数学第二册(下)课件

五年制高等职业教育教材《数学》编写组编数学第二册（下）五年制高等职业教育教材数学第二册（下）目录第十六章不定积分第十七章定积分第十八章

多元函数微积分简介第十九章

级

数目录第十六章不定积分第十七章定积分第十八章多元函数微积第十六章不定积分§16-1

不定积分的概念§16-2

积分的基本公式和法则§16-3

换元积分法§16-4分部积分法§16-5

简易积分表及其应用第十六章不定积分§16-1不定积分的概念§16-2§16-1

不定积分的概念一、原函数定义

从设函数F(x)与f(x)定义在同一区间内,并且对该区间内的任一点,都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为函数f(x)在该区间内的原函数.

定理1(原函数族定理)

如果函数f(x)在某区间内有一个原函数F(x),那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数的全体由形如F(x)+C的函数所组成(其中C是任意常数).§16-1不定积分的概念一、原函数定义从设函数F(x)定理2(原函数存在定理)

如果函数f(x)在某一区间内连续,则函数f(x)在该区间内的原函数必定存在.例如,因为f(x)=2x在区间(-∞,+∞)内连续,所以它在这个区间内存在原函数x2+C(C为任意常数).定理2(原函数存在定理)如果函数f(x)在某一区间内连续,§16-1

不定积分的概念二、不定积分定义

从设函数若F(x)是f(x)在某区间内的一个原函数,那么表达式F(x)+C

(C为任意常数)称为f(x)在该区间内的不定积分,记作∫f(x)dx,

即∫f(x)dx=F(x)+C.其中“∫”叫做积分号,f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量.§16-1不定积分的概念二、不定积分定义从设函数若F(

从不定积分的概念可知,“求不定积分”和“求导数”或“求微分”互为逆运算

从不定积分的概念可知,“求不定积分”和“求导数”

§16-1

不定积分的概念二、不定积分的几何意义

积分曲线族中每一条曲线上具有相同的横坐标的点处的切线互相平行.§16-1不定积分的概念二、不定积分的几何意义

例2

求经过点(1,3),且其切线的斜率为2x的曲线方程.解设所求曲线方程为y=f(x),由f'(x)=2x,得y=f(x)=∫2xdx=x2+C,将x=1,y=3代入上式,得C=2,所以所求的曲线方程为y=x2+2.例2求经过点(1,3),且其切线的斜率为2x的曲线方程.解§16-2

积分的基本公式和法则二、积分的基本公式k

x

C(k是常数)，arctanx

C

，arcsinx

C

，ln|x|C，§16-2积分的基本公式和法则二、积分的基本公式kxsinx

C

，cosx

C

，sinxC，cosxC，

例2

例1例2例1§16-2

积分的基本公式和法则二、积分的基本运算法则∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

§16-2积分的基本公式和法则二、积分的基本运算法则∫[

§16-3

换元积分法一、第一类换元积分法

一般地,若不定积分的被积表达式能写成f[φ(x)]φ'(x)dx=f[φ(x)]dφ(x)的形式,令φ(x)=u,当积分∫f(u)du可求时,设F(u)是f(u)的一个原函数,则∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C.

通常把这样的积分方法称为第一类换元积分法.§16-3换元积分法一、第一类换元积分法一般地,

§16-3

换元积分法二、第二类换元积分法

设x=φ(t)单调且可导(φ'(t)≠0),其反函数为t=φ-1(x),F'(t)=f[φ(t)]φ'(t),则∫f(x)dx=F[φ-1(x)]+C.通常把这样的积分法称为第二类换元积分法.

§16-3换元积分法二、第二类换元积分法

§16-4

分部积分法二、第二类换元积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)有连续导数.乘积的微分法则为d(uv)=udv+vdu,移项,得udv=d(uv)-vdu.对上式两边求不定积分,得∫udv=uv-∫vdu.上式称为分部积分公式.解选取u=x,dv=exdx=d(ex),则

∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+C=ex(x-1)+C.例1求∫xexdx.§16-4分部积分法二、第二类换元积分法解选取u=x,dv=cosxdx=d(sinx),则

∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx

=xsinx+cosx+C.解

∫lnxdx=xlnx-∫xd(lnx) =xlnx-∫dx=xlnx-x+C =x(lnx-1)+C.例2求∫xcosxdx.例3求∫lnxdx.解选取u=x,dv=cosxdx=d(sinx),则解∫

例4求∫xarctanxdx.例5求∫arcsinxdx.

例4求∫xarctanxdx.例5求∫arcsinx

例7求∫exsinxdx.

例7求∫exsinxdx.§16-5

简单积分表及其应用

为了便于使用,人们已将一些函数的不定积分汇编成表,这种表叫积分表.本书后面附录列出的简易积分表是按照被积函数的类型编排的,其中包括一些常用的积分公式,下面举例说明表的查法.

§16-5简单积分表及其应用为了便于使用

例5查表求∫sin4xdx.

例5查表求∫sin4xdx.第十七章定积分§17-1

定积分的概念§17-2

定积分的性质§17-3

牛顿

莱布尼兹公式§17-4

定积分的换元法与分部积分法§17-5

定积分在几何上的应用§17-6

定积分在物理上的应用§17-7

积分区间为无限的广义积分第十七章定积分§17-1定积分的概念§17-2定积1、曲边梯形的面积§17-1定积分的概念一、两个实例

1、曲边梯形的面积§17-1定积分的概念一、两个实例

设y=f(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0,求以曲线y=f(x)为曲边,以[a,b]为底边的曲边梯形的面积A.

为了计算A,用一组垂直于x轴的直线段把整个曲边梯形分割成许多小曲边梯形.因为f(x)是连续变化的,可用小曲边梯形的底边作为宽,以它底边上任意一点所对应的函数值f(x)作为长的小矩形面积来近似代替这个小曲边梯形的面积.再把所有这些小矩形面积加起来,就可以得到曲边梯形的面积A的近似值.设y=f(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0,求以

根据上面的分析,曲边梯形面积可按下述“分割取近似,求和取极限”的步骤来计算:(1)细分

在区间[a,b]中任取若干分点:a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b,把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…,[xn-1,xn].小区间[xi-1,xi]的长度记为Δxi=xi-xi-1

(i=1,2,3,…,n).过各分点作垂直于x轴的直线段,把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记为ΔAi(i=1,2,…,n).根据上面的分析,曲边梯形面积可按下述“分割取近似,求和(2)取近似

在第i个小曲边梯形的底[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),它所对应的函数值是f(ξi).用相应的宽为Δxi、长为f(ξi)的小矩形面积来近似代替这个小曲边梯形的面积,即ΔAi≈f(ξi)Δxi.

(2)取近似

2.变速直线运动的路程

设一物体做变速直线运动,已知速度v=v(t)是时间区间[a,b]上t的连续函数,且v(t)≥0,求该物体在由a到b这段时间内所经过的路程s.

速度函数v=v(t)是连续变化的,所以在很短的一段时间内速度的变化很小,近似于等速.因此,若把时间间隔分得很小,那么在一小段时间内,就可以用匀速直线运动的路程作为这一小段时间内变速直线运动路程的近似值.因此,我们可采用与求曲边梯形面积相仿的四个步骤来计算路程s.2.变速直线运动的路程设一物体做变速直线运动,已知速(1)细分

任取区间[a,b]内n-1个分点:a=t0<t1<t2<…<ti-1<ti<…<tn-1<tn=b,这些分点把时间区间[a,b]分成n个小区间:[t0,t1],[t1,t2],…,[ti-1,ti],…,[tn-1,tn].小区间[ti-1,ti]的长度记为Δti=ti-ti-1

(i=1,2,…,n).(2)取近似

在小区间[ti-1,ti]上,用其中任一时刻ξi的速度v(ξi)(ti-1≤ξi≤ti)来近似代替小区间[ti-1,ti]上各个时刻的速度,从而得到Δsi的近似值:Δsi≈v(ξi)Δti.(1)细分(2)取近似

二、定积分的定义

§17-1定积分的概念二、定积分的定义

§17-1定积分的概念

其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a与b分别叫做积分的下限和上限,[a,b]叫做积分区间.

其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达

§17-1定积分的概念二、定积分的几何意义

§17-1定积分的概念二、定积分的几何意义

例1用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积.

例1用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积.

§17-2定积分的性质

假设函数在所讨论的闭区间上都是连续的.§17-2定积分的性质

假设函数在所讨论的闭区间上都是

这就是说,如果将积分区间分成两部分,则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和.

这就是说,如果将积分区间分成两部分,则在整个区间

总之,不论c点在[a,b]内还是在[a,b]外,只要上述两个积分存在,性质4总是正确总之,不论c点在[a,b]内还是在[a,b]外,只要

在[a,b]上至少能找到一点ξ,使以f(ξ)为高,[a,b]为底的矩形面积等于曲边梯形abNM的面积.

在[a,b]上至少能找到一点ξ,使以f(ξ)为高,[§17-3

牛顿-莱布尼兹公式一、积分上限函数

函数Φ(x)称为定义在区间[a,b]上的积分上限函数.§17-3牛顿-莱布尼兹公式一、积分上限函数

函数Φ(x

§17-3

牛顿-莱布尼兹公式二、牛顿-莱布尼兹公式公

§17-3牛顿-莱布尼兹公式二、牛顿-莱布尼兹公式公

§17-4

定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法公

§17-4定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法公

§17-4

定积分的换元法与分部积分法二、定积分的分部积分法公

§17-4定积分的换元法与分部积分法二、定积分的分部积分

例7求由曲线y=arctanx与直线x=0,x=1及y=0所围成的图形的面积.

例7求由曲线y=arctanx与直线x=0,x=1及y

§17-5

定积分在几何上的应用一、定积分的元素法和平面图形的面积

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(x)≥0.用[x,x+dx]表示一个小区间,并取这个小区间的左端点x为ξi.这样,以点x处的函数值f(x)为长,以dx为宽的小矩形面积f(x)dx就是区间[x,x+dx]上的小曲边梯形面积ΔA的近似值.§17-5定积分在几何上的应用一、定积分的元素法和平面图

例2求由抛物线y2=2x与直线2x+y-2=0所围成的图形面积.

例2求由抛物线y2=2x与直线2x+y-2=0所围成的

§17-5

定积分在几何上的应用一、旋转体的体积旋转体是由曲边y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的.它的主要特征是垂直于曲边梯形底边的平面截旋转体所得的截面都是圆.§17-5定积分在几何上的应用一、旋转体的体积旋转体是由

解设圆锥的旋转轴重合于x轴,即圆锥是由直角三角形ABO绕OB旋转而成,直线OA的方程为(1)取积分变量为x,积分区间为[0,h].

解设圆锥的旋转轴重合于x轴,即圆锥是由直角三角形ABO绕

例4求圆x2+y2=R2绕y轴旋转所形成的球的体积.解球是关于x轴对称的,故可先求上半球的体积.上半球是由曲边三角形

例4求圆x2+y2=R2绕y轴旋转所形成的球的体积.解

(1)取积分变量为y,积分区间为[0,R].

(1)取积分变量为y,积分区间为[0,R].

例5求由曲线y2=x,x2=y所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积

例5求由曲线y2=x,x2=y所围成的图形绕x轴旋转而

(2)在区间[0,1]上任取一小区间[x,x+dx],与它对应的薄片体积近似于πxdx-πx4dx,即dV=π(x-x4)dx.

(2)在区间[0,1]上任取一小区间[x,x+dx],与它§17-6

定积分在物理上的应用一、变力做功公例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到r=b(a<b)处时,计算电场力F对它所做的功.§17-6定积分在物理上的应用一、变力做功公例1把一个

解(1)取积分变量为r,积分区间为[a,b].

解(1)取积分变量为r,积分区间为[a,b].

§17-6

定积分在物理上的应用二、液体的压力公例3设有一竖直的闸门,形状是等腰梯形,它的某些尺寸如图所示.当水面齐闸门顶时,求闸门所受的水压力.§17-6定积分在物理上的应用二、液体的压力公例3设有解(1)建立直角坐标系,如图所示.取积分变量为x,积分区间为[0,6].

解(1)建立直角坐标系,如图所示.取积分变量为x,积分区

§17-7

积分区间为无限的广义积分先看下面的例子

§17-7积分区间为无限的广义积分先看下面的例子

第十八章多元函数微积分简介§18-1

空间直角坐标系§18-2

向量的坐标表示§18-3

向量的数量积和向量积§18-4

曲面和曲线§18-7

多元函数的极值§18-5

多元函数的极限与连续§18-6

偏导数§18-8

二重积分第十八章多元函数微积分简介§18-1空间直角坐标系§§18-1

空间直角坐标系一、空间直角坐标系的概念

在空间取三条相互垂直且相交于O点的数轴构成空间直角坐标系.这三条数轴按右手系依次称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),三条轴统称为坐标轴,点O称为坐标原点.§18-1空间直角坐标系一、空间直角坐标系的概念

任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面.空间直角坐标系共有xOy、yOz、zOx三个坐标面,这三个坐标面相互垂直且相交于原点O.它们把空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限.

空间中的点M与三元有序数组(x,y,z)之间具有一一对应关系.(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(或称为x坐标、y坐标、z坐标).任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面.空间直角坐标系

八个卦限里以及原点、坐标轴、坐标面上点的坐标的特征列表如下。卦限坐标符号特殊点坐标一(+,+,+)原点(0,0,0)或x=y=z=0二(-,+,+)x轴上的点(x,0,0)或y=z=0三(-,-,+)y轴上的点(0,y,0)或x=z=0四(+,-,+)z轴上的点(0,0,z)或x=y=0五(+,+,-)xOy面上的点(x,y,0)或z=0六(-,+,-)yOz面上的点(0,y,z)或x=0七(-,-,-)zOx面上的点(x,0,z)或y=0八(+,-,-)

八个卦限里以及原点、坐标轴、坐标面上点的坐标的特征列例1指出下列各点所在的卦限:(2,-1,-4),(-1,-3,1),(2,1,-1).解点(2,-1,-4)在第八卦限,点(-1,-3,1)在第三卦限,点(2,1,-1)在第五卦限.例1指出下列各点所在的卦限:(2,-1,-4),(-1,-例2在空间直角坐标系中作出点(2,-1,3)、(-1,2,-1)、(2,0,2).

例2在空间直角坐标系中作出点(2,-1,3)、(-1,2,§18-1

空间直角坐标系二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)是空间两点,

称为空间两点间的距离公式.例3求点M(x,y,z)到三条坐标轴的距离.§18-1空间直角坐标系二、空间两点间的距离设M1(x1

例5在y轴上求与点A(1,-3,7)和B(5,7,-5)等距离的点.

例5在y轴上求与点A(1,-3,7)和B(5,7,-5)§18-2

向量的坐标表示一、向量的坐标表示

§18-2向量的坐标表示一、向量的坐标表示

以原点为起点的向量与三元有序数组(x,y,z)是一一对应的.因此,把x,y,z称为向量a的坐标,并记作{x,y,z},即a={x,y,z}.称为向量a的坐标表示式.以原点为起点的向量与三元有序数组(x,y,z)是一一

特别地,0,i,j,k的坐标表示式分别为

0={0,0,0},i={1,0,0},j={0,1,0},k={0,0,1}.

特别地,0,i,j,k的坐标表示式分别为0§18-2

向量的坐标表示二、向量的加、减及数乘运算的坐标表示

§18-2向量的坐标表示二、向量的加、减及数乘运算的坐标设向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则

a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k={ax+bx,ay+by,az+bz},

a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k={ax-bx,ay-by,az-bz},

λa=λaxi+λayj+λazk={λax,λay,λaz}

(λ为实数).例1设向量a=3i-j+2k,b=-2i-2j+k,用基本单位向量的分解式表示a+b,a-b,-3a.设向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk解a+b=(3i-j+2k)+(-2i-2j+k)=(3-2)i+(-1-2)j+(2+1)k=i-3j+3k.a-b=(3i-j+2k)-(-2i-2j+k)=[3-(-2)]i+[-1-(-2)]j+(2-1)k=5i+j+k.

-3a=-3(3i-j+2k)=-9i+3j-6k.解a+b=(3i-j+2k)+(-2i-2j+k)a-b=§18-2

向量的坐标表示三、向量的模和方向余弦的坐标表示

§18-2向量的坐标表示三、向量的模和方向余弦的坐标表示

§18-3

向量的数量积和向量积一、两向量的数量积

§18-3向量的数量积和向量积一、两向量的数量积

定理两向量a、b垂直的充要条件是a·b=0.

设向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,由向量数量积的运算性质得

a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=axbx(i·i)+axby(i·j)+axbz(i·k)+

aybx(j·i)+ayby(j·j)+aybz(j·k)+

azbx(k·i)+azby(k·j)+azbz(k·k),所以a·b=axbx+ayby+azbz.称为向量的数量积的坐标表示式.定理两向量a、b垂直的充要条件是a·b=0.设向量

例1已知向量a={11,10,2},b={4,0,3},求:(1)a·b;(2)a与b的夹角.解(1)根据向量数量积的坐标表示式得a·b=axbx+ayby+azbz=11×4+10×0+2×3=50.

例1已知向量a={11,10,2},b={4,0,3}§18-3

向量的数量积和向量积二、两向量的向量积

§18-3向量的数量积和向量积二、两向量的向量积

两向量的向量积有以下运算性质:(1)a×a=0;(2)a×0=0;(3)b×a=-a×b;(4)结合律(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

(λ为实数);(5)分配律(a+b)×c=a×c+b×c.定理两向量a、b平行的充要条件是a×b=0.两向量的向量积有以下运算性质:定理两向量a、b平行的充要条

设向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,由向量积的运算性质得

a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)=axbx(i×i)+axby(i×j)+axbz(i×k)+

aybx(j×i)+ayby(j×j)+aybz(j×k)+

azbx(k×i)+azby(k×j)+azbz(k×k)=(aybz-azby)i-(axbz-azbx)j+(axby-aybx)k.

设向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj

例2已知向量a={2,1,-1},b={1,-1,2},求a×b以及以a、b为边的平行四边形的面积.

例2已知向量a={2,1,-1},b={1,-1,2}

例3设向量a=i+j,b=k,求同时垂直于a、b的单位向量.

例3设向量a=i+j,b=k,求同时垂直于a、b的单位向§18-4

曲面和曲线一、曲面与方程

在空间解析几何中,可将曲面视为动点的运动轨迹.如果曲面Σ与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)曲面Σ上任意一点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在曲线Σ上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,则称方程F(x,y,z)=0是曲面Σ的方程,而称曲面Σ是方程F(x,y,z)=0的图形.§18-4曲面和曲线一、曲面与方程在空间解析几何中关于曲面与方程,讨论如下两类问题.(1)已知曲面,建立该曲面的方程

大致有以下几个步骤:首先建立适当的空间直角坐标系;其次设曲面上的动点为P(x,y,z),根据已知条件建立含有x,y,z的等式;最后把此等式化简,即得所求的曲面方程.例1一动点P(x,y,z)与两定点A(1,1,0)、B(2,0,1)等距离,求动点P的轨迹方程.解动点为P(x,y,z),依题意有|AP|=|BP|,利用两点间的距离公式得关于曲面与方程,讨论如下两类问题.(1)已知曲面,建立该曲将上式两端平方后化简得2x-2y+2z-3=0,此方程即为所求动点P的轨迹方程.

动点P的轨迹是线段AB的垂直平分面,因此所求方程也是线段AB的垂直平分面方程.

将上式两端平方后化简得2x-2y+2z-3=0,此方程即为所§18-4

曲面和曲线二、几种常用的曲面1.平面(1)平面的点法式方程

过空间一点作与已知直线垂直的平面是唯一的.因此,如果已知平面上一个点及垂直于该平面的一个非零向量,那么这个平面的位置由这个已知点和这个非零向量完全确定.§18-4曲面和曲线二、几种常用的曲面1.平面(1)垂直于平面的任一非零向量称为这个平面的法向量.

这个方程称为平面的点法式方程.垂直于平面的任一非零向量称为这个平面的法向量.

这个方程称为(2)平面的一般式方程

将平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展开,得Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0,记-(Ax0+By0+Cz0)=D,得Ax+By+Cz+D=0

(A,B,C不全为零).这个方程称为平面的一般式方程.

平面的方程为一个三元一次方程;反之,任何一个三元一次方程均表示一个平面.(2)平面的一般式方程将平面的点法式方程A(x-x0

特别地,当一般式方程中某些系数或常数项为零时,平面对于坐标系具有特殊的位置关系.（1）通过原点的平面方程为Ax+By+Cz=0

(D=0).（2）坐标面的方程为（3）平行于坐标面的平面的方程为x=a

(平行于yOz面),y=b

(平行于zOx面),z=c

(平行于xOy面).x=0

(yOz面),y=0

(zOx面),z=0

(xOy面).特别地,当一般式方程中某些系数或常数项为零时,平面对于（4）平行于坐标轴的平面的方程为Ax+By+D=0

(不含z,平行于z轴),Ax+Cz+D=0

(不含y,平行于y轴),By+Cz+D=0

(不含x,平行于x轴).例3设一平面经过点(3,-4,5),且与向量n={6,-4,7}垂直,求此平面的方程.解由平面的点法式方程得所求平面的方程为6(x-3)-4(y+4)+7(z-5)=0,即6x-4y+7z-69=0.例4求过三点M1(1,1,1)、M2(2,0,1)、M3(-1,-1,0)的平面方程.（4）平行于坐标轴的平面的方程为Ax+By+D=0(不含z

(3)平面的截距式方程

(3)平面的截距式方程

这个方程称为平面的截距式方程.其中a,b,c分别称为平面在x轴、y轴、z轴上的截距.(4)点到平面的距离

这个公式称为点到平面的距离公式.这个方程称为平面的截距式方程.其中a,b,c分别称为例5求两个平行平面19x-4y+8z+21=0与19x-4y+8z+42=0之间的距离.解因为这两个平面平行,所以只需求出一个平面上的任意一点到另一平面的距离即可.设点M0(x0,y0,z0)为平面19x-4y+8z+21=0上的一点,则有19x0-4y0+8z0=-21.

例5求两个平行平面19x-4y+8z+21=0与19x-42.二次曲面

由一个三元二次方程表示的曲面称为二次曲面.(1)球面

与一定点的距离为定长的空间点的轨迹叫做球面.这个定点叫做这个球面的球心,定长叫做这个球面的半径.

2.二次曲面由一个三元二次方程表示的曲面称为二次曲面特别地,球心在原点O(0,0,0)、半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2.

一般地,方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0称为球面的一般方程.(2)柱面

一动直线L沿已知曲线C移动,且始终与某一条定直线平行,这样形成的曲面称为柱面.其中L称为柱面的母线,C称为柱面的准线.特别地,球心在原点O(0,0,0)、半径为R的球面方程为

设准线是xOy面内的曲线,即C:F(x,y)=0,则准线为曲线C、母线为L平行于z轴的柱面方程为F(x,y)=0

(不含z).

准线是二次曲线的柱面称为二次柱面.常见的二次柱面有以下几种.

设准线是xOy面内的曲线,即准线是二次曲线的

③抛物柱面:y2=2px

(p>0).

柱面方程也可以是F(y,z)=0(不含x,母线平行于x轴)或F(x,z)=0(不含y,母线平行于y轴).

③抛物柱面:y2=2px(p>0).柱面方程(3)旋转曲面

一条平面曲线C绕其平面上的一条定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.曲线C称为旋转曲面的母线,定直线L称为旋转曲面的旋转轴.球面、圆柱面都是旋转曲面.

(3)旋转曲面一条平面曲线C绕其平面上的一条定直线

以坐标面上的曲线为母线,以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程的一般求法:已知某坐标面上的曲线C绕某坐标轴旋转,为了求此旋转曲面的方程,只要使曲线方程中与旋转轴同名的坐标变量保持不变,而以其他两个坐标变量平方和的平方根来代替方程中的另一个坐标变量.例6求yOz面上的抛物线z=ay2绕z轴旋转所得的旋转曲面方程.

以坐标面上的曲线为母线,以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方例7求yOz面内的抛物线z=6-y2绕z轴旋转所成的旋转曲面方程.

例7求yOz面内的抛物线z=6-y2绕z轴旋转所成的旋转曲

§18-4

曲面和曲线三、空间曲线1.空间曲线的一般方程

§18-4曲面和曲线三、空间曲线1.空间曲线的一般方程

解方程x2+y2+z2=16表示以原点为球心、以4为半径的球面;y=3表示平行于zOx面的平面,方程组

解方程x2+y2+z2=16表示以原点为球心、以4为半

2.空间曲线在坐标面上的投影

以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面,称为空间曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面与xOy面的交线C'称为C在xOy面上的投影曲线,简称投影.

2.空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C为准线、

这个方程称为空间曲线C关于xOy面的投影柱面方程.

从曲线C的方程中分别消去x和y,可分别求得曲线C关于yOz面和zOx面的投影柱面方程R(y,z)=0和T(z,x)=0.

这个方程称为空间曲线C关于xOy面的投影柱面方程.

§18-5

多元函数的极限与连续一、多元函数的概念定义设在某个变化过程中有三个变量x、y、z,如果对于变量x、y在其允许的实数范围内所取的每一组值(x,y),按照某种对应法则,变量z总有确定的实数与之对应,则称z是x、y的二元函数,记作z=f(x,y).其中x、y称为自变量,z称为因变量.自变量x、y所允许的取值范围称为函数的定义域.

二元函数在点P0(x0,y0)所取得的函数值记作f(x0,y0)或f(P0)§18-5多元函数的极限与连续一、多元函数的概念定义设

类似地可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.一般地,可以定义n个自变量的函数u=f(x1,x2,…,xn).n个自变量的函数称为n元函数.自变量的个数大于或等于2的函数统称为多元函数.

在讨论二元函数z=f(x,y)的定义域时,如果函数是由实际问题得到的,其定义域根据它的实际意义来确定;对于用解析式表示的二元函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.二元函数z=f(x,y)的定义域一般是xOy面上的平面区域.如果区域延伸到无限远处,就称这样的区域是无界的;否则,它总可以被包围在一个以原点O为中心而半径适当大的圆内,这样的区域称为有界的.围成平面区域的曲线称为该区域的边界.包含边界的区域为闭区域,不包括边界的区域为开区域.类似地可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以

解(1)要使函数有意义,x,y必须满足R2-x2-y2≥0,所以函数的定义域是x2+y2≤R2.满足x2+y2≤R2的全体(x,y)构成xOy面上的有界闭区域:{(x,y)|x2+y2≤R2}.

解(1)要使函数有意义,x,y必须满足R2-x2-y2

(3)函数的定义域是-1≤x+y≤1.这是xOy面上介于两条直线x+y=-1、x+y=1之间(包含这两条直线)的一个无界闭区域:{(x,y)|-1≤x+y≤1}.

(3)函数的定义域是-1≤x+y≤1.这是xOy面上介于§18-5

多元函数的极限与连续二、二元函数的几何表示

设二元函数z=f(x,y)的定义域是xOy面上的区域D.对于D内的每一点P(x,y),把它所对应的函数值z=f(x,y)作为竖坐标,就有空间中的一点M(x,y,z)相对应.当P(x,y)在D内变动时,点M(x,y,z)就在空间变动,点M的轨迹就是二元函数z=f(x,y)的图形.一般说来,它是一个曲面,该曲面在xOy面上的投影即为函数的定义域D.

§18-5多元函数的极限与连续二、二元函数的几何表示§18-5

多元函数的极限与连续三、二元函数的极限

§18-5多元函数的极限与连续三、二元函数的极限

说明1.定义中要求存在某个邻域,使函数在该邻域内除点P0外的所有点上都有定义,但事实上,只要在点P0的任意邻域内都有函数定义域中的点即可.

说明1.定义中要求存在某个邻域,使函数在该邻域内除点P0外

§18-5

多元函数的极限与连续四、二元函数的连续性

如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点处都连续,则称函数z=f(x,y)在区域D内连续.§18-5多元函数的极限与连续四、二元函数的连续性

设函数z=f(x,y)在区域D内及其边界上有定义,当点P(x,y)从D内趋近于边界点P0(x0,y0)时,如果f(x,y)的极限存在且等于f(x0,y0),则称函数z=f(x,y)在边界点P0(x0,y0)处连续.如果在区域D的边界上每一点处都具有上述意义的连续,则称函数z=f(x,y)在区域D的边界上连续.

如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都连续,且在D的边界上每一点也连续,则称函数z=f(x,y)在闭区域D上连续.

二元连续函数的图形是一个没有任何空隙和裂缝的曲面设函数z=f(x,y)在区域D内及其边界上有定义,当

使二元函数不连续的点称为函数的间断点.例如:

一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的.使二元函数不连续的点称为函数的间断点.例如:

在有界闭区域上的二元连续函数具有类似于闭区间上的一元连续函数的性质:性质1(最大值和最小值定理)如果二元函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,那么f(x,y)在D上必能取得最大值和最小值.性质2(介值定理)若二元函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则函数f(x,y)在D上必能取到介于它的最小值与最大值之间的任何数值.在有界闭区域上的二元连续函数具有类似于闭区间上的一元§18-6

偏导数一、二元函数的偏导数定义

设二元函数

z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)

处及其附近有定义,当自变量

y保持

y0

不变,而

x

在x0

处有改变量

x时

,

函数有相应增量f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

).如果极限

lim f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)

存在,

x0x则称此极限值为函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处关于

x

的偏导数,记作fx(

x0

,

y0

)或x或f

(

x0

,

y0

) zx0y

y0x

x或z0y

y0xx

x§18-6偏导数一、二元函数的偏导数定义设二元函数z即fx(

x0

,

y0

)

limf

(

x0

x

,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)x0x.类似地,函数

z

f

(

x,

y)

在点

(

x0

,

y0

)

处关于

y的偏导数为

lim f

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)

,记作

y0y

fy(

x0

,

y0

)或y或0y

y0x

xzy或zy

,0y

y0x

xf

(

x0

,

y0

)即fy(

x0

,

y0

)

limf

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)y0y.即fx(x0,y0)limf(x0如果函数

z

f

(

x,

y)

在区域

D

内的每一点(

x,

y)

处关于

x

的偏导数都存在,这个偏导数仍是

x,

y

的二元函数,称其为函数

z

f

(

x,

y)

关于

x

的偏导函数,简称偏导数,记作fx

(

x

,

y)或z fx x或 或zx

.类似地,可以定义函数

z

f

(

x,

y)

关于

y

的偏导函数,记作fy

(

x

,

y)或z fy y或 或zy

.如果函数z f(x,y)在区域D内的每一点fy

(

x0

,

y0

)=

fy

(

x

,

y)

x

x

0y

y0说明：推广[n元函数的偏导数]例如：三元函数uf(x,y,z)，有三个偏导数，分别记为ux,uy和uz.偏导数的求法：fx(

x0

,

y0

)

fx(

x,

y)

(

x

,

y

)0 0求多元函数对某个变量的偏导数时,将其余变量视为常量.fy(x0,y0)=fy(x,y)

将

y视为常量对

x

求偏导数,得解：

将

x

视为常量对

y求偏导数,得

将y视为常量对x求偏导数,得解：将x视为常量对例

2

设z

yx

,试证

y

z

1z

2z.x

y ln

y

x证：

将

y视为常量对

x

求偏导数,z

yx

ln

y,x将

x

视为常量对

y求偏导数,z

xyx1,y于是z

y

xyx1

y

z

11yx

ln

y

x

y ln

y

x xln

y

2

yx

2z例2设zyx,试证yz1z 2z例3

设ux2

y2

z2,试证根据函数ux2

y2

z2的自对称性,有(

u

)2

(

u

)2

(

u

)2

1.x y z证

:所以2 22(

u

)2

(

u

)2

(

u

)2

xx2

y2

z2

1.y

zx

y

z例3设ux2y2z2,试证根据函§18-6

偏导数二、高阶偏导数定义

设

z

f

(

x,

y)在区域

D

内具有偏导数

zx和

z

,如果它们关于

x

,

y的偏导数也存在，则y称这两个偏导数的偏导数为z

f

(

x,

y)的二阶偏导数.§18-6偏导数二、高阶偏导数定义设z f(

z

2

z2

fxx

(

x,

y)

zxx

(

x,

y),x

xx

z

2

z

f (

x,

y)

z

(

x,

y),yxyxx

yyx

z

2

z2

fyy

(

x,

y)

zyy

(

x,

y).y

yy

z

2

z

f (

x,

y)

z

(

x,

y),xyxyy

xxy

这样的二阶偏导数共有四个,分别记作 z 2z2 fxx(x,y)其中偏导数 , 称为二阶混合偏导数.

2

z

2

zxy

yx同样还可以定义三阶、四阶乃至n阶偏导数,例如:二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.其中偏导数 , 称为二阶混合偏导数.2z 2zz

y2exy,z

exy

xyexy

exy(1

xy),x y

z2

yexy

(1

xy)

e

xy

y

yx2

xexy

(1

xy)

exy

x

y2

z23 xy

z

y

e ,x2xy

2yexy

xy2exy,

z2解:例1

求z

yexy的二阶偏导数.

2

yexy

xy2exy

,

2xe

x2

yexy

.xyzy2exy,zexyx

§18-7

多元函数的极值一、二元函数的极值定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义.如果对于该邻域内所有异于点P0的点P(x,y)都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值和极小值统称为函数的极值.相应地,称点P0为极大值点(或极小值点).极大值点和极小值点统称为极值点.§18-7多元函数的极值一、二元函数的极值定义设函数z例1函数f(x,y)=x2+y2+1在点(0,0)处有极小值1.

例3函数z=xy在点(0,0)处没有极值,因为在点(0,0)的任何邻域内函数值不可能都是正值或都是负值.定理1(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处有极值,且在点P0(x0,y0)处的偏导数存在,则函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的两个偏导数必为零,即fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.例1函数f(x,y)=x2+y2+1在点(0,0)处有极小

定理1说明,只要函数z=f(x,y)的偏导数存在,那么它的极值点一定是驻点.但是,函数的驻点不一定是极值点.定理2(极值存在的充分条件)设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内具有连续的一阶、二阶偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.记fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,Δ=B2-AC,

定理1说明,只要函数z=f(x,y)的偏导数存在,(1)当Δ<0时,函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处有极值,并且若A>0,则f(x0,y0)为极小值;若A<0,则f(x0,y0)为极大值.(2)当Δ>0时,函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处没有极值.(3)当Δ=0时,函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处可能有极值,也可能没有极值.求函数z=f(x,y)极值的主要步骤归纳如下:

(1)当Δ<0时,函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)例4求函数f(x,y)=3xy-x3-y3的极值.

例4求函数f(x,y)=3xy-x3-y3的极值.

像一元函数一样,可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.一般地说,如果函数f(x,y)在闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得它的最大值和最小值.例5欲做一个容量一定的长方体箱子,问应选择怎样的尺寸,才能使做此箱子的材料最省?

像一元函数一样,可以利用函数的极值来求函数的最大值和

在实际问题中,如果函数f(x,y)在区域D内一定能取得最大值(或最小值),而f(x,y)在D内只有唯一驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在区域D上的最大值(或最小值).

在实际问题中,如果函数f(x,y)在区域D内一定能§18-7

多元函数的极值二、条件极值拉格朗日乘数法

前面所讨论的极值问题,自变量的变化是在函数的定义域范围内,除此之外没有其他附加条件的限制,因此这种极值有时又称为无条件极值.但在许多实际问题中,函数的自变量还要满足某些附加条件,这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.条件极值有以下两种求法.1.转化为无条件极值

对一些简单的条件极值问题,利用附加条件,消去函数中的某些自变量,将条件极值转化为无条件极值.§18-7多元函数的极值二、条件极值拉格朗日乘数法

2.拉格朗日乘数法

求函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的可能极值点的方法——拉格朗日乘数法,步骤如下:

2.拉格朗日乘数法求函数z=f(x,y)在条件φ(1)构造拉格朗日函数F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ是某个常数;

(1)构造拉格朗日函数

例6利用拉格朗日乘数法求解

欲做一个容量一定的长方体箱子,问应选择怎样的尺寸,才能使做此箱子的材料最省?解设箱子的长、宽、高分别为x、y、z,容量为V(常数),表面积为S,则所要解决的问题就是求函数S=2(xy+yz+xz)在条件xyz=V限制之下的最小值.构造拉格朗日函数F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-V).求出函数F(x,y,z)的三个偏导数,并令它们都为0,然后与条件方程xyz=V联立,组成方程组例6利用拉格朗日乘数法求解解设箱子的长、宽、高分别为x、

§18-8

二重积分一、二重积分的概念1.问题的提出(1)曲顶柱体的体积

设有一个立体,它的底是xOy面上的有界闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y)≥0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.§18-8二重积分一、二重积分的概念1.问题的提出(1

求曲顶柱体的体积可以像求曲边梯形的面积那样采用“分割取近似,求和取极限”的方法来解决.步骤如下:①用有限条曲线将区域D分割为n个小区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,同时用上述记号表示各小区域的面积,相应地把曲顶柱体分为n个以Δσi为底面、母线平行于z轴的小曲顶柱体,其体积记为ΔVi(i=1,2,…,n).②在每个小区域Δσi上任取一点M(xi,yi),可得高为f(xi,yi)、底为Δσi的小平顶柱体,并用这个小平顶柱体的体积作为第i个小曲顶柱体体积的近似值,即ΔVi≈f(xi,yi)Δσi

(i=1,2,…,n).求曲顶柱体的体积可以像求曲边梯形的面积那样采用“分割

2.二重积分的定义

2.二重积分的定义

定理(二重积分存在定理)若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则函数f(x,y)在D上可积.

定理(二重积分存在定理)若函数f(x,y)在有界闭区域D3.二重积分的几何意义

3.二重积分的几何意义

4.二重积分的性质

4.二重积分的性质

这个性质的几何意义表示:高为1的平顶柱体的体积,在数值上就等于柱体的底面积.

这个性质的几何意义表示:高为1的平顶柱体的体积§18-8

二重积分一、直角坐标系中二重积分的计算

§18-8二重积分一、直角坐标系中二重积分的计算

用垂直于x轴的任一平面x=x0(a≤x0≤b)去切割曲顶柱体,

用垂直于x轴的任一平面x=x0(a≤x0≤b)去切割曲

如果积分区域D的边界线(平行于x轴或y轴的直线段除外)与平行于x轴或y轴的直线的交点多于两个,则应将积分区域分为若干小区域,再利用性质3进行计算.

计算二重积分的步骤归纳如下:(1)画出积分区域D的图形,考察区域D是否需要分块;如果积分区域D的边界线(平行于x轴或y轴的直线段除外(2)选择积分次序,将区域D用不等式组表示,以确定二次积分的上、下限;(3)利用公式计算二次积分,得出积分结果.

(2)选择积分次序,将区域D用不等式组表示,以确定二次积分

D1和D2可合并成一个区域D.根据D的图形把D改写成x型区域,并用不等式组表示为

D1和D2可合并成一个区域D.根据D的图形把D改写成x型

§18-8

二重积分三、二重积分应用举例例5求两个半径相同的直交圆柱体公共部分的体积.解建立如图所示的坐标系.设两圆柱体底半径为R,其圆柱面方程分别为x2+y2=R2,x2+z2=R2.利用对称性,只要求出两直交圆柱体公共部分在第一卦限(即x≥0,y≥0,z≥0)部分的体积,然后乘以8即可.§18-8二重积分三、二重积分应用举例例5求两个半径相

例6求由抛物线y=x2-2与直线y=x所围成的平面图形的面积.

例6求由抛物线y=x2-2与直线y=x所围成的平面图形的面例7有一个等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点距离的平方,求此薄片的质量.

例7有一个等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于

第十九章级数§19-1

常数项级数§19-2

幂级数§19-3

函数的幂级数展开式§19-4

傅里叶级数第十九章级数§19-1常数项级数§19-2幂级数§19-1

常数项级数一、常数项级数的基本概念

一般地,我们把上式的前n项的和Sn=u1+