高等数学第七版极限的运算法则课件

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运1一、无穷小运算法则命题两个无穷小的和还是无穷小.直观记忆：0+0=0说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理1：有限个无穷小之和仍为无穷小.同理可证：三个无穷小之和也是无穷小.用数学归纳法可证:一、无穷小运算法则命题两个无穷小的和还是无穷小.直观2直观记忆：M*0=0这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。回忆一些重要的有界函数。定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.直观记忆：M*0=0这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。34常见的有界函数4常见的有界函数45注意：也有界记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。5注意：也有界记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。56定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.注:无限个无穷小的乘积不一定是无穷小!6定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.6问:无穷大是否有类似的性质？以下命题成立？（1）两个无穷大之和也是无穷大？（2）两个无穷大的积也是无穷大？（3）无穷大与有界函数的和也是

无穷大？（4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？（5）无穷大与无穷小的乘积是什么？说不清楚，有各种可能问:无穷大是否有类似的性质？以下命题成立？（1）两个无穷大7DP45第4题DP45第4题89定理3

二.极限的四则运算法则则若9定理3二.极限的四则运算法则则若910推论1.推论2.10推论1.推论2.1011注意：极限的四则运算法则成立的条件为：参与四则运算的各项的极限都存在！定理4.

11注意：极限的四则运算法则成立的条件为：参与四则运算的各项1112极限的计算一些基本极限（已经证明或明显的）12极限的计算一些基本极限（已经证明或明显的）1213结论：设多项式则有13结论：设多项式1314解例2.14解例2.14结论：设有理分式函数则有结论：设有理分式函数15解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3先求其倒数的极限解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3先求其倒数的极16结论：结论：17解例4消去零因子法解例4消去零因子法18例5例519例5例520结论：结论：211.2.3.4练习1.2.3.4练习22练习1.解:23练习1.解:23解:x=1时分母=0,分子≠0,但因练习2.24解:x=1时分母=0,分子≠0,但因练习2.2解：

通分练习3.解：通分练习3.25解:原式练习4解:原式练习426例6解“抓大头”例6解“抓大头”27例6解例6解28例6解例6解2930为非负常数)结论：注:这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，其他项对结果毫无影响。

“抓大头”30为非负常数)结论：注:这种极限的结果只取决于分子和分母30例7解先变形再求极限.拆项相消例7解先变形再求极限.拆项相消31例8解(利用无穷小的性质)=0例8解(利用无穷小的性质)=032三、复合函数的极限运算法则定理6：三、复合函数的极限运算法则定理6：3334解:

令则∴原式=例9.

求

复合函数求导（变量代换）34解:令则∴原式=例9.求复合函数求导3435练习.

求

分母有理化解:35练习.求分母有理化解:3536练习解:原式=36练习解:原式=36内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子，时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限37

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运38一、无穷小运算法则命题两个无穷小的和还是无穷小.直观记忆：0+0=0说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理1：有限个无穷小之和仍为无穷小.同理可证：三个无穷小之和也是无穷小.用数学归纳法可证:一、无穷小运算法则命题两个无穷小的和还是无穷小.直观39直观记忆：M*0=0这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。回忆一些重要的有界函数。定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.直观记忆：M*0=0这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。4041常见的有界函数4常见的有界函数4142注意：也有界记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。5注意：也有界记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。4243定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.注:无限个无穷小的乘积不一定是无穷小!6定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.43问:无穷大是否有类似的性质？以下命题成立？（1）两个无穷大之和也是无穷大？（2）两个无穷大的积也是无穷大？（3）无穷大与有界函数的和也是

无穷大？（4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？（5）无穷大与无穷小的乘积是什么？说不清楚，有各种可能问:无穷大是否有类似的性质？以下命题成立？（1）两个无穷大44DP45第4题DP45第4题4546定理3

二.极限的四则运算法则则若9定理3二.极限的四则运算法则则若4647推论1.推论2.10推论1.推论2.4748注意：极限的四则运算法则成立的条件为：参与四则运算的各项的极限都存在！定理4.

11注意：极限的四则运算法则成立的条件为：参与四则运算的各项4849极限的计算一些基本极限（已经证明或明显的）12极限的计算一些基本极限（已经证明或明显的）4950结论：设多项式则有13结论：设多项式5051解例2.14解例2.51结论：设有理分式函数则有结论：设有理分式函数52解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3先求其倒数的极限解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例3先求其倒数的极53结论：结论：54解例4消去零因子法解例4消去零因子法55例5例556例5例557结论：结论：581.2.3.4练习1.2.3.4练习59练习1.解:60练习1.解:23解:x=1时分母=0,分子≠0,但因练习2.61解:x=1时分母=0,分子≠0,但因练习2.2解：

通分练习3.解：通分练习3.62解:原式练习4解:原式练习463例6解“抓大头”例6解“抓大头”64例6解例6解65例6解例6解6667为非负常数)结论：注:这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，其他项对结果毫无影响。

“抓大头”30为非负常数)结论：注:这种极限的结果只取决于分子和分母67例7解先变形再求极限.拆项相消例7解先变形再求极限.拆项相消68例8解(利用无穷小的性质)=0例8解(利用无穷小的性质)=069三、复合函数的极限运算法则定理6：三、复合函数的极限运算法则定理6：7071解:

令则∴原式=例9.

求

复合函数求导（变量代换）34解:令则∴原式=例9.求复合函数求导7172练习.

求

分母有理化解:35练习.求分母有理化解:7273练习解:原式=36练习解:原式=73内