导数及其应用(二)

导数及其应用(二)【知识回顾】1、函数的单调性一般地，函数 y=f(x)在某个区间（a,b）内，若f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内_________； 若f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内_________；2、极值判别法当函数f(x)在点x0及两侧有定义时，极值判断法是：如果在x0附近的左侧 f'(x)>0，右侧 f'(x)<0，那么 f(x0)是_____值；如果在x0附近的左侧 f'(x)<0，右侧 f'(x)>0，那么 f(x0)是_____值。3、求可导函数极值的步骤 :① 求导数 f'(x)；②求导数 f'(x)=0的根；③列表，用根判断f'(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值。4、函数的最大值与最小值f(x)在[a,b]上求最大值与最小值的步骤：先求f(x)在（a,b）内的极值；再将f(x)的各极值与____,_____比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。5.定积分的概念与计算bnf(x)dxlimf(i)xi（1）定义表达式：ani1（2）定积分几何意义：b(f(x)0)表示y=f(x)与____轴，直线x=____直线x=____所围成曲边梯形①f(x)dxa的面积b(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a，x=b所围成曲边梯形的面积的相反数②f(x)dxa3）定积分的性质①_____________________②___________________③_________________4）微积分基本定理（牛顿--莱布尼兹公式）_____________________________________；2．定积分的基本应用：（ 1）利用定积分计算平面图形的面积；（ 2）利用平面图形的面积计算定积分.【提能演练】第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8/小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中 ,1只有一项是最符合题目要求的 .)1、下列函数在点x0处没有切线的是()A.y3x2cosxB.yxsinxC.y1D.y12xcosxx2、函数y2x2ln2x的的单调递增区间是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,)D.(1,0)和(0,1)242223、若函数y f(x)是定义在R上的可导函数,则f(x0) 0是x0为函数y f(x)的极值点的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、下列各式中值为1的是()11x1dx111dxA.xdxB.C.1dxD.000025、若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限,则函数f(x)的图象是()6、曲线yf(x)axb在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120,则a,b的值分别为()xa1a1a1a1A.3B.3C.3D.3bbbb7、设函数y f(x)在(a,b)上的导函数为 f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为 f''(x),若在(a,b)上,f''(x) 0恒成立,则称函数函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数”已.知当m 2时,f(x) 1x31mx2x在(1,2)上是“凸函数”则.f(x)在(1,2)上 ( )2既有极大值,也有极小值B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值28,yf(x)上任一点P的切线PQ交x轴于、如图曲线Q,过P作PT垂直于x轴于T,若PTQ的面积为1,则y与2y'的关系满足()A.yy'B.yy'C.yy'2D.y2y'第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.)9、已知函数yx21的图象上一点(1,2)及邻近一点1x,2y,则y等于x______10、函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_____________曲线y1x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.yx12、已知函数f(x)ax33x26axb在x=2处取得极值9,则a2b41||x3|)dx13.(|x_________014、已知函数f(x)x3ax2bx(a,bR)的图象如图y所示,它与直线y0在原点处相切,此切线与函数图象所围Ox区域(图中阴影部分)的面积为27,则a的值为.4三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)15、(12分)求由曲线yx2,yx,及y2x围成的平面图形面积.316、(12分)已知函数 f(x) ax3 (a 1)x2 48(a 2)x b的图象关于原点成中心对称. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间及极值 .17、(14分)某厂生产产品x件的总成本c(x)12002x3(万元),已知产品单价P(万元)与产品件k,生产100件这样的产品单价为75数x满足:P250万元.x(1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式;(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大?并求最大值(精确到1万元).18、(14分)设函数f(x)x39x26xa.2(1)对于任意实数x,f(x)m恒成立求m的最大值;,(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根,求a的取值范围.19、(14分)已知函数f(x)ln(ax1)1x,x0,其中a01x(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)的最小值为 1,求a的取值范围。420、(14分)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(2)当a2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题1.D2.C3.B4.C5.A6.A7.C8.D.二、填空题9.2x10.(2,)11.313.412.－24414.－3由图知方程 f(x) 0有两个相等的实根 x1 x2 0,于是b 0,∴f(x)x2(xa),有27aax2)]dx(x4ax3aa4),∴a3.[0(x34043012又a0a0,得a3.三、解答题yx2yx215.解:由,得A(1,1),又由,得B(2,4)yxy2x所求平面图形面积为:S122)dx122)dx(2xx)dx(2xxxdx(2xx010151x211x327x2.2031616.解:(1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数,∴f(x)f(x)得ax3(a1)x248(a2)xb=ax3(a1)x248(a2)xb,于是2(a1)x22ba101,b0;0恒成立,∴0,解得ab(2)由(1)得f(x)x348x,∴f(x)3x2483(x4)(x4),令f(x)0,得x14,x24,令f(x)0,得4x4,令f(x)0,得x4或x4.∴f(x)的递减区间为[4,4],递增区间为(,4)和(4,),∴f(x)极大f(4)128,f(x)极小f(4)128.17.解:(1)由题意有502k,解得k25104,∴P25104500,100xx∴总利润L(x)x50012002x3=2x3500x1200(x0);x7575(2)由(1)得L(x)2x2250,令L(x)02502x2,25xx25令tx,得2502t4t51252555,∴t5,于是xt225,25则x25,所以当产量定为25时,总利润最大.这时L(25)416.725001200883.答:产量x定为25件时总利润L(x)最大,约为883万元.18.解:(1)f'(x)3x29x63(x1)(x2),因为x(,),f'(x)m,即3x29x(6m)0恒成立,6所以8112(6m)0,得m3,即m的最大值为344(2)因为当x1时,f'(x)0;当1x2时,f'(x)0;当x2时,f'(x)0;所以当x1时,f(x)取极大值f(1)5a;2当x2时,f(x)取极小值f(2)2a;故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)0仅有一个实根.解得a52或a.219.解:(1)f'(x)a2ax2a2,ax1(1x)2(ax1)(1x)2∵f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)0,即a12a20,解得a1.(2)f'(x)ax2a22,∵x0,a0,∴ax10.(ax1)(1x)①当a2时,在区间(0,)上，f'(x)0,∴f(x)的单调增区间为(0,).②当0a2时,由f'(x)0解得x2a,由f'(x)0解得x2a,aa∴f(x)的单调减区间为（2-a),单调增区间为（2-a，）.0，aa(3)当a2时,由(2)①知,f(x)的最小值为f(0)1;当0a2时,由(2)②知,f(x)在x2a处取得最小值f(2a)f(0)1,aa综上可知,若f(x)得最小值为1,则a的取值范围是[2,).20.解:(1)当a2时,f(x)x22lnx,当x(1,),f(x)2(x21)0,x7故函数f(x)在(1,)上是增函数;(2)f(x)2x2a0),当x[1,e],2x2a[a2,a2e2],x(x当a2时,f(x)在[1,e]上非负(仅当a2,x=时,f(x)0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]minf(1)1.∴当a2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1.(3)不等式f(x)(a2)x,可化为a(xlnx)x22x.∵x