线性规划及其单纯形求解方法课件

第5章线性规划方法线性规划及其单纯形求解方法线性规划的对偶理论运输问题的求解方法:表上作业法第5章线性规划方法线性规划及其单纯形求解方法1线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益广泛与深入,已经被广泛地应用到工业、农业、商业与交通运输规划，工程技术的优化设计，以及企业管理等各个领域。在地理学领域，线性规划，作为传统的计量地理学方法之一，是解决有关规划、决策和系统优化问题的重要手段。线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和比较成熟的一个2线性规划的数学模型线性规划的标准形式及方法线性规划的解及其性质线性规划问题的求解方法——单纯形法应用实例:农场种植计划模型第1节线性规划及其单纯形求解方法线性规划的数学模型第1节线性规划及其单纯形求解方法3（一）线性规划模型之实例线性规划研究的两类问题：某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成该项任务；面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何安排使用，使得完成的任务最多。它们都属于最优规划的范畴。以下为一些实例。一、线性规划的数学模型（一）线性规划模型之实例一、线性规划的数学模型4运输问题假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等）有m个产地，n个销地。第i产地的产量为ai（i=1，2，…，m），第j销地的需求量为bj(j=1,2，…，n)，它们满足产销平衡条件。如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：运输问题5设xij表示由产地i供给销地j的物资数量，则上述问题可以表述为：

求一组实值变量xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，使其满足而且使

设xij表示由产地i供给销地j的物资数量，6资源利用问题

假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需要消耗的第i种资源的数量为aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2，…，n)。试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期内资源利用的总产值达到最大?资源利用问题假设某地区拥有m种资源，其中7设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足

设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，8合理下料问题

用某种原材料切割零件A1，A2,…,Am的毛坯，现已设计出在一块原材料上有B1，B2，…，Bn种不同的下料方式，如用Bj下料方式可得Ai种零件aij个，设Ai种零件的需要量为bi个。试问应该怎样组织下料活动，才能使得既满足需要，又节约原材料？合理下料问题用某种原材料切割零件A1，A2,…9设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题可表示为：求一组整数变量xj(j=1，2，…，n)，使得设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题10（二）线性规划的数学模型

以上例子表明，线性规划问题具有以下特征：①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未知变量的取值是非负的。②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同，常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。③每一个问题的目标函数和约束条件都是线性的。（二）线性规划的数学模型以上例子11由此可以抽象出线性规划问题的数学模型，一般形式为：在线性约束条件以及非负约束条件xj≥0（j=1，2，…，n）下，求一组未知变量xj

(j=1，2，…，n)的值，使由此可以抽象出线性规划问题的数学模型，一般形式12采用矩阵形式可描述为：在约束条件AX≤(≥，＝)b

X≥0下，求未知向量，使得Z=CX→max(min)其中采用矩阵形式可描述为：13二、线性规划的标准形式及方法

(一）线性规划的标准形式

在讨论与计算时，需要将线性规划问题的数学模型转化为标准形式，即在约束条件xj≥0（j=1，2，…，n）

下，求一组未知变量xj（j=1，2，…，n）的值，使二、线性规划的标准形式及方法14其缩写形式为：在约束条件

x≥0（j=1，2，…，n）

下，求一组未知变量（j

=1，2，…，n）的值，使得

常记为如下更为紧凑的形式

或其缩写形式为：在约束条件x≥0（j=1，2，…，n）15（二）化为标准形式的方法

具体的线性规划问题，需要对目标函数或约束条件进行转换，化为标准形式。目标函数化为标准形式的方法

如果其线性规划问题的目标函数为minZ

=CX

显然有minZ=max(-Z)=max

Z′

则目标函数的标准形式为max

Zˊ=-CX（二）化为标准形式的方法具体的线性规划问16约束方程化为标准形式的方法

若第k个约束方程为不等式，即

引入松弛变量,K个方程改写为则目标函数标准形式为约束方程化为标准形式的方法17三、线性规划的解及其性质

(一)线性规划的解

可行解与最优解满足约束条件（即满足线性约束和非负约束）的一组变量为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数最大或最小化的可行解称为最优解。

三、线性规划的解及其性质(一)线性规18基本解与基本可行解

在线性规划问题中，将约束方程组的m×n阶矩阵A写成由n个列向量组成的分块矩阵基本解与基本可行解19如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该线性规划问题的一个基。不失一般性，不妨设则称为基向量，与基向量相对应的向量为基变量，而其余的变量为非基变量。

如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该20如果是方程组的解,则就是方程组的一个解，它称之为对应于基B的基本解，简称基解。满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解。对应于基本可行解的基，称为可行基。如果21线性规划问题的以上几个解的关系，可用下图来描述：线性规划问题的以上几个解的关系，可用下图来描述：22

(二)线性规划解的性质

凸集和顶点

①凸集：若连接n维点集S中的任意两点X(1)和X(2)之间的线段仍在S中，则S为凸集。②顶点：若凸集S中的点X(0)不能成为S中任何线段的内点，则称X(0)为S的顶点或极点。

(二)线性规划解的性质凸集和顶点23线性规划解的性质

①线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。

②可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本可行解。

③若可行解集有界，则线性规划问题的最优值一定可以在其顶点上达到。

因此线性规划的最优解只需从其可行解集的有限个顶点中去寻找。线性规划解的性质24四、线性规划问题的求解方法——单纯形法

（一）单纯形表

根据以上讨论，令则基变量，非基变量，则有变形得四、线性规划问题的求解方法——单纯形法（一）单25相应地，记目标函数记为则对应于基B的基本解为相应地，记26最优解的判定当时，则由目标函数式可看出：对应于B的基本可行解为最优解，这时，B也被称为最优基。由于与等价，故可得。最优解的判定定理

对于基B，若，且,则对应于基B的基本解为最优解，B为最优基。最优解的判定27在上式中，称系数矩阵

为对应于基B的单纯形表，记为T(B)。或对目标函数与约束不等式运用矩阵变形得在上式中，称系数矩阵为对应于基B的单纯形表，记为T(B)28如果记以及则如果记以及则29(二)单纯形法的计算步骤

第1步，找出初始可行基，建立初始单纯形表。第2步，判别检验所有的检验系数

（1）如果所有的检验系数,则由最优性判定定理知，已获最优解，即此时的基本可行解就是最优解。

（2）若检验系数中，有些为正数，但其中某一正的检验系数所对应的列向量的各分量均非正，则线性规划问题无解。（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的列向量中有正的分量，则需要换基、进行迭代运算。(二)单纯形法的计算步骤第1步，找出初始30第3步，选主元。在所有大于零的检验数中选取最大的一个b0s，对应的非基变量为xs，对应的列向量为若则确定brs为主元项。

第4步，在基B中调进Ps，换出Pjr，得到一个新的基第5步，在单纯形表上进行初等行变换，使第s列向量变为单位向量，又得一张新的单纯形表。第6步，转入上述第2步。

第3步，选主元。在所有大于零的检验数中选取最大的一31例1：用单纯形方法求解线性规划问题

解：首先引入松弛变量，把原问题化为标准形式

例1：用单纯形方法求解线性规划问题解：首先引入松弛变量32

具体步骤如下：第1步，确定初始单纯形表5.1.1。x1x2x3x4-z02300x3121310x492101

第2步，判别。在初始单纯形表中b01=2,b02=3，所以B1不是最优基，进行换基迭代。第3步，选主元。根据选主元法则，确定主元项。第4步，换基，得一新基。表5.1.1具体步骤如下：x1x2x3x4-z02300x33

第5步，进行初等行变换，得B2下的新单纯形表x1x2x3x4-z-1210-10x241/311/30x455/30-1/31

第6步，因检验系数有正数b01=1，重复以上步骤可得对应于

B3=[p2,p3]的单纯形表，检验各检验数可知得最优解X1=3,X2=3,X3=0,X4=0:目标函数最大值为

Z=15。x1x2x3x4-z-1500-4/5-3/5x23012/5-1/5x1310-1/53/5表5.1.2表5.1.3第5步，进行初等行变换，得B2下的新单纯形表x134五、应用实例:农场种植计划模型

某农场I、II、III等耕地的面积分别为100hm2、300hm2和200hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求3种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植3种作物的单产如表5.1.4所示。若3种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（2）如何制订种植计划，才能使总产值最大？五、应用实例:农场种植计划模型35表5.1.4不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/hm2)

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000表5.1.4表5.1.4不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg36对于上面的农场种植计划问题，我们可以用线性规划方法建立模型。根据题意，决策变量设置如表5.1.5所示,表中Xij表示在第j等级的耕地上种植第i种作物的面积。3种作物的产量可以用表5.1.6表示。

对于上面的农场种植计划问题，我们可以用线性37作物种类总产量水稻大豆玉米表5.1.5作物计划种植面积（单位:hm2)

表5.1.63种作物的总产量（单位:kg）

I等耕地II等耕地III等耕地水稻大豆玉米作物种类水稻大豆玉米表5.1.5作物计划种植面积（单位38根据题意，约束方程如下,耕地面积约束最低收获量约束

非负约束

根据题意，约束方程如下,耕地面积约束39（1）追求最大总产量的目标函数为调用Matlab软件系统优化工具箱中的linprog函数，进行求解运算，可以得到一个最优解（如表5.1.7所示）。在该方案下，最优值，即最大总产量为6892200kg。从表中可以看出，如果以追求总产量最大为种植计划目标，那么，玉米的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。

（1）追求最大总产量的目标函数为40表5.1.7追求总产量最大的计划方案（单位：hm2）

I等耕地II等耕地III等耕地水稻0021.1111大豆0021.6667玉米100300157.2222表5.1.7追求总产量最大的计划方案（单位：hm2）41(2)追求最大总产值的目标函数为进行求解运算，可以得到一个最优解（如表5.1.8所示）。在该方案下，最优值，即最大总产值为6830500元。从表中可以看出，如果以追求总产值最大为种植计划目标，那么，水稻的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。

(2)追求最大总产值的目标函数为42表5.1.8追求总产值最大的计划方案（单位：hm2）

I等耕地II等耕地III等耕地水稻58.75300200大豆16.2500玉米2500表5.1.8追求总产值最大的计划方案（单位：hm2）43第5章线性规划方法线性规划及其单纯形求解方法线性规划的对偶理论运输问题的求解方法:表上作业法第5章线性规划方法线性规划及其单纯形求解方法44线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益广泛与深入,已经被广泛地应用到工业、农业、商业与交通运输规划，工程技术的优化设计，以及企业管理等各个领域。在地理学领域，线性规划，作为传统的计量地理学方法之一，是解决有关规划、决策和系统优化问题的重要手段。线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和比较成熟的一个45线性规划的数学模型线性规划的标准形式及方法线性规划的解及其性质线性规划问题的求解方法——单纯形法应用实例:农场种植计划模型第1节线性规划及其单纯形求解方法线性规划的数学模型第1节线性规划及其单纯形求解方法46（一）线性规划模型之实例线性规划研究的两类问题：某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成该项任务；面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何安排使用，使得完成的任务最多。它们都属于最优规划的范畴。以下为一些实例。一、线性规划的数学模型（一）线性规划模型之实例一、线性规划的数学模型47运输问题假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等）有m个产地，n个销地。第i产地的产量为ai（i=1，2，…，m），第j销地的需求量为bj(j=1,2，…，n)，它们满足产销平衡条件。如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：运输问题48设xij表示由产地i供给销地j的物资数量，则上述问题可以表述为：

求一组实值变量xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，使其满足而且使

设xij表示由产地i供给销地j的物资数量，49资源利用问题

假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需要消耗的第i种资源的数量为aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2，…，n)。试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期内资源利用的总产值达到最大?资源利用问题假设某地区拥有m种资源，其中50设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足

设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，51合理下料问题

用某种原材料切割零件A1，A2,…,Am的毛坯，现已设计出在一块原材料上有B1，B2，…，Bn种不同的下料方式，如用Bj下料方式可得Ai种零件aij个，设Ai种零件的需要量为bi个。试问应该怎样组织下料活动，才能使得既满足需要，又节约原材料？合理下料问题用某种原材料切割零件A1，A2,…52设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题可表示为：求一组整数变量xj(j=1，2，…，n)，使得设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题53（二）线性规划的数学模型

以上例子表明，线性规划问题具有以下特征：①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未知变量的取值是非负的。②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同，常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。③每一个问题的目标函数和约束条件都是线性的。（二）线性规划的数学模型以上例子54由此可以抽象出线性规划问题的数学模型，一般形式为：在线性约束条件以及非负约束条件xj≥0（j=1，2，…，n）下，求一组未知变量xj

(j=1，2，…，n)的值，使由此可以抽象出线性规划问题的数学模型，一般形式55采用矩阵形式可描述为：在约束条件AX≤(≥，＝)b

X≥0下，求未知向量，使得Z=CX→max(min)其中采用矩阵形式可描述为：56二、线性规划的标准形式及方法

(一）线性规划的标准形式

在讨论与计算时，需要将线性规划问题的数学模型转化为标准形式，即在约束条件xj≥0（j=1，2，…，n）

下，求一组未知变量xj（j=1，2，…，n）的值，使二、线性规划的标准形式及方法57其缩写形式为：在约束条件

x≥0（j=1，2，…，n）

下，求一组未知变量（j

=1，2，…，n）的值，使得

常记为如下更为紧凑的形式

或其缩写形式为：在约束条件x≥0（j=1，2，…，n）58（二）化为标准形式的方法

具体的线性规划问题，需要对目标函数或约束条件进行转换，化为标准形式。目标函数化为标准形式的方法

如果其线性规划问题的目标函数为minZ

=CX

显然有minZ=max(-Z)=max

Z′

则目标函数的标准形式为max

Zˊ=-CX（二）化为标准形式的方法具体的线性规划问59约束方程化为标准形式的方法

若第k个约束方程为不等式，即

引入松弛变量,K个方程改写为则目标函数标准形式为约束方程化为标准形式的方法60三、线性规划的解及其性质

(一)线性规划的解

可行解与最优解满足约束条件（即满足线性约束和非负约束）的一组变量为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数最大或最小化的可行解称为最优解。

三、线性规划的解及其性质(一)线性规61基本解与基本可行解

在线性规划问题中，将约束方程组的m×n阶矩阵A写成由n个列向量组成的分块矩阵基本解与基本可行解62如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该线性规划问题的一个基。不失一般性，不妨设则称为基向量，与基向量相对应的向量为基变量，而其余的变量为非基变量。

如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该63如果是方程组的解,则就是方程组的一个解，它称之为对应于基B的基本解，简称基解。满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解。对应于基本可行解的基，称为可行基。如果64线性规划问题的以上几个解的关系，可用下图来描述：线性规划问题的以上几个解的关系，可用下图来描述：65

(二)线性规划解的性质

凸集和顶点

①凸集：若连接n维点集S中的任意两点X(1)和X(2)之间的线段仍在S中，则S为凸集。②顶点：若凸集S中的点X(0)不能成为S中任何线段的内点，则称X(0)为S的顶点或极点。

(二)线性规划解的性质凸集和顶点66线性规划解的性质

①线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。

②可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本可行解。

③若可行解集有界，则线性规划问题的最优值一定可以在其顶点上达到。

因此线性规划的最优解只需从其可行解集的有限个顶点中去寻找。线性规划解的性质67四、线性规划问题的求解方法——单纯形法

（一）单纯形表

根据以上讨论，令则基变量，非基变量，则有变形得四、线性规划问题的求解方法——单纯形法（一）单68相应地，记目标函数记为则对应于基B的基本解为相应地，记69最优解的判定当时，则由目标函数式可看出：对应于B的基本可行解为最优解，这时，B也被称为最优基。由于与等价，故可得。最优解的判定定理

对于基B，若，且,则对应于基B的基本解为最优解，B为最优基。最优解的判定70在上式中，称系数矩阵

为对应于基B的单纯形表，记为T(B)。或对目标函数与约束不等式运用矩阵变形得在上式中，称系数矩阵为对应于基B的单纯形表，记为T(B)71如果记以及则如果记以及则72(二)单纯形法的计算步骤

第1步，找出初始可行基，建立初始单纯形表。第2步，判别检验所有的检验系数

（1）如果所有的检验系数,则由最优性判定定理知，已获最优解，即此时的基本可行解就是最优解。

（2）若检验系数中，有些为正数，但其中某一正的检验系数所对应的列向量的各分量均非正，则线性规划问题无解。（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的列向量中有正的分量，则需要换基、进行迭代运算。(二)单纯形法的计算步骤第1步，找出初始73第3步，选主元。在所有大于零的检验数中选取最大的一个b0s，对应的非基变量为xs，对应的列向量为若则确定brs为主元项。

第4步，在基B中调进Ps，换出Pjr，得到一个新的基第5步，在单纯形表上进行初等行变换，使第s列向量变为单位向量，又得一张新的单纯形表。第6步，转入上述第2步。

第3步，选主元。在所有大于零的检验数中选取最大的一74例1：用单纯形方法求解线性规划问题

解：首先引入松弛变量，把原问题化为标准形式

例1：用单纯形方法求解线性规划问题解：首先引入松弛变量75

具体步骤如下：第1步，确定初始单纯形表5.1.1。x1x2x3x4-z02300x3121310x492101

第2步，判别。在初始单纯形表中b01=2,b02=3，所以B1不是最优基，进行换基迭代。第3步，选主元。根据选主元法则，确定主元项。第4步，换基，得一新基。表5.1.1具体步骤如下：x1x2x3x4-z02300x76

第5步，进行初等行变换，得B2下的新单纯形表x1x2x3x4-z-1210-10x241/311/30x455/30-1/31

第6步，因检验系数有正数b01=1，重复以上步骤可得对应于

B3=[p2,p3]的单纯形表，检验各检验数可知得最优解X1=3,X2=3,X3=0,X4=0:目标函数最大值为

Z=15。x1x2x3x4-z-1500-4/5-3/5x23012/5-1/5x1310-1/53/5表5.1.2表5.1.3第5步，进行初等行变换，得B2下的新单纯形表x177