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文档简介
导 数一.知识梳理1.导数的概念及几何意义 .2.求导的基本方法①定义法:fx=limyfxxfxxxx0②公式法:c0(c为常数);(xn)=nxn1(n∈N);(uv)=uv3.导数的应用①求曲线切线的斜率及方程;②研究函数的单调性、极值、最值;③研究函数的图象形态、性状;④导数在不等式、方程根的分布(个数)、解析几何等问题中的综合应用.二.基础训练1.(04湖北高考)函数fx ax3 x 1有极值的充要条件是 ( )A.a0B.a0C.a<0D.a02.(04江苏高考)函数fxx33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是()A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-193.(05南通示范高中联考)a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A0个根B1个根C2个根qx=-2cosx个根D3(05南通四县市联考)设函数y=f(x)在其定义域上可导,若f(x)的图象如图所示,下列判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数;②x=-1时,f(x)取得极小值;-2-112③x=1时,f(x)取得极小值;f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是1A①② B ②③ C ③④ D ②③④5.(05宿迁三模)函数f(x)=-x 3+3x2+ax+c在(-∞,1]上是单调减函数,则a的最大值是A-3B-1C1D33+ax与y=bx2+c的图象的6.(05湘.19)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(I)用t表示a,b,c;(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x) 在(-l,3)上单调递减,求 t的取值范围.三.典型例题例1.(05全国Ⅱ.21)设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(I)求f(x) 的极值;(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与x轴仅有一个交点.例2(05苏州一模)已知f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且.f(0)=f(1),设xl,x2∈[-1,1],且x1≠x2.1)求证:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|;)|<1.2)若0<x<x≤1,求证:|f(x1)-f(x2l2例3(03天津高考)已知抛物线C:yx22x:yx2a,如果直1和C2线L同时是C1和C2的切线,称L是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。①a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程。2②若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分。导数巩固练习1.(05苏,锡,常,镇一模)已知函数f(x)=2x3-1x2+m(m为常数)图象上点A2处的切线与直线x-y+3=0的夹角为450,则点A的横坐标为()A.0B.1C.0或1D.1或1662.(05南通一模)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-1,2]上是单调减函数,那么()A.有最大值15B.有最大值-15C.有最小值15D.有最小值-1522223.(04苏州一模)若函数fxx33xa在区间0,3上的最大值,最小值分别为M,N,则M-N的值为()A.2B.4C.18D.204.(04徐州一模)抛物线y=1x2+x+2与圆x2+y2=r2(r>0)的一个交点为P,且2它们在交点P处的切线互相垂直,则r的一个值是()(A)2(B)3(C)22(D)105.(05重庆高考)曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴,直线x=a所围成的三角形的面积为1,则a=63fx=3x-1x+1x6.(05江西卷(7))已知函数y=xf(x)图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)6fx=-x+0.7x-1x-2的图象大致是()4332-11-55-1-1-212-212-5-2-112-22ABCD-47.(05闽-6.20)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-l,f(-1)) 处的切线方程为 6x-y+7=0.求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.8.已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数).若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b、c的值;(II) 若f(x)在x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)上单调递增且在 x∈(x1,x2)上单调递减,又满足x2-x1>1,求证:b2>2(b+2c);在(2)的条件下,若t<x1,试比较t2+bt+c与x1的大小,并加以证明.参考答案基础训练:1.C 2.C3.B4.C5.A6.解:(I) 因为函数f(x),g(x) 的图象都过点(t,0), 所以f(t)=0 ,g(t)=0 。f(t)=0 ,即t3+at=0。因为t≠0,所以a=-t2;g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x) 在点(t,0)处有相同的切线,所以f(x)=g(x).而f(x)=3x2+a, g(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2,代入上式得b=t,,因此c=ab=-t3,故a=-t2,b=t,c=-t3。.(Ⅱ)y=f(x) -g(x)=x3-tx2-t2x+t3y=3x2-2tx-t 2=(3x+t)(x-t) .当y=(3x+t)(x-t)<0 时,函数y=f(x)-g(x) 单调递减.4由y<0,若t>0,则-t<x<t;若t<0,则t<x<-t.3 3由题意,函数y=f(x)-g(x)在(-l,3)上单调递减,则(-l,3)(-t,t)(t,-t)3或(-l,3)3所以t≥3或-t≥3.即t≤-9或t≥3.3又当-9<t<3时,函数y=f(x)-g(x)在(-l,3)上不单调递减.所以t的取值范围为(-∞,-9]∪[3,+∞)典型例题:例1.分析:历经多年的高考命题实践,对“导数”的考查已从“导数”的简单应用,如求曲线切线的斜率、研究函数的单调性、极值、最值,拓展到利用导数研究不等式、函数图象的性态、方程根的分布与个数等问题,问题(Ⅱ)即是利用导数研究函数图象性态的问题,(Ⅱ)也可等价变形为一个方程根的分布(个数)问题:“当a在什么范围内取值时,方程f(x)=0有且仅有一个根”。解:(I) f(x)=3x2-2x-1.若f(x)=0,则x=-1或1,3当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,∞)333+f(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增所以f(x)的极大值是f(-1)=5+a,极小值是f(1)=a-1.327(Ⅱ)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知x取足够大的正数时,有f(x)>0,x取足够小的负数时有f(x)<0.所以曲线,y=f(x)与x轴至少有一个交点.结合f(x)的单调性可知:当f(x)的极大值寺5+a<0,即a∈(-∞,-5)时,它的极小值也小于0,2727因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;5当f(x)的极小值a-1>0,即a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(-∞,-1)上.35所以当a∈(-∞,- )时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.例2.分析:对于一些代数不等式,人们习惯运用基本不等式和不等式的基本性质进行证明,但有时技巧性很强,增加了问题解决的难度.如果能凭借导数这个先进工具,将不等式的证明转化为求函数的最值或值域问题,那么不等式的证明就会变得简单明了.证:1)略;2)由f(O)=f(1) 知a=-1,所以f(x)=x3-x+b.设g(x)=x3-x,则g(x)=3x2-1由g(x)>0得x<-3或x>3,33所以g(x)在(0,3)上递减,在[3,1]上递增.33当x∈(0,1)时,g(x)min=g(3)=-23,且g(0)=g(1)=0,39-23≤g(x)≤0.9当0<xl<x2≤1时,有|f(x1)-f(x2)|=|g(x1)-g(x2)||g(x1)|+|g(x2)|<232=43<199例3.分析:传统的解析几何中涉及切线的问题,常规的处理办法是用“△”法来解决的,但有时计算量较大,容易出错.如果能灵活运用导数的几何意义去解决,则问题的解决往往变得简单,清楚.解:⑴yx22x的导数为y2x2曲线C1在点Px1,x122x1的切线方程是yx122x12x12xx16即y2x12xx2①1yx2a的导数y2x曲线C2在点Qx2,x22a的切线方程是yx22a2x2xx2即y2x2xx22a②如果直线L是过P和Q的公切线,则①②都是L的方程,所以x1212x2,消x2得2x122x11a0x1x2a若4421a0即a1时,解得x1122此时点P与Q重合,即当a1时,C1和C2有且仅有一条公切线为2x1。4⑵证明:由⑴可知,当 a 1时,C1和C2有两条公切线,设一条公切线2上切点为Px1,y1,Qx2,y2,其中P在C1上,Q在C2上,则有x1 x2 1 ,y1 y2 x12 2x1 x22 a x12 x1 x1 12 a 1 a ,所以线段PQ的中点为 1, 1 a ,同理,另一条公切线PQ的中点也是 1,1a,2 2 2 2所以公切线段PQ和PQ互相平分。巩固练习1.C 2.B 3.C 4 .C 5. ±1 6.c7.解:(I)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.由在M(-l,f(-1)) 处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0 .即f(-1)=l ,f(1)=6.7∴32bc6解得b=c=-3.故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.1bc21(Ⅱ)2,令=O,解得x=1-,x=l+f(x)=3x-6x-3f(x)2212当x<1-2,或x>l+2时,f(x)>0;当1-2<x<l+2时,f(x)<0.故f(x)=x3-3x2-3x+2在(一∞,1- 2)内是增函数,在(1- 2,l+ 2)内是减函数,在(1+ 2,+∞)内是增函数.8.(I)f /(x)=x2+(b-1)x+c,据题意知,1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根,∴1-b=1+3=4,c=1×3=3,即b=-3,c=3由题意知,当x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)时,f/(x)>0;当x∈(x1,x2)时,f/(x)<0.所以x、x2的两根,则x+x=1-b,xx=c.是方程x+(b-1)x+c=0112122∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=[1-(x1+x2)2]-2[1-(x1
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