第六章-投影变换-画法几何与机械制图-教案课件

画法几何学(第六版)电子教案第六章

投影变换第一节概述第二节换面法第三节*旋转法—绕投影面垂直轴旋转第四节*旋转法—绕投影面平行轴旋转第五节综合性问题解法举例退出画法几何学(第六版)电子教案第六章

投影变换第一节第二节第三1使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影特性获得实长、

获得实形、实角、

利用积聚性投影特性获得实角；

获得两几何元素的交集。§6-1概述下一节返回投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。常见的投影变换方法有换面法和旋转法。退出使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影2利用平行性获得实长特殊位置一般位置实长返回利用平行性获得实长特殊位置一般位置实长返3利用平行性获得实形实形特殊位置一般位置返回实角利用平行性获得实形实形特殊位置一般位置返实角4利用平行性获得实角实角特殊位置一般位置返回利用平行性获得实角实角特殊位置一般位置返5利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集特殊位置一般位置返回利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集特殊位置一般位置返6一、换面法的基本概念二、点的投影变换规律2、点的两次变换3、四个基本问题(1)把一般位置直线变为投影面平行线1、点的一次变换§6-2换面法(2)把一般位置直线变为投影面垂直线(3)把一般位置平面变为投影面垂直面(4)把一般位置平面变为投影面平行面点在V1/H

体系中的投影点在V/H1体系中的投影上一节下一节返回退出一、换面法的基本概念二、点的投影变换规律2、点的两次变换3、71.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置换面法的基本概念2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面选择新投影面的原则：平行X1轴//abc实形平行投影图动画中途返回请按“ESC”键1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置换面法的基8点的一次变换点在V1/H

体系中的投影不变投影新投影旧投影.旧投影面新投影面不变投影面动画中途返回请按“ESC”键点的一次变换点在V1/H体系中的投影不变投影新投影旧投影.9点的一次变换点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..动画中途返回请按“ESC”键点的一次变换点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..10点的二次变换..动画中途返回请按“ESC”键点的二次变换..动画中途返回请按“ESC”键11把一般位置直线变为投影面平行线更换水平投影面动画中途返回请按“ESC”键把一般位置直线变为投影面平行线更换水平投影面动画中途返回请12把一般位置线变为投影面垂直线一次变换可将投影面平行线变换为投影面垂直线.动画中途返回请按“ESC”键把一般位置线变为投影面垂直线一次变换可将投影面平行线变换为投13把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直动画中途返回请按“ESC”键把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直动画中途返回请按“14把一般位置平面变为投影面平行面一次变换可将投影面垂直面变为投影面平行面中途返回请按“ESC”键把一般位置平面变为投影面平行面一次变换可将投影面垂直面变为投15工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满足几个条件。解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实

现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。

如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨迹法”，即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。§6-5综合性问题解法举例综合性问题解法举例（一）距离和角度的度量综合性问题解法举例（二）解题中的常见轨迹上一节返回退出下一页工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、16解题中的常见轨迹1.过定点与定直线相交的直线的轨迹——2.与定平面平行（等距）的直线的轨迹——3.与两相交直线或两相交平面等距的点的轨迹——4.与定直线等距的点的轨迹——5.与定直线平行，且距离为定长的直线的轨迹——6.与定直线距离为定长的直线的轨迹——7.过直线上一点与该直线保持固定夹角的直线轨迹——9.与定点等距的点的轨迹——另外。题目中若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等边三角形、到两点等距等，它们的轨迹通常为一直线的垂面。

因为这些几何图形都具有垂直要素，例如：菱形的对角线

垂直平分；等腰三角形底边上的高垂直平分于底边等。解题时，可利用这些图形的几何性质。平面。圆柱面。其平行面。其角平分面。圆柱面。一圆柱面的切平面。圆锥面。圆球面。8.过一点与定平面保持固定夹角的直线轨迹——圆锥面。中途返回请按“ESC”键解题中的常见轨迹1.过定点与定直线相交的直线的轨迹——2.与17过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线CD

相交综合性问题解法举例（一）解题方案一(空间分析)：在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题解题方案二（空间分析）：在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题试过定点A作直线与已知直线EF正交在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题矩形ABCD

的顶点B

在直线MC

上，画出它的V、H

面投影过线段AB

作一平面垂直于平面△DEF例5例4例6例7退出过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线CD相交综合性18例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题步骤：空间分析3.连KS

即为所求1.过点K

作平面KFG

平行于△CDE2.求直线AB

与平面KFG

的交点S——在V/H

投影体系中直接解题：解题方案一中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交19例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交.解题步骤：5.连k1’s1’3.过k1’作平面Q

平行于c1’d1’e1’4.求a1’b1’与平面Q

的交点s1’——应用换面法在H/V1体系中解题：2.直线AB、点K随之变换6.将k1’s1’返回原体系1.将△CDE

变换为新投影面的垂直面解题方案一中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交20例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交——在V/H

投影体系中直接解题：解题方案二空间分析解题步骤：1.作△KAB

2.求△KAB

与△DEF

的交线MN3.过点K

作直线MN的平行线KS

中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交21例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题方案二——应用换面法在V/H1体系中解题：解题步骤：1.作△KAB

2.换面法求△KAB与△DEF

的交线MN3.过点K

作直线MN

的平行线KS

中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交解22例5试过定点A

作直线与已知直线EF

正交解题步骤：3.连KA

即为所求1.过点A

作直线EF

的垂面2.求直线EF与所作垂面AIII

的交点K

..空间分析——在V/H

投影体系中直接解题：中途返回请按“ESC”键例5试过定点A作直线与已知直线EF正交解题步骤：3.连23例5试过定点A

作直线与已知直线EF

正交解题步骤：3.过a1’作e1’f1’的垂线,得k1’2.点A

随之变换

4.将k1’a1’返回原体系1.将直线EF

变换为新投影面的平行线——应用换面法在H/V1体系中解题：中途返回请按“ESC”键例5试过定点A作直线与已知直线EF正交解题步骤：3.过24例6矩形ABCD

的顶点B

在直线MC

上，画出它的V、H

面投影解题步骤：3.过a1’作m1’c1’的垂线(面),得b1’2.点A

随之变换

4.将a1’b1’返回原体系1.将直线MC

变换为新投影面的平行线5.依对边平行作

出另两条边

空间分析：中途返回请按“ESC”键例6矩形ABCD的顶点B在直线MC上，画出它的V、H25例7过线段AB

作一平面垂直于平面DEF平行解题步骤：5.将b1’c1’返回原体系4.求作bc(//X1轴)2.直线AB

随之变换1.将△DEF

变换为新投影面的垂直面3.过a1’b1’上任一点作d1’e1’f1’的垂线得c1’空间分析中途返回请按“ESC”键例7过线段AB作一平面垂直于平面DEF平行解题步骤：5.26距离的度量1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离4.两交叉直线之间的距离5.点到平面之间的距离6.直线到平面之间的距离3.两平行直线之间的距离角度的度量1.两相交直线之间的夹角2.直线与平面间的夹角3.两平面间的夹角7.平面到平面之间的距离退出距离的度量1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离4.两交271、点到点之间的距离中途返回请按“ESC”键1、点到点之间的距离中途返回请按“ESC”键282、点到直线之间的距离中途返回请按“ESC”键2、点到直线之间的距离中途返回请按“ESC”键293、两平行直线之间的距离中途返回请按“ESC”键求两平行直线AB

和CD

之间的距离在V/H

投影体系中直接解题例8应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题应用换面法在V1/H2体系中解题3、两平行直线之间的距离中途返回请按“ESC”键求两平行直线30例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离实长——在V/H

投影体系中直接解题：解题步骤：4.求作EF

的实长2.求直线CD

与所作垂面的交点F

3.连e’f’、ef即为所求距离的投影1.过一条直线AB

上任一点E

作另一条直线CD

的垂面中途返回请按“ESC”键例8求两平行直线AB和CD之间的距离实长——在V/H31例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离.⊿Z——应用换面法在H/V1体系中解题：——应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：3.求作EF

的实长2.求两直线的公垂线EF

1.将两已知平行直线变换为投影面平行线解题步骤：2.e2f2即反映EF

的实长实长实长1.接上一步，将两已知平行直线变换为投影面垂直线中途返回请按“ESC”键例8求两平行直线AB和CD之间的距离.⊿Z——应用换32例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离实长——应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：2.求作EF

的实长1.将两已知平行直线构成的平面经两次变换，变成投影面平行面中途返回请按“ESC”键例8求两平行直线AB和CD之间的距离实长——应用换面334、两交叉直线之间的距离在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置例9中途返回请按“ESC”键距离4、两交叉直线之间的距离在V/H投影体系中直接解题应用换面34空间分析：解题思路：3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交直线CD于点S

2.过直线AB上任一点M作平面P的垂线，求出垂足N

例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置1.含直线CD作平面P平行于AB4.过点S作直线ST平行于直线MN,ST即为所求

中途返回请按“ESC”键空间分析：解题思路：3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交35例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：空间分析——在V/H

投影体系中直接解题：直线AB,交CD

于点S

3.过垂足N

作直线EF

平行于面CDG

的垂线,N

为垂足2.过直线AB

上任一点M

作平1.过直线CD上任一点C

作直线CG

平行于AB,连DG交直线AB

于点T,ST即为4.过点S

作直线MN

的平行线,所求

中途返回请按“ESC”键例9求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的36空间分析：解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置1.将两直线之一变换为投影面垂直线

中途返回请按“ESC”键空间分析：解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即37例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：3.将s2t2返回原体系ST

的投影s2t22.在投影面H2中作公垂线空间分析——应用换面法解题：1.将两已知直线之一CD

变换为投影面垂直线,直线

AB随之变换

中途返回请按“ESC”键距离实长例9求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的385、点到平面之间的距离平行四边形ABCD

给定一平面，试求点S

至该平面的距离例10中途返回请按“ESC”键5、点到平面之间的距离平行四边形ABCD给定一平面，试求点39例10平行四边形ABCD

给定一平面，试求点S

至该平面的距离.解题步骤：3.过S

作ABCD的垂线,s1’k1’即为所求2.点S

随之变换

1.将平面ABCD

变换为新投影面的垂直面空间分析：距离中途返回请按“ESC”键距离实长例10平行四边形ABCD给定一平面，试求点S至该平面的406、直线到平行平面过直线上任一点作平面的垂线..中途返回请按“ESC”键6、直线到平行平面过直线上任一点作平面的垂线..中途返回请按41两相交直线之间的夹角实形实角中途返回请按“ESC”键两相交直线之间的夹角实形实角中途返回请按“ESC”键42直线与平面间的夹角求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定求直线AB

与平面DEF

之间的夹角θ例11例12中途返回请按“ESC”键直线与平面间的夹角求直线HG与平面的夹角，平面由四边形AB43解题思路：例11求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定1.过点H

作平面ABCD

的垂线

2.作直线EF，求出HEF

的实形，得3.求

的余角

中途返回请按“ESC”键解题思路：例11求直线HG与平面的夹角，平面由四边形AB44例11求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定垂直垂直空间分析中途返回请按“ESC”键即为所求例11求直线HG与平面的夹角，平面由四边形ABCD给定45解题思路：例12求直线AB与平面DEF之间的夹角θ经3次变换投影面，在V3投影面中求作角中途返回请按“ESC”键解题思路：例12求直线AB与平面DEF之间的夹角θ经346例12求直线AB

与平面DEF

之间的夹角θ空间分析中途返回请按“ESC”键例12求直线AB与平面DEF之间的夹角θ空间分析中途返47两平面间的夹角求△ABC

与△ABD

之间的夹角例13中途返回请按“ESC”键实角两平面间的夹角求△ABC与△ABD之间的夹角例13中途返48解题思路：例13求两平面之间的夹角将两平面的交线变换为新投影面垂直线，则反映角实形中途返回请按“ESC”键解题思路：例13求两平面之间的夹角将两平面的交线变换为49例13求△ABC

与△ABD

之间的夹角空间分析解题步骤：2.两平面

随之变换

1.将交线AB

变换为新投影面的垂直线3.角即为所求中途返回请按“ESC”键例13求△ABC与△ABD之间的夹角空间分析解题步骤：50在直线AB

上求一点K,距点C

为20mm综合性问题解法举例（二）符合求解条件的“轨迹”为圆球面过点A

作直线，令它与H

面夹角为45度，

并垂直于线段BC找出与点A

距离为L，与直线CD

距离为L1

的

所有点的集合符合求解条件的“轨迹”为圆锥面符合求解条件的“轨迹”为圆球面和圆柱面例14例15例16退出在直线AB上求一点K,距点C为20mm综合性问题解法举51例14在直线AB

上求一点K,距点C

为20mm20

解题步骤：将直线AB

变换为投影面平行线1.求距点C

距离为20的所有点的轨迹—R=20的圆球面2.求直线AB

与圆球面的贯穿点圆球面随之变换

求作贯穿点K中途返回请按“ESC”键例14在直线AB上求一点K,距点C为20mm20解52例15

过点A

作直线，令它与H

面夹角为45度，并垂直于线段BC解题步骤：3.圆锥面随之变换2.将直线AB

变换为投影面平行线1.求过点A

与H

面角度为45度的所有直线的轨迹—圆锥面4.过点A

作垂直于线段BC

的所有直线轨迹—平面P5.求平面P

与圆锥面的截交线45

中途返回请按“ESC”键例15过点A作直线，令它与H面夹角为45度，并垂直于线53例16找出与点A

距离为L，与直线CD

距离为L1

的所有点的集合LL1解题步骤：3.求圆球面与圆柱面的相贯线1.求距点A

距离为L

的所有点的轨迹—R=L的圆球面2.求距直线CD

距离为L1的所有直线的轨迹—R=L1的圆柱面中途返回请按“ESC”键例16找出与点A距离为L，与直线CD距离为L1的所有54本章结束返回退出上一页本章结束返退出上一页55投影图：ABC实形.中途返回请按“ESC”键投影图：ABC实形.中途返回请按“ESC”键56更换水平投影面中途返回请按“ESC”键更换水平投影面中途返回请按“ESC”键57换面法的基本概念退出换面法的基本概念退58点的一次变换V1/H退出点的一次变换V1/H退59点的一次变换V/H1退出点的一次变换V/H1退60点的二次变换退出点的二次变换退61把一般位置直线变为投影面平行线退出把一般位置直线变为投影面平行线退62把一般位置直线变为投影面垂直线退出把一般位置直线变为投影面垂直线退63把一般位置平面变为投影面垂直面退出把一般位置平面变为投影面垂直面退64把投影面平行线变为投影面垂直线退出把投影面平行线变为投影面垂直线退657、两平行平面之间的距离过一平面上任一点作另一平面的垂线中途返回请按“ESC”键7、两平行平面之间的距离过一平面上任一点作另一平面的垂线中途66一次变换可将投影面平行线变为投影面垂直线..垂直动画中途返回请按“ESC”键一次变换可将投影面平行线变为投影面垂直线..垂直动画中途返67050568画法几何学(第六版)电子教案第六章

投影变换第一节概述第二节换面法第三节*旋转法—绕投影面垂直轴旋转第四节*旋转法—绕投影面平行轴旋转第五节综合性问题解法举例退出画法几何学(第六版)电子教案第六章

投影变换第一节第二节第三69使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影特性获得实长、

获得实形、实角、

利用积聚性投影特性获得实角；

获得两几何元素的交集。§6-1概述下一节返回投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。常见的投影变换方法有换面法和旋转法。退出使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影70利用平行性获得实长特殊位置一般位置实长返回利用平行性获得实长特殊位置一般位置实长返71利用平行性获得实形实形特殊位置一般位置返回实角利用平行性获得实形实形特殊位置一般位置返实角72利用平行性获得实角实角特殊位置一般位置返回利用平行性获得实角实角特殊位置一般位置返73利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集特殊位置一般位置返回利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集特殊位置一般位置返74一、换面法的基本概念二、点的投影变换规律2、点的两次变换3、四个基本问题(1)把一般位置直线变为投影面平行线1、点的一次变换§6-2换面法(2)把一般位置直线变为投影面垂直线(3)把一般位置平面变为投影面垂直面(4)把一般位置平面变为投影面平行面点在V1/H

体系中的投影点在V/H1体系中的投影上一节下一节返回退出一、换面法的基本概念二、点的投影变换规律2、点的两次变换3、751.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置换面法的基本概念2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面选择新投影面的原则：平行X1轴//abc实形平行投影图动画中途返回请按“ESC”键1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置换面法的基76点的一次变换点在V1/H

体系中的投影不变投影新投影旧投影.旧投影面新投影面不变投影面动画中途返回请按“ESC”键点的一次变换点在V1/H体系中的投影不变投影新投影旧投影.77点的一次变换点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..动画中途返回请按“ESC”键点的一次变换点在V/H1体系中的投影旧投影不变投影新投影..78点的二次变换..动画中途返回请按“ESC”键点的二次变换..动画中途返回请按“ESC”键79把一般位置直线变为投影面平行线更换水平投影面动画中途返回请按“ESC”键把一般位置直线变为投影面平行线更换水平投影面动画中途返回请80把一般位置线变为投影面垂直线一次变换可将投影面平行线变换为投影面垂直线.动画中途返回请按“ESC”键把一般位置线变为投影面垂直线一次变换可将投影面平行线变换为投81把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直动画中途返回请按“ESC”键把一般位置平面变为投影面垂直面正平线垂直动画中途返回请按“82把一般位置平面变为投影面平行面一次变换可将投影面垂直面变为投影面平行面中途返回请按“ESC”键把一般位置平面变为投影面平行面一次变换可将投影面垂直面变为投83工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综合问题，其突出特点是要受若干条件的限制，求解时往往要同时满足几个条件。解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实

现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。

如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨迹法”，即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。§6-5综合性问题解法举例综合性问题解法举例（一）距离和角度的度量综合性问题解法举例（二）解题中的常见轨迹上一节返回退出下一页工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、84解题中的常见轨迹1.过定点与定直线相交的直线的轨迹——2.与定平面平行（等距）的直线的轨迹——3.与两相交直线或两相交平面等距的点的轨迹——4.与定直线等距的点的轨迹——5.与定直线平行，且距离为定长的直线的轨迹——6.与定直线距离为定长的直线的轨迹——7.过直线上一点与该直线保持固定夹角的直线轨迹——9.与定点等距的点的轨迹——另外。题目中若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等边三角形、到两点等距等，它们的轨迹通常为一直线的垂面。

因为这些几何图形都具有垂直要素，例如：菱形的对角线

垂直平分；等腰三角形底边上的高垂直平分于底边等。解题时，可利用这些图形的几何性质。平面。圆柱面。其平行面。其角平分面。圆柱面。一圆柱面的切平面。圆锥面。圆球面。8.过一点与定平面保持固定夹角的直线轨迹——圆锥面。中途返回请按“ESC”键解题中的常见轨迹1.过定点与定直线相交的直线的轨迹——2.与85过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线CD

相交综合性问题解法举例（一）解题方案一(空间分析)：在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题解题方案二（空间分析）：在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题试过定点A作直线与已知直线EF正交在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题矩形ABCD

的顶点B

在直线MC

上，画出它的V、H

面投影过线段AB

作一平面垂直于平面△DEF例5例4例6例7退出过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线CD相交综合性86例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题步骤：空间分析3.连KS

即为所求1.过点K

作平面KFG

平行于△CDE2.求直线AB

与平面KFG

的交点S——在V/H

投影体系中直接解题：解题方案一中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交87例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交.解题步骤：5.连k1’s1’3.过k1’作平面Q

平行于c1’d1’e1’4.求a1’b1’与平面Q

的交点s1’——应用换面法在H/V1体系中解题：2.直线AB、点K随之变换6.将k1’s1’返回原体系1.将△CDE

变换为新投影面的垂直面解题方案一中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交88例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交——在V/H

投影体系中直接解题：解题方案二空间分析解题步骤：1.作△KAB

2.求△KAB

与△DEF

的交线MN3.过点K

作直线MN的平行线KS

中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交89例4过点K

作直线与平面△CDE

平行，并与直线AB

相交解题方案二——应用换面法在V/H1体系中解题：解题步骤：1.作△KAB

2.换面法求△KAB与△DEF

的交线MN3.过点K

作直线MN

的平行线KS

中途返回请按“ESC”键例4过点K作直线与平面△CDE平行，并与直线AB相交解90例5试过定点A

作直线与已知直线EF

正交解题步骤：3.连KA

即为所求1.过点A

作直线EF

的垂面2.求直线EF与所作垂面AIII

的交点K

..空间分析——在V/H

投影体系中直接解题：中途返回请按“ESC”键例5试过定点A作直线与已知直线EF正交解题步骤：3.连91例5试过定点A

作直线与已知直线EF

正交解题步骤：3.过a1’作e1’f1’的垂线,得k1’2.点A

随之变换

4.将k1’a1’返回原体系1.将直线EF

变换为新投影面的平行线——应用换面法在H/V1体系中解题：中途返回请按“ESC”键例5试过定点A作直线与已知直线EF正交解题步骤：3.过92例6矩形ABCD

的顶点B

在直线MC

上，画出它的V、H

面投影解题步骤：3.过a1’作m1’c1’的垂线(面),得b1’2.点A

随之变换

4.将a1’b1’返回原体系1.将直线MC

变换为新投影面的平行线5.依对边平行作

出另两条边

空间分析：中途返回请按“ESC”键例6矩形ABCD的顶点B在直线MC上，画出它的V、H93例7过线段AB

作一平面垂直于平面DEF平行解题步骤：5.将b1’c1’返回原体系4.求作bc(//X1轴)2.直线AB

随之变换1.将△DEF

变换为新投影面的垂直面3.过a1’b1’上任一点作d1’e1’f1’的垂线得c1’空间分析中途返回请按“ESC”键例7过线段AB作一平面垂直于平面DEF平行解题步骤：5.94距离的度量1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离4.两交叉直线之间的距离5.点到平面之间的距离6.直线到平面之间的距离3.两平行直线之间的距离角度的度量1.两相交直线之间的夹角2.直线与平面间的夹角3.两平面间的夹角7.平面到平面之间的距离退出距离的度量1.点到点之间的距离2.点到直线之间的距离4.两交951、点到点之间的距离中途返回请按“ESC”键1、点到点之间的距离中途返回请按“ESC”键962、点到直线之间的距离中途返回请按“ESC”键2、点到直线之间的距离中途返回请按“ESC”键973、两平行直线之间的距离中途返回请按“ESC”键求两平行直线AB

和CD

之间的距离在V/H

投影体系中直接解题例8应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题应用换面法在V1/H2体系中解题3、两平行直线之间的距离中途返回请按“ESC”键求两平行直线98例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离实长——在V/H

投影体系中直接解题：解题步骤：4.求作EF

的实长2.求直线CD

与所作垂面的交点F

3.连e’f’、ef即为所求距离的投影1.过一条直线AB

上任一点E

作另一条直线CD

的垂面中途返回请按“ESC”键例8求两平行直线AB和CD之间的距离实长——在V/H99例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离.⊿Z——应用换面法在H/V1体系中解题：——应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：3.求作EF

的实长2.求两直线的公垂线EF

1.将两已知平行直线变换为投影面平行线解题步骤：2.e2f2即反映EF

的实长实长实长1.接上一步，将两已知平行直线变换为投影面垂直线中途返回请按“ESC”键例8求两平行直线AB和CD之间的距离.⊿Z——应用换100例8求两平行直线AB

和CD

之间的距离实长——应用换面法在V1/H2体系中解题：解题步骤：2.求作EF

的实长1.将两已知平行直线构成的平面经两次变换，变成投影面平行面中途返回请按“ESC”键例8求两平行直线AB和CD之间的距离实长——应用换面1014、两交叉直线之间的距离在V/H

投影体系中直接解题应用换面法解题求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置例9中途返回请按“ESC”键距离4、两交叉直线之间的距离在V/H投影体系中直接解题应用换面102空间分析：解题思路：3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交直线CD于点S

2.过直线AB上任一点M作平面P的垂线，求出垂足N

例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置1.含直线CD作平面P平行于AB4.过点S作直线ST平行于直线MN,ST即为所求

中途返回请按“ESC”键空间分析：解题思路：3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交103例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：空间分析——在V/H

投影体系中直接解题：直线AB,交CD

于点S

3.过垂足N

作直线EF

平行于面CDG

的垂线,N

为垂足2.过直线AB

上任一点M

作平1.过直线CD上任一点C

作直线CG

平行于AB,连DG交直线AB

于点T,ST即为4.过点S

作直线MN

的平行线,所求

中途返回请按“ESC”键例9求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的104空间分析：解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置1.将两直线之一变换为投影面垂直线

中途返回请按“ESC”键空间分析：解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即105例9求两交叉直线AB

和CD

的距离，并定出它们的公垂线的位置解题步骤：3.将s2t2返回原体系ST

的投影s2t22.在投影面H2中作公垂线空间分析——应用换面法解题：1.将两已知直线之一CD

变换为投影面垂直线,直线

AB随之变换

中途返回请按“ESC”键距离实长例9求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们的公垂线的1065、点到平面之间的距离平行四边形ABCD

给定一平面，试求点S

至该平面的距离例10中途返回请按“ESC”键5、点到平面之间的距离平行四边形ABCD给定一平面，试求点107例10平行四边形ABCD

给定一平面，试求点S

至该平面的距离.解题步骤：3.过S

作ABCD的垂线,s1’k1’即为所求2.点S

随之变换

1.将平面ABCD

变换为新投影面的垂直面空间分析：距离中途返回请按“ESC”键距离实长例10平行四边形ABCD给定一平面，试求点S至该平面的1086、直线到平行平面过直线上任一点作平面的垂线..中途返回请按“ESC”键6、直线到平行平面过直线上任一点作平面的垂线..中途返回请按109两相交直线之间的夹角实形实角中途返回请按“ESC”键两相交直线之间的夹角实形实角中途返回请按“ESC”键110直线与平面间的夹角求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定求直线AB

与平面DEF

之间的夹角θ例11例12中途返回请按“ESC”键直线与平面间的夹角求直线HG与平面的夹角，平面由四边形AB111解题思路：例11求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定1.过点H

作平面ABCD

的垂线

2.作直线EF，求出HEF

的实形，得3.求

的余角

中途返回请按“ESC”键解题思路：例11求直线HG与平面的夹角，平面由四边形AB112例11求直线HG

与平面的夹角，平面由四边形ABCD

给定垂直垂直空间分析中途返回请按“ESC”键即为所求例11求直线HG与平面的夹角，平面由四边形ABCD给定113解题思路：例12求直线AB与平面DEF之间的夹角θ经3次变换投影面，在V3投影面中求作角中途返回请按“ESC”键解题思路：例12求直线AB与平面DEF之