柯西中值定理

§2柯西中值定理和不等式极限一柯西中值定理定理(6.5)设川)、g“)满足在区间［孔刻上连续，在⑷饥内可导广3),&‘3)不同时为零；"羊如)则至少存在一点M丘S,们使得柯西中值定理的几何意义曲线也由参数方程给出，除端点外处处有不垂直于氐轴的切线，则在上存在一点P处的切线平行于割线而.。注意曲线AB在点W)处的切线的斜率为而弦於的斜率为受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于，0)—戒境=g'3)e—时产0,类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数容易验证％3)满足罗尔定理的条件且根据罗尔定理，至少有一点面使得厌⑥=°，即由此得注2：在柯西中值定理中，取。3)=知则公式(3)可写成这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令映）=明，则观q.这恰恰是罗尔定理.注3:设加）在区间I上连续，^fO）在区间I上为常数疽@）=°，1^7.三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题：例1：设『3）在（a，b）可导，且丁3）在［a，b］上严格递增，若睥=抡），则对一切件⑷切有川）”⑷*（切。证明：记A（白JS）），，对任意的仲"，记C（"⑴），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，（有ME（履），使得广©*广分别等于AC，BC弦的斜率，但因广严格递增，所以注意到脸=儿们，移项即得/⑴V项⑴二处），好心）2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思考解题：

例2：设川）上连续，在（a,b）内有二阶导数，试证存在勇5、】使得证：上式左端作辅助函数则上式，其中3、作为函数的变形要点：若在［a，b］上连续，（a，b）内可微，则在［a，b］上=M介于工与曲之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3设了3）在［°，心）上可导，m=0,并设有实数A>0，使得"⑴I二二5证明：顷胡在［0，京］上连续，故存在疽°京］使得maxISSm于是M=m』=m+md)*gwAgH5知』W

1z-1z故M=0,「3)在［0,侦］上恒为0。用数学归纳法，可证在一切［京'五i］(i=1,2,…)上恒有了⑴=0,了⑴=0,所以了")=0,寸居0,+oa)利用柯西中值定理研究函数的某些特性1.证明中值点的存在性:例1例1设函数/在区间［"］上连续,(彖)证在Cauchy中值定理中取昌3)=恒工例2设函数『在区间［"由上连续,例2设函数『在区间［"由上连续,内可导,且有试证明：母3m6而=。2.证明恒等式:7Tardgx+arcctgx=—证明：对寸拦R,有2证明设函数了和g可导且加3,又证明设函数了和g可导且加3,又)g(x)=cf(x)设对R,有\f(x+h)-f(x)\<Mh2,其中财是正常数.则函数/⑴是常值函数.(证明则函数/⑴是常值函数.(证明广=°).3.证明不等式:例6证明不等式:0时，1+破.—<ln(1+1)<-例7证明不等式：对据，有"1株«.证明方程根的存在性：证明方程smx+xcosx=0在皿R内有实根.例8证明方程+W+2cx=a+i+c在(。，1)内有实根.四、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。1°拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2°构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。不定式的极限

0型:定理6.6（^'Hospital法则）若函数了3）和昌3）满足:定理lim/(x)=limg(x)=0(ii)在点的某空心邻域内而这可导，且g’w部(iii)(ii)在点的某空心邻域内而这可导，且g’w部(iii)lim^^-=A

grW3可为实数，也可为00）lim^-=Ax*gW（证）注意：若将定理中的X注意：若将定理中的X换成xf.*,I垃,L，只要相应地求证条件（ii）中的邻域，也可以得到同样的结论。r1+COSXhm——作代换£=q或利用等价无穷小代换直接计算.)x2sin—lim玉^’Hospital法则失效的例）I"^’Hospital法则失效的例）二.型不定式极限:定理6.7(^’Hospital法则)若函数和巨⑴满足:lim/(x)=limg(x)=oo(ii)在点曲的某右邻域内二这可导，且gm；lim^^-=A(H(iii)1忒§(#可为实数，也可为0°)lim=H则i共⑴lim—?(or>0)例55若.lim乌例"Lm…时的阶.x=5:0.1:50;y1=log(x);y2=x.”(1/2);plot(x,y1,，b，,x,y2,，m，)右图看出L高于旋Xclf,x=1:0.1:5;y1=exp(x);y2=x.”2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m,)右图看出迎高于严注意15寸3)不存在，并不能说明1苛爪对不存在(为什么？)注意2不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件..X+SHIXliiii例求极限X.(^’Hospital法则失效的例)三.其他待定型：。・咛俨，『3.前四个是幕指型的.limxlnx.