD=2EC类型二：构造全等三角形与△ABDBCO点，∠1=∠2，请你添加一个条件（添加其它线段，不再标注或使用其他字母，使AC=B，并给出证明。你添加的条件是。思路点拨：此题属于开放型题目，此类题目一般包括：条件开放型、结论开放型、综合开放型。此类题目的答案一般不唯一。本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD。答案：你添加的条件是：BC=AD。证明：在△CAB与△DBA中所以，△CAB≌△DBA（SAS）从而有AC=BD（全等三角形的对应边相等）总结升华：本题考查了全等三角形的判定和性质，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性。举一反三：word格式-可编辑-感谢下载支持1】如图，已知AB=AD，BD相交于E写出其中三个正确的结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）解析：由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB与∠DCBDB等。以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后结论。【变式2】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条。你得到的一对全等三角形是≌△ 。解析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边。因此只要添加以下条件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基础上又可以进一步得到△CEB≌△DEB。类型三：角平分线的性质与判定AB于点D，BEAC于点E，BECD交于点OAO平分∠BAC，求证：OB=OC．CDAB⊥ACADC=∠AEB=90OA平分∠BAC可知，，≌△OCE，从而得到OB=OC．证明：因为CD⊥AB，BE⊥AC，则∠ADC=∠AEB=90°．又因为AO平分∠BAC，所以OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等在△BOD和△COE中，word格式-可编辑-感谢下载支持所以RBO≌RCOASA．所以OB=O（全等三角形对应边相等总结升华：灵活运用角平分线的性质和判定．举一反三：【变式】如图，在 中， ， 平分 ， ，那么 点到直线 的距离答案：3cm类型四：三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）中，AC=BC，∠ACB=90°，DAC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE= BD，求证是∠ABC的平分线．思路点拨：如果BD是∠ABC个角相等的直接条件，但可以延长AE和BC应角相等解题．证明：延长AE和BC，交于点因为A⊥B，BAADE∠BD（对顶角相等EAD=∠CBD．在Rt△ACFRt△BCD中．所以RAC≌RtBCAS．则AF=B（全等三角形对应边相等因为AE= BD，所以AE= 即AE=EF．word格式-可编辑-感谢下载支持在Rt△BEA和Rt△BEF中，则RBEAR△BE（SA．ABEFB（全等三角形对应角相等即BD是∠ABC的平分线．总结升华：如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法。举一反三：【变式1】已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．错解：因为PA=PB，所以OPAO（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．误区分析：判断角平分线应是根据这点到角两边的距离相等，即到角两边垂线段的长度相等，而题中PA、PB不是到角两边的垂线段，故不能直接得到OP平分∠AOB．正解：如图所示，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为、因为∠2+∠1=180°，又因为∠2+∠PBO=180°，所以∠1=∠PBO．在△AEP和△BFP中，AEBFAAS．所以PE=P（全等三角形对应边相等．所以OPAO（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．【变式2】如图所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF．分析：由已知条件不能直接证明BE=CF，则需连接DB和DC证明：连接BD、CD，因为AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

word格式-可编辑-感谢下载支持所以DE=D（角平分线上的点到角的两边距离相等因为MD是BC的垂直平分线，所以DB=D（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以RDE≌RtDF（H．所以BE=C（全等三角形对应边相等．总结升华：线段垂直平分线和角平分线性质可直接用于证明的过程中．3中，AD是BCAB=AC．分析DE⊥ABRt△BDE≌Rt△CDF，则有∠B=∠C．证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC因为∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=D（角平分线上的点到角两边的距离相等在Rt△BDE和Rt△CDF中，所以RBD≌RtCD（H．B∠（全等三角形对应角相等则AB=A（等角对等边．总结升华：利用角平分线性质找全等三角形是关键．类型五：探究型题况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）1 1 1 1 1 1 1 1 1 、△ABCB，BC=BC，∠C=∠C求证：△ABC≌△1 1 1 1 1 1 1 1 1 （请你将下列证明过程补充完整）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。word格式-可编辑-感谢下载支持思路点拨：虽然已有三个条件，然而它们构不成三角形全等的条件。但至少提供了一边一角对应相等，另一条件只能通过作辅助线来得到。1（）分别过点BB作B⊥CA于D，1⊥ BD C⊥ 1 1 1 1 11 1 则∠BDC=∠BDC=901 1 ∵1BC=BC∵11

，∠C=∠C1 1 1∴△BCD≌△BCD1 1 1∴BD=BD1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）由条件AB=AB，∠ADB=∠ADB=90DB，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 从而得到△ABC≌△ABC1 1 （2）归纳：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形（或直角三角形或钝角三角形是全等的。本题构思新颖，创造性地设计了阅读情境，跨越障碍，合情推理并总结概括，考查阅读理解、类比、概括等综合能力，同时也培养灵活、精细、严谨的数学思维品质。举一反三：°角的三角板ADE和三角板ABC在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC的形状，并说明理由。解析：△EMC是等腰直角三角形。由已知条件可以得到：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°∠DAB=90°。连接AM。由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°从而∠MDE=∠MAC=105因此EM=MC，∠DME=∠AMC又易得∠EMC=90°所以△EMC是等腰直角三角形。2】已知Rt△ABC中，∠B=90°根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC，垂足为H；③连接ED。在的基础上写出一对全等三角形：△ ≌△ 并加以证明。word格式-可编辑-感谢下载支持（）BAC的平分线A、作线段AD的垂直平分线，并连接相关线段。（2）由AD；由EF垂直平分线段可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，从而有△AEH≌△AFH≌△DEH。以上三组中任选一组即可。类型六：利用三角形全等知识解决实际问题要测量河两岸相对的两点B的距离，先在AB的垂线BF上取两点D，使CD=•BC再定出BF的垂线DE，使ACE得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图EDABC的理由是（）A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公思路点拨：把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答。答案：B总结升华：解决本类题的关键是相关知识的熟练掌握和转化能力的运用。举一反三：【变式】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法