排列组合与概率初步课件

11级15班雷寅排列组合与概率初步

11级15班雷寅排列组合与概率初步1引入：两个基本原理引入：两个基本原理2分类计数原理（亦称加法原理）

做一件事，完成它可以有n类方案，在第

一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在

第n类办法中有mn种不同的方法．那么

完成这件事共有

N＝m1十m2十…十mn种不同的方法

分类计数原理（亦称加法原理）做一件事，完成它可以有3A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从A地到B地的方法有a+b+c种A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从A地到B地4分步计数原理（亦称乘法原理）做一件事，需要分成n个步骤，做第一

步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种

不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法分步计数原理（亦称乘法原理）做一件事，需要分成n5那么从A地到B地的方法有a×b种从A地到B地须经由C地转车A地B地C地火车有a班次汽车有b班次那么从A地到B地的方法有a×b种从A地到B地须经由C地转车A6有何区别？(⊙o⊙?)有何区别？(⊙o⊙?)7备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法都能实现目的A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法都能实现目的8任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同A地B地C地火车有a班次汽车有b班次任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步9Example书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，取法种数有（）

A.5B.6C.10D.11

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

A.5B.6C.10D.30Example书架上层放有6本不同的数学书，下层放10排列组合排列组合11排列所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素

按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个排列排列12排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排

列数，用符号A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!此外规定0!=1排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数13Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数字组成4位位数互不相同的密码，共有多少个不同的密码？

A(9，4)=9!/5!Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数14Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数字组成位数互不相同的四位数，共有多少个不同的密码？

8×A(8，3)A(9，4)-A(8，3)Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数15组合组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元

素并成一组，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个组合组合16组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!×m!)C(n,m)=C(n,n-m)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数17Example从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会，则不同的选法有多少种？

C(4，2)×C(3，2)Example从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某18二项式定理（a+b)^n=C（n，0）a^nb^0+C（n，1）a^(n-1）b^1+……+C（n，n）a^0b^n二项式定理19二项式定理（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C（n，r）(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。二项式定理20二项式定理二项展开式的通项公式（简称通项）为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项二项式定理21二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式展开式的系数列二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式展开式的22Example(x+2)^10·(x^2-1)的展开式中x^10的系数为

2^2×C(10,2)-1=179Example(x+2)^10·(x^2-1)的展开式中x23排列组合综合例题打包法~插空法~反面法~排列组合综合例题打包法~24打包法在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素打包法在解决某几个元素要求相邻问题时，可25Example有8个不同的球，其中红球3个，黑球2个，白球3个，若将这些球排成一列，则红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的排法共有多少种？

A(3,3)×A(2,2)×A(5,5)Example有8个不同的球，其中红球3个，黑球2个，A26Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和B不能相邻，则不同的排法有多少种？C(3,1)×A(2,2)×A(3,3)+A(3,2)×A(2,2)×A(2,2)+A(3,3)×A(2,2)Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A27插空法插空法一般用于解决间隔问题（要求某些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的问题），解决此类问题，可以先将其他的元素排号，再将指定的不相邻元素插入他们的空隙及两端位置插空法插空法一般用于解决间隔问题（要求某28Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和B不能相邻，则不同的排法有多少种？A(3,3)×A(4,2)Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A29反面法含“至多”、“至少”的排列组合问题是需要分类的，有时从反面思考，能够简化运算反面法含“至多”、“至少”的排列组合问题是需30Example在一批共100件产品中，有3件次品，97件正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检3件，则抽到次品的抽法有多少种？C(100,3)-A(97,3)Example在一批共100件产品中，有3件次品，97件C31组合中的分组问题非平均分组与分配平均分组与分配部分平均分组与分配组合中的分组问题非平均分组与分配32非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师分成三组进行打分，使一组2人、一组3人、一组4人的不同分法共有多少种？C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位33非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处2人，一处3人，一处4人的不同分法有多少种？C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)×A(3,3)非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位34非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(3)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边2人，南边3人，西边4人的不同分法有多少种？C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位35非平均分组与分配总结：若n个元素分成m组，m1,m2,...,mm为各组的元素个数且各不相等，则非平均非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3)...C(mm,mm);不定向分配的分法种数M=N·A(m,m);定向的非平均分配问题与非平均分组一样非平均分组与分配总结：若n个元素分成m组，m1,m2,...36平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师平均分成三组打分，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/A(3,3)平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(9,3)37平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师平均分成三组，并分到东、西、南三个位置打分，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(9,3)38平均分组与分配总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，故要除以组数的全排列数，而第二问则直接得出了答案。也可以理解为(2)问的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数平均分组与分配总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中隐含39部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师平均分成四组打分，一组3人，其余每组2人，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/A(3,3)部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(9,40部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师分到东、南、西、北四处打分，一处3人，其余每处2人，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/A(3,3)×A(4,4)部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(41部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(3)若将9位评委老师分到四处打分，使东边3人，其余每处2人，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(42部分平均分组与分配总结：部分平均分组问题先按“非平均分组”列式后再除以等分组的阶乘；部分均匀分配问题可以遵循先分组后排列的原则部分平均分组与分配总结：部分平均分组问题先按“非平均分组”列43概率概率44相互独立事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，则称两个事件A、B相互独立相互独立事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影45二项分布用ξ表示随机试验的结果如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复实验中发生K次的概率是P(ξ=K)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)二项分布用ξ表示随机试验的结果46Example随机抛掷100次硬币，恰有50次正面朝上的概率是多少？C(100，50)×(1/2)^50×(1-1/2)^50Example随机抛掷100次硬币，恰有50次正面朝上47几何分布几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率P(ξ=K)=(1-p)^k×p几何分布几何分布（Geometricdistributio48Example随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第一次现正面的概率是多少？(1-1/2)^9×(1/2)Example随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第一次4911级15班雷寅排列组合与概率初步

11级15班雷寅排列组合与概率初步50引入：两个基本原理引入：两个基本原理51分类计数原理（亦称加法原理）

做一件事，完成它可以有n类方案，在第

一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在

第n类办法中有mn种不同的方法．那么

完成这件事共有

N＝m1十m2十…十mn种不同的方法

分类计数原理（亦称加法原理）做一件事，完成它可以有52A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从A地到B地的方法有a+b+c种A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从A地到B地53分步计数原理（亦称乘法原理）做一件事，需要分成n个步骤，做第一

步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种

不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法分步计数原理（亦称乘法原理）做一件事，需要分成n54那么从A地到B地的方法有a×b种从A地到B地须经由C地转车A地B地C地火车有a班次汽车有b班次那么从A地到B地的方法有a×b种从A地到B地须经由C地转车A55有何区别？(⊙o⊙?)有何区别？(⊙o⊙?)56备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法都能实现目的A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法都能实现目的57任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同A地B地C地火车有a班次汽车有b班次任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步58Example书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，取法种数有（）

A.5B.6C.10D.11

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

A.5B.6C.10D.30Example书架上层放有6本不同的数学书，下层放59排列组合排列组合60排列所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素

按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个排列排列61排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排

列数，用符号A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!此外规定0!=1排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数62Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数字组成4位位数互不相同的密码，共有多少个不同的密码？

A(9，4)=9!/5!Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数63Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数字组成位数互不相同的四位数，共有多少个不同的密码？

8×A(8，3)A(9，4)-A(8，3)Example有0,1,2,……，8这9个数字用这9个数64组合组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元

素并成一组，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个组合组合65组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!×m!)C(n,m)=C(n,n-m)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数66Example从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会，则不同的选法有多少种？

C(4，2)×C(3，2)Example从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某67二项式定理（a+b)^n=C（n，0）a^nb^0+C（n，1）a^(n-1）b^1+……+C（n，n）a^0b^n二项式定理68二项式定理（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C（n，r）(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。二项式定理69二项式定理二项展开式的通项公式（简称通项）为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项二项式定理70二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式展开式的系数列二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式展开式的71Example(x+2)^10·(x^2-1)的展开式中x^10的系数为

2^2×C(10,2)-1=179Example(x+2)^10·(x^2-1)的展开式中x72排列组合综合例题打包法~插空法~反面法~排列组合综合例题打包法~73打包法在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素打包法在解决某几个元素要求相邻问题时，可74Example有8个不同的球，其中红球3个，黑球2个，白球3个，若将这些球排成一列，则红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的排法共有多少种？

A(3,3)×A(2,2)×A(5,5)Example有8个不同的球，其中红球3个，黑球2个，A75Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和B不能相邻，则不同的排法有多少种？C(3,1)×A(2,2)×A(3,3)+A(3,2)×A(2,2)×A(2,2)+A(3,3)×A(2,2)Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A76插空法插空法一般用于解决间隔问题（要求某些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的问题），解决此类问题，可以先将其他的元素排号，再将指定的不相邻元素插入他们的空隙及两端位置插空法插空法一般用于解决间隔问题（要求某77Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和B不能相邻，则不同的排法有多少种？A(3,3)×A(4,2)Example若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A78反面法含“至多”、“至少”的排列组合问题是需要分类的，有时从反面思考，能够简化运算反面法含“至多”、“至少”的排列组合问题是需79Example在一批共100件产品中，有3件次品，97件正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检3件，则抽到次品的抽法有多少种？C(100,3)-A(97,3)Example在一批共100件产品中，有3件次品，97件C80组合中的分组问题非平均分组与分配平均分组与分配部分平均分组与分配组合中的分组问题非平均分组与分配81非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师分成三组进行打分，使一组2人、一组3人、一组4人的不同分法共有多少种？C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位82非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处2人，一处3人，一处4人的不同分法有多少种？C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)×A(3,3)非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位83非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(3)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边2人，南边3人，西边4人的不同分法有多少种？C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位84非平均分组与分配总结：若n个元素分成m组，m1,m2,...,mm为各组的元素个数且各不相等，则非平均非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3)...C(mm,mm);不定向分配的分法种数M=N·A(m,m);定向的非平均分配问题与非平均分组一样非平均分组与分配总结：若n个元素分成m组，m1,m2,...85平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师平均分成三组打分，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/A(3,3)平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(9,3)86平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师平均分成三组，并分到东、西、南三个位置打分，则不同分法有多少种？C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中C(9,3)87平均分组与分配总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，故要除以组数的全排列数，而第二问则直接得出了答案。也可以理解为(2)问的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数平均分组与分配总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中隐含88部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师平均分成四