利用导数研究函数的单调性极值最值课件

利用导数研究函数的单调性、极值、最值利用导数研究函数的单调性、极值、最值【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)函数的导数与单调性的关系:函数y=f(x)在某个区间内可导,则①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内是___函数;②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内是___函数;③若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是_________.增减常数函数【知识梳理】增减常数函数(2)函数的极值与导数:①极值的概念:f(x)<f(x0)极大值点f(x)>f(x0)极小值点(2)函数的极值与导数:f(x)<f(x0)极大值点f(x)②判定f(x0)是极大(小)值的方法:若x0满足_________,且在x0的两侧f(x)的导数_____,则x0是f(x)的极值点.(ⅰ)如果在x0附近的左侧_________,右侧_________,即“_________”,那么f(x0)是极大值;(ⅱ)如果在x0附近的左侧_________,右侧_________,即“_________”,那么f(x0)是极小值.f′(x0)=0异号f′(x)>0f′(x)<0左正右负f′(x)<0f′(x)>0左负右正②判定f(x0)是极大(小)值的方法:f′(x0)=0异号f(3)函数的最值与导数:①函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值和最小值.②求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤:(ⅰ)求函数y=f(x)在(a,b)内的_____.(ⅱ)将函数y=f(x)的各极值与________________________比较,其中_____的一个是最大值,_____的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a),f(b)最大最小(3)函数的最值与导数:连续不断极值端点处的函数值f(a),2.必备结论教材提炼记一记(1)可导函数f(x)在[a,b]上是增函数,则有__________在[a,b]上恒成立.(2)可导函数f(x)在[a,b]上是减函数,则有__________在[a,b]上恒成立.f′(x)≥0f′(x)≤02.必备结论教材提炼记一记f′(x)≥0f′(x)≤03.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用导数判断单调性的方法,利用导数求极值、最值的方法.(2)数学思想:分类讨论、数形结合.3.必用技法核心总结看一看(3)记忆口诀:导数应用比较广,单调极值及最值;导数恒正单调增,导数恒负当然减;求出导数为零点,左增右减极大值;左减右增是极小,同增同减非极值;若是加上端点值,最大最小皆晓得.(3)记忆口诀:【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0.(

)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则函数f(x)在此区间内没有单调性.(

)(3)导数为零的点不一定是极值点.(

)(4)三次函数在R上必有极大值和极小值.(

)【小题快练】【解析】(1)错误.函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0.故f′(x)>0是f(x)在区间(a,b)上单调递增的充分不必要条件.(2)正确.如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如f(x)=3,则f′(x)=0,函数f(x)不存在单调性.(3)正确.导数为零的点不一定是极值点.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点.【解析】(1)错误.函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,(4)错误.对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d,y′=3ax2+2bx+c.当(2b)2-12ac<0,即b2-3ac<0时,y′=0无实数根,此时三次函数没有极值.答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)×(4)错误.对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d,y′=2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-2P27T4改编)函数f(x)=ex-2x的单调递增区间是____________.【解析】f′(x)=ex-2,令f′(x)>0,解得x>ln2,则函数f(x)=ex-2x的单调递增区间为(ln2,+∞).答案:(ln2,+∞)2.教材改编链接教材练一练(2)(选修2-2P30练习BT4改编)若f(x)=ax3+3x+2无极值,则a的范围为________.【解析】f′(x)=3ax2+3,若a≥0,则f′(x)>0,f(x)在R上增,f(x)无极值.答案:[0,+∞)(2)(选修2-2P30练习BT4改编)若f(x)=ax3+3.真题小试感悟考题试一试(1)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)3.真题小试感悟考题试一试【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f′(x)≥0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f′(x)=k-≥0,即k≥.因为x>1,所以<1,所以k≥1.所以k∈[1,+∞),选D.【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f′(x(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函【解析】选B.因为f′(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x∈(-1,0)时,f′(x)为增函数,x∈(0,1)时,f′(x)为减函数,所以选B.【解析】选B.因为f′(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(3)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(

)A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值(3)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=【解题提示】当k=1,2时,分别验证f′(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f′(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f′(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f′(1)=0,在x=1附近左侧,f′(x)<0,在x=1附近右侧,f′(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.【解题提示】当k=1,2时,分别验证f′(1)=0是否成立,考点1利用导数研究函数的单调性【典例1】(1)已知f(x)=1+x-sinx,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是(

)A.f(2)>f(3)>f(π)B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(π)>f(2)>f(3)D.f(π)>f(3)>f(2)考点1利用导数研究函数的单调性(2)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性.【解题提示】(1)利用导数判断函数的单调性.(2)先求f′(x),分a≥1与0<a<1两种情况求解.(2)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-【规范解答】(1)选D.因为f(x)=1+x-sinx,所以f′(x)=1-cosx,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2).(2)f′(x)=(*)当a≥1时,f′(x)>0(x∈(0,+∞)),此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,【规范解答】(1)选D.因为f(x)=1+x-sinx,所以由f′(x)=0得x1=(x2=-舍去).当x∈(0,x1)时,f′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在区间(0,x1)上单调递减,在区间(x1,+∞)上单调递增.综上所述,当a≥1时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(,+∞)上单调递增.由f′(x)=0得x1=(x2=-【互动探究】若本例题(2)中条件改为a∈R,f(x)=alnx+,讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=(x>0).①当a=0时，f′(x)=恒大于0，f(x)在定义域上单调递增.②当a>0时，f′(x)=f(x)在定义域上单调递增.【互动探究】若本例题(2)中条件改为a∈R,f(x)=aln③当a<0时，a(x+1)2+2x=0对应的Δ=(2a+2)2-4a2=8a+4，当a≤时，Δ≤0，导函数图象开口向下，f(x)在定义域上单调递减.当<a<0时，Δ>0，x1,2

对称轴方程为.且x1·x2=1>0，所以f(x)在(0，

)上单调递减，()上单调递增，上单调递减.③当a<0时，a(x+1)2+2x=0对应的Δ=(2a+2)综上所述,a≥0时,f(x)在定义域上单调递增；a≤时，f(x)在定义域上单调递减;<a<0时,f(x)在上单调递减,

上单调递增,

上单调递减.综上所述,a≥0时,f(x)在定义域上单调递增；a≤时【规律方法】1.用导数求函数的单调区间的“三个方法”(1)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时,确定函数的定义域,解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时,确定函数的定义域,解方程f′(x)=0,求出实数根,把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,确定f′(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间.【规律方法】(3)不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=0均不可解时求导数并化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f′(x)的符号,得单调区间.(3)不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.2.根据函数单调性求参数的一般思路【变式训练】若函数f(x)=(x2+bx+b)(b∈R)在区间(0，)上单调递增,则b的取值范围为(

)【变式训练】若函数f(x)=(x2+bx+b)(【解析】选A.因为f′(x)=，f(x)在区间(0,)上单调递增，所以f′(x)≥0对任意的x∈(0，)恒成立，即5x2+(3b-2)x≤0对任意的x∈(0,)恒成立.即5x+3b-2≤0对任意的x∈(0,)恒成立,即b≤对任意的x∈(0,)恒成立，令g(x)=x∈(0，)，则g(x)>g()=，所以b≤.【解析】选A.因为f′(x)=，f【加固训练】1.在区间(-1,1)内不是增函数的是(

)A.y=ex+xB.y=sinxC.y=x3-6x2+9x+2D.y=x2+x+1【加固训练】1.在区间(-1,1)内不是增函数的是()【解析】选D.A选项中y′=ex+1,x∈R时都有y′>0,所以y=ex+x在R上为单调递增函数,所以在(-1,1)上是增函数;B选项中(-1,1)⊆[],而y=sinx在[]上为增函数,所以y=sinx在(-1,1)上是增函数;C选项y′=3x2-12x+9,令y′=3x2-12x+9>0得x>3或x<1,所以y=x3-6x2+9x+2在x∈(-∞,1)和(3,+∞)上为增函数,而(-1,1)⊆(-∞,1),所以y=x3-6x2+9x+2在(-1,1)上是增函数;D选项y′=2x+1,令y′=2x+1>0,得x>,所以有y=x2+x+1在(,+∞)上为增函数,所以本题选D.【解析】选D.A选项中y′=ex+1,x∈R时都有y′>0,2.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求函数f(x)的单调区间.2.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求【解析】因为f′(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a.当a≥1时,Δ≤0,f′(x)≥0,此时(-∞,+∞)是函数f(x)的单调递增区间;当a<1时,Δ>0,f′(x)=0有两个实数根x=-1+和x=-1-,此时(-∞,-1-),(-1+,+∞)是函数f(x)的单调递增区间,(-1-,-1+)是函数f(x)的单调递减区间.综上,当a≥1时,函数f(x)只有单调递增区间(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1-),(-1+,+∞),单调递减区间是(-1-,-1+).【解析】因为f′(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+3.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)满足f′(-1)=0.(1)求f(x)的解析式.(2)讨论f(x)在区间(-3,3)上的单调性.【解析】(1)f′(x)=-6x2+2bx+c,F(x)=f(x)-3x2是奇函数,得b=3,f′(-1)=-6-2b+c=0,得c=12,所以f(x)=-2x3+3x2+12x.3.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b(2)令f′(x)=-6x2+6x+12=0,得x=2或-1,所以单调递增区间为(-1,2),单调递减区间为(-3,-1),(2,3).x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)f′(x)-0+0-(2)令f′(x)=-6x2+6x+12=0,得x=2或-1考点2利用导数研究函数的极值(最值)知·考情利用导数研究函数的极值、最值是高考考查热点,几乎每年都会考查,有时会和函数的单调性、不等式、导数的几何意义等相结合命题,有时作为高考的压轴题出现,难度为中、高档.考点2利用导数研究函数的极值(最值)明·角度命题角度1:利用导数研究函数的极值【典例2】已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R,则f(x)的极大值为___.【解题提示】根据求极值的步骤直接求解即可.明·角度【规范解答】由已知,有f′(x)=2x-2ax2(a>0),令f′(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:可知,当x=时,f(x)有极大值,且极大值为f()=答案:x(-∞,0)0（0,）（,+∞）f′(x)-0+0-f(x)减0增减【规范解答】由已知,有f′(x)=2x-2ax2(a>0),命题角度2:利用导数研究函数的最值【典例3】已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间.(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.【解题提示】(1)求导整理后,令导数大于零即可.(2)求导整理后,注意讨论临界点与区间的位置关系.命题角度2:利用导数研究函数的最值【规范解答】(1)f(x)=(4x2-16x+16)，定义域为［0,+∞)，f′(x)=令f′(x)>0得0＜x<或x>2，所以f(x)的单调递增区间为[0,)，(2,+∞).【规范解答】(1)f(x)=(4x2-16x+16)，(2)f′(x)=令f′(x)=0得x=或x=f(x)在定义域上的单调性为[0,]上单调递增,(,)上单调递减,[,+∞)上单调递增.从而需要讨论,与1及4的大小.①当≥4或≤1，即a≤-40或-2≤a<0时，f(x)在［1,4］上单调递增，故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8，解得a=-2±2，均需舍去；(2)f′(x)=②当≤1且≥4，即-10≤a≤-8时，f(x)在［1,4］上单调递减，故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8，解得a=-10或a=-6(舍去)；③当1<<4，即-8<a<-2时，f(x)的最小值为f(),因为f()=0，所以不成立；②当≤1且≥4，④当1<<4，即-40<a<-10时，f(x)在[1,]上单调递增，在[,4]上单调递减，f(x)的最小值为f(1)与f(4)中的一个，根据上面的①②得均不成立.综上所述a=-10.④当1<<4，即-40<a<-10时，f(x)在[1【易错警示】解答本题有三点容易出错(1)在定义域上,对于f(x)的单调递增区间[0,],[,+∞)中间容易用“∪”符号连接.(2)求最值时容易忽略对与区间[1,4]的讨论.(3)在每一步讨论中,求得a值后,容易忽略对所求a值的验证.【易错警示】解答本题有三点容易出错命题角度3:函数的极值和最值的综合问题【典例4】已知x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex的一个极值点.(1)求实数a的值.(2)求函数f(x)在x∈上的最大值和最小值.命题角度3:函数的极值和最值的综合问题【解题提示】(1)由x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex的一个极值点可得到x=2是f′(x)=0的根,从而求出a.(2)求导函数,可得函数在x=1,x=2处取极值,比较极值与端点函数值,即可得到结论.【解题提示】(1)由x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a【规范解答】(1)由f(x)=(x2+ax-2a-3)ex可得,f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex=[x2+(2+a)x-a-3]ex.因为x=2是函数f(x)的一个极值点,所以f′(2)=0,所以(a+5)e2=0,解得a=-5.经验证,a=-5符合题意.【规范解答】(1)由f(x)=(x2+ax-2a-3)ex可(2)由(1)知,f′(x)=(x-2)(x-1)ex,所以函数在x=1,x=2处取极值.因为f(1)=3e,f(2)=e2,f(3)=e3,所以函数f(x)在x∈上的最小值为f(2)=e2,最大值为f(3)=e3.(2)由(1)知,f′(x)=(x-2)(x-1)ex,所以悟·技法1.求函数f(x)极值的方法(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导函数f′(x).(3)求方程f′(x)=0的根.(4)检查f′(x)在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果f′(x)在这个根的左右两侧符号不变,则f(x)在这个根处没有极值.悟·技法2.求y=f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.求y=f(x)在[a,b]上的最值的方法通·一类1.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为(

)A.-

B.

C.-2

D.2通·一类【解析】选A.因为a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x,所以导函数f′(x)=3ax2+b+2xln2.因为a,b为正实数,所以当0≤x≤1时,3ax2≥0,2xln2>0,所以f′(x)>0,即f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(1)最大且为a+b+2=4⇒a+b=2①;又当-1≤x≤0时,3ax2≥0,2xln2>0,所以f′(x)>0,即f(x)在[-1,0]上是增函数,所以f(-1)最小且为-(a+b)+②,将①代入②得f(-1)=-2+=-,故选A.【解析】选A.因为a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d为常数)，在x∈(0,1)内取得极大值，在x∈(1,2)内取得极小值，则(c-3)2的取值范围是()2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d为常【解析】选D.因为f(x)=x3+bx2+cx+d,所以f′(x)=3x2+2bx+c.因为函数f(x)在x∈(0,1)内取得极大值,在x∈(1,2)内取得极小值,所以f′(x)=3x2+2bx+c=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根,所以f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,【解析】选D.因为f(x)=x3+bx2+cx+d,即在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，表示点A(-，3)与可行域内的点连线的距离的平方，点A(-，3)到直线3+2b+c=0的距离为由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为，与点A的距离为5，所以的取值范围是(5，25)，故选D.即在bOc坐标系中画出其表示3.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.(1)试求a,b的值并求出f(x)的单调区间.(2)求在区间[-2,2]上的最大值与最小值.3.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极【解析】(1)因为f(x)=x3-3ax2+2bx,所以f′(x)=3x2-6ax+2b,由已知得f′(1)=0,则3-6a+2b=0,①因为当x=1时有极小值-1,所以f(1)=1-3a+2b=-1,②【解析】(1)因为f(x)=x3-3ax2+2bx,所以f′由①②得a=,b=-,把a=,b=-代入f(x)中,得f(x)=x3-x2-x,所以f′(x)=3x2-2x-1,令f′(x)=0,则f′(x)=(3x+1)(x-1)=0,若f′(x)>0,即在(-∞,-),(1,+∞)上,函数f(x)单调递增,若f′(x)<0,即在(-,1)上,函数f(x)单调递减.由①②得a=,b=-,(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,f′(x)=3x2-2x-1,令f′(x)=0,则f′(x)=(3x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1.因为f(-2)=-10,f(-)=,f(1)=-1,f(2)=2,所以f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,f′(x)=3x2【加固训练】已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【加固训练】已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1-(1)当a=2时，f(x)=x-2lnx，f′(x)=1-(x>0),因而f(1)=1，f′(1)=-1，所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1-(2)由f′(x)=x>0知：①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.(2)由f′(x)=x>0知：规范解答2

导数在研究函数中的应用【典例】设函数f(x)=(1)求f(x)的单调区间,最大值.(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.规范解答2导数在研究函数中的应用解题导思研读信息快速破题解题导思研读信息快速破题规范解答阅卷标准体会规范(1)因为f(x)=+c,所以f′(x)=(1-2x)e-2x，………………1分令(1-2x)e-2x=0，解得x=当x<时，f′(x)>0,f(x)为单调增函数，当x>时，f′(x)<0,f(x)为单调减函数.

……2分规范解答阅卷标准体会规范所以f(x)的单调增区间为（-∞,），单调减区间为（，+∞）.………………………3分最大值为f()=e-1+c.…………4分所以f(x)的单调增区间为（-∞,），(2)令g(x)=|lnx|-f(x)=|lnx|-xe-2x-c，x∈(0,+∞).……5分(ⅰ)当x∈(1，+∞)时，lnx>0，则g(x)=lnx-xe-2x-c，所以g′(x)=e-2x(+2x-1)，因为x∈(1,+∞)，所以2x-1>0，>0，于是g′(x)>0，因此g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数.……6分(2)令g(x)=|lnx|-f(x)=|lnx|-xe(ⅱ)当x∈(0,1)时，lnx<0，则g(x)=-lnx-xe-2x-c,所以g′(x)=e-2x(+2x-1),………………7分因为x∈(0,1)，所以e2x∈(1,e2),e2x>1>x>0，于是-<-1，又因为2x-1<1，所以-+2x-1<0，即g′(x)<0,因此g(x)在(0,1)上为单调递减函数.(ⅱ)当x∈(0,1)时，lnx<0，则g(x)=-ln综合(ⅰ)(ⅱ)可知,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e-2-c.…8分当g(1)=-e-2-c>0,即c<-e-2时,g(x)没有零点,故关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为0;………9分当g(1)=-e-2-c=0,即c=-e-2时,g(x)只有一个零点,故关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1;………10分当g(1)=-e-2-c<0,即c>-e-2时,g(x)有两个零点,故关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数是2.………11分综合(ⅰ)(ⅱ)可知,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1综上所述,当c<-e-2时,方程|lnx|=f(x)根的个数为0;当c=-e-2时,方程|lnx|=f(x)根的个数为1;当c>-e-2时,方程|lnx|=f(x)根的个数为2.…12分综上所述,当c<-e-2时,方程|lnx|=f(x)根的个数利用导数研究函数的单调性、极值、最值利用导数研究函数的单调性、极值、最值【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)函数的导数与单调性的关系:函数y=f(x)在某个区间内可导,则①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内是___函数;②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内是___函数;③若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是_________.增减常数函数【知识梳理】增减常数函数(2)函数的极值与导数:①极值的概念:f(x)<f(x0)极大值点f(x)>f(x0)极小值点(2)函数的极值与导数:f(x)<f(x0)极大值点f(x)②判定f(x0)是极大(小)值的方法:若x0满足_________,且在x0的两侧f(x)的导数_____,则x0是f(x)的极值点.(ⅰ)如果在x0附近的左侧_________,右侧_________,即“_________”,那么f(x0)是极大值;(ⅱ)如果在x0附近的左侧_________,右侧_________,即“_________”,那么f(x0)是极小值.f′(x0)=0异号f′(x)>0f′(x)<0左正右负f′(x)<0f′(x)>0左负右正②判定f(x0)是极大(小)值的方法:f′(x0)=0异号f(3)函数的最值与导数:①函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值和最小值.②求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤:(ⅰ)求函数y=f(x)在(a,b)内的_____.(ⅱ)将函数y=f(x)的各极值与________________________比较,其中_____的一个是最大值,_____的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a),f(b)最大最小(3)函数的最值与导数:连续不断极值端点处的函数值f(a),2.必备结论教材提炼记一记(1)可导函数f(x)在[a,b]上是增函数,则有__________在[a,b]上恒成立.(2)可导函数f(x)在[a,b]上是减函数,则有__________在[a,b]上恒成立.f′(x)≥0f′(x)≤02.必备结论教材提炼记一记f′(x)≥0f′(x)≤03.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用导数判断单调性的方法,利用导数求极值、最值的方法.(2)数学思想:分类讨论、数形结合.3.必用技法核心总结看一看(3)记忆口诀:导数应用比较广,单调极值及最值;导数恒正单调增,导数恒负当然减;求出导数为零点,左增右减极大值;左减右增是极小,同增同减非极值;若是加上端点值,最大最小皆晓得.(3)记忆口诀:【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0.(

)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则函数f(x)在此区间内没有单调性.(

)(3)导数为零的点不一定是极值点.(

)(4)三次函数在R上必有极大值和极小值.(

)【小题快练】【解析】(1)错误.函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0.故f′(x)>0是f(x)在区间(a,b)上单调递增的充分不必要条件.(2)正确.如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如f(x)=3,则f′(x)=0,函数f(x)不存在单调性.(3)正确.导数为零的点不一定是极值点.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点.【解析】(1)错误.函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,(4)错误.对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d,y′=3ax2+2bx+c.当(2b)2-12ac<0,即b2-3ac<0时,y′=0无实数根,此时三次函数没有极值.答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)×(4)错误.对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d,y′=2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-2P27T4改编)函数f(x)=ex-2x的单调递增区间是____________.【解析】f′(x)=ex-2,令f′(x)>0,解得x>ln2,则函数f(x)=ex-2x的单调递增区间为(ln2,+∞).答案:(ln2,+∞)2.教材改编链接教材练一练(2)(选修2-2P30练习BT4改编)若f(x)=ax3+3x+2无极值,则a的范围为________.【解析】f′(x)=3ax2+3,若a≥0,则f′(x)>0,f(x)在R上增,f(x)无极值.答案:[0,+∞)(2)(选修2-2P30练习BT4改编)若f(x)=ax3+3.真题小试感悟考题试一试(1)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)3.真题小试感悟考题试一试【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f′(x)≥0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f′(x)=k-≥0,即k≥.因为x>1,所以<1,所以k≥1.所以k∈[1,+∞),选D.【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f′(x(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函【解析】选B.因为f′(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x∈(-1,0)时,f′(x)为增函数,x∈(0,1)时,f′(x)为减函数,所以选B.【解析】选B.因为f′(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(3)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(

)A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值(3)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=【解题提示】当k=1,2时,分别验证f′(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f′(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f′(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f′(1)=0,在x=1附近左侧,f′(x)<0,在x=1附近右侧,f′(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.【解题提示】当k=1,2时,分别验证f′(1)=0是否成立,考点1利用导数研究函数的单调性【典例1】(1)已知f(x)=1+x-sinx,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是(

)A.f(2)>f(3)>f(π)B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(π)>f(2)>f(3)D.f(π)>f(3)>f(2)考点1利用导数研究函数的单调性(2)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性.【解题提示】(1)利用导数判断函数的单调性.(2)先求f′(x),分a≥1与0<a<1两种情况求解.(2)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-【规范解答】(1)选D.因为f(x)=1+x-sinx,所以f′(x)=1-cosx,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2).(2)f′(x)=(*)当a≥1时,f′(x)>0(x∈(0,+∞)),此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,【规范解答】(1)选D.因为f(x)=1+x-sinx,所以由f′(x)=0得x1=(x2=-舍去).当x∈(0,x1)时,f′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在区间(0,x1)上单调递减,在区间(x1,+∞)上单调递增.综上所述,当a≥1时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当0<a<1时，f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(,+∞)上单调递增.由f′(x)=0得x1=(x2=-【互动探究】若本例题(2)中条件改为a∈R,f(x)=alnx+,讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=(x>0).①当a=0时，f′(x)=恒大于0，f(x)在定义域上单调递增.②当a>0时，f′(x)=f(x)在定义域上单调递增.【互动探究】若本例题(2)中条件改为a∈R,f(x)=aln③当a<0时，a(x+1)2+2x=0对应的Δ=(2a+2)2-4a2=8a+4，当a≤时，Δ≤0，导函数图象开口向下，f(x)在定义域上单调递减.当<a<0时，Δ>0，x1,2

对称轴方程为.且x1·x2=1>0，所以f(x)在(0，

)上单调递减，()上单调递增，上单调递减.③当a<0时，a(x+1)2+2x=0对应的Δ=(2a+2)综上所述,a≥0时,f(x)在定义域上单调递增；a≤时，f(x)在定义域上单调递减;<a<0时,f(x)在上单调递减,

上单调递增,

上单调递减.综上所述,a≥0时,f(x)在定义域上单调递增；a≤时【规律方法】1.用导数求函数的单调区间的“三个方法”(1)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时,确定函数的定义域,解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时,确定函数的定义域,解方程f′(x)=0,求出实数根,把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,确定f′(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间.【规律方法】(3)不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=0均不可解时求导数并化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f′(x)的符号,得单调区间.(3)不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.2.根据函数单调性求参数的一般思路【变式训练】若函数f(x)=(x2+bx+b)(b∈R)在区间(0，)上单调递增,则b的取值范围为(

)【变式训练】若函数f(x)=(x2+bx+b)(【解析】选A.因为f′(x)=，f(x)在区间(0,)上单调递增，所以f′(x)≥0对任意的x∈(0，)恒成立，即5x2+(3b-2)x≤0对任意的x∈(0,)恒成立.即5x+3b-2≤0对任意的x∈(0,)恒成立,即b≤对任意的x∈(0,)恒成立，令g(x)=x∈(0，)，则g(x)>g()=，所以b≤.【解析】选A.因为f′(x)=，f【加固训练】1.在区间(-1,1)内不是增函数的是(

)A.y=ex+xB.y=sinxC.y=x3-6x2+9x+2D.y=x2+x+1【加固训练】1.在区间(-1,1)内不是增函数的是()【解析】选D.A选项中y′=ex+1,x∈R时都有y′>0,所以y=ex+x在R上为单调递增函数,所以在(-1,1)上是增函数;B选项中(-1,1)⊆[],而y=sinx在[]上为增函数,所以y=sinx在(-1,1)上是增函数;C选项y′=3x2-12x+9,令y′=3x2-12x+9>0得x>3或x<1,所以y=x3-6x2+9x+2在x∈(-∞,1)和(3,+∞)上为增函数,而(-1,1)⊆(-∞,1),所以y=x3-6x2+9x+2在(-1,1)上是增函数;D选项y′=2x+1,令y′=2x+1>0,得x>,所以有y=x2+x+1在(,+∞)上为增函数,所以本题选D.【解析】选D.A选项中y′=ex+1,x∈R时都有y′>0,2.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求函数f(x)的单调区间.2.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求【解析】因为f′(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a.当a≥1时,Δ≤0,f′(x)≥0,此时(-∞,+∞)是函数f(x)的单调递增区间;当a<1时,Δ>0,f′(x)=0有两个实数根x=-1+和x=-1-,此时(-∞,-1-),(-1+,+∞)是函数f(x)的单调递增区间,(-1-,-1+)是函数f(x)的单调递减区间.综上,当a≥1时,函数f(x)只有单调递增区间(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1-),(-1+,+∞),单调递减区间是(-1-,-1+).【解析】因为f′(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+3.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)满足f′(-1)=0.(1)求f(x)的解析式.(2)讨论f(x)在区间(-3,3)上的单调性.【解析】(1)f′(x)=-6x2+2bx+c,F(x)=f(x)-3x2是奇函数,得b=3,f′(-1)=-6-2b+c=0,得c=12,所以f(x)=-2x3+3x2+12x.3.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b(2)令f′(x)=-6x2+6x+12=0,得x=2或-1,所以单调递增区间为(-1,2),单调递减区间为(-3,-1),(2,3).x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)f′(x)-0+0-(2)令f′(x)=-6x2+6x+12=0,得x=2或-1考点2利用导数研究函数的极值(最值)知·考情利用导数研究函数的极值、最值是高考考查热点,几乎每年都会考查,有时会和函数的单调性、不等式、导数的几何意义等相结合命题,有时作为高考的压轴题出现,难度为中、高档.考点2利用导数研究函数的极值(最值)明·角度命题角度1:利用导数研究函数的极值【典例2】已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R,则f(x)的极大值为___.【解题提示】根据求极值的步骤直接求解即可.明·角度【规范解答】由已知,有f′(x)=2x-2ax2(a>0),令f′(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:可知,当x=时,f(x)有极大值,且极大值为f()=答案:x(-∞,0)0（0,）（,+∞）f′(x)-0+0-f(x)减0增减【规范解答】由已知,有f′(x)=2x-2ax2(a>0),命题角度2:利用导数研究函数的最值【典例3】已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间.(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.【解题提示】(1)求导整理后,令导数大于零即可.(2)求导整理后,注意讨论临界点与区间的位置关系.命题角度2:利用导数研究函数的最值【规范解答】(1)f(x)=(4x2-16x+16)，定义域为［0,+∞)，f′(x)=令f′(x)>0得0＜x<或x>2，所以f(x)的单调递增区间为[0,)，(2,+∞).【规范解答】(1)f(x)=(4x2-16x+16)，(2)f′(x)=令f′(x)=0得x=或x=f(x)在定义域上的单调性为[0,]上单调递增,(,)上单调递减,[,+∞)上单调递增.从而需要讨论,与1及4的大小.①当≥4或≤1，即a≤-40或-2≤a<0时，f(x)在［1,4］上单调递增，故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8，解得a=-2±2，均需舍去；(2)f′(x)=②当≤1且≥4，即-10≤a≤-8时，f(x)在［1,4］上单调递减，故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8，解得a=-10或a=-6(舍去)；③当1<<4，即-8<a<-2时，f(x)的最小值为f(),因为f()=0，所以不成立；②当≤1且≥4，④当1<<4，即-40<a<-10时，f(x)在[1,]上单调递增，在[,4]上单调递减，f(x)的最小值为f(1)与f(4)中的一个，根据上面的①②得均不成立.综上所述a=-10.④当1<<4，即-40<a<-10时，f(x)在[1【易错警示】解答本题有三点容易出错(1)在定义域上,对于f(x)的单调递增区间[0,],[,+∞)中间容易用“∪”符号连接.(2)求最值时容易忽略对与区间[1,4]的讨论.(3)在每一步讨论中,求得a值后,容易忽略对所求a值的验证.【易错警示】解答本题有三点容易出错命题角度3:函数的极值和最值的综合问题【典例4】已知x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex的一个极值点.(1)求实数a的值.(2)求函数f(x)在x∈上的最大值和最小值.命题角度3:函数的极值和最值的综合问题【解题提示】(1)由x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a-3)ex的一个极值点可得到x=2是f′(x)=0的根,从而求出a.(2)求导函数,可得函数在x=1,x=2处取极值,比较极值与端点函数值,即可得到结论.【解题提示】(1)由x=2是函数f(x)=(x2+ax-2a【规范解答】(1)由f(x)=(x2+ax-2a-3)ex可得,f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-2a-3)ex=[x2+(2+a)x-a-3]ex.因为x=2是函数f(x)的一个极值点,所以f′(2)=0,所以(a+5)e2=0,解得a=-5.经验证,a=-5符合题意.【规范解答】(1)由f(x)=(x2+ax-2a-3)ex可(2)由(1)知,f′(x)=(x-2)(x-1)ex,所以函数在x=1,x=2处取极值.因为f(1)=3e,f(2)=e2,f(3)=e3,所以函数f(x)在x∈上的最小值为f(2)=e2,最大值为f(3)=e3.(2)由(1)知,f′(x)=(x-2)(x-1)ex,所以悟·技法1.求函数f(x)极值的方法(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导函数f′(x).(3)求方程f′(x)=0的根.(4)检查f′(x)在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果f′(x)在这个根的左右两侧符号不变,则f(x)在这个根处没有极值.悟·技法2.求y=f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.求y=f(x)在[a,b]上的最值的方法通·一类1.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为(

)A.-

B.

C.-2

D.2通·一类【解析】选A.因为a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x,所以导函数f′(x)=3ax2+b+2xln2.因为a,b为正实数,所以当0≤x≤1时,3ax2≥0,2xln2>0,所以f′(x)>0,即f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(1)最大且为a+b+2=4⇒a+b=2①;又当-1≤x≤0时,3ax2≥0,2xln2>0,所以f′(x)>0,即f(x)在[-1,0]上是增函数,所以f(-1)最小且为-(a+b)+②,将①代入②得f(-1)=-2+=-,故选A.【解析】选A.因为a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d为常数)，在x∈(0,1)内取得极大值，在x∈(1,2)内取得极小值，则(c-3)2的取值范围是()2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d为常【解析】选D.因为f(x)=x3+bx2+cx+d,所以f′(x)=3x2+2bx+c.因为函数f(x)在x∈(0,1)内取得极大值,在x∈(1,2)内取得极小值,所以f′(x)=3x2+2bx+c=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根,所以f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,【解析】选D.因为f(x)=x3+bx2+cx+d,即在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，表示点A(-，3)与可行域内的点连线的距离的平方，点A(-，3)到直线3+2b+c=0的距离为由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为，与点A的距离为5，所以的取值范围是(5，25)，故选D.即在bOc坐标系中画出其表示3.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值