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文档简介
MultipleRegressionAnalysis:OLSAsymptotics
(1)
多元回归分析:
OLS的渐近性(1)y=b0+b1x1+b2x2
+...+bkxk+u1IntermediateEconometrics,YanShenMultipleRegressionAnalysis:ChapterOutline本章提纲Consistency一致性AsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断AsymptoticEfficiencyofOLSOLS的渐近有效性
2IntermediateEconometrics,YanShenChapterOutline本章提纲ConsistencLectureOutline本课提纲Whatdowemeanbysayingconsistency
一致性的含义是什么ConsistencyofOLSestimatorsOLS估计量的一致性TheInconsistencyofOLSwhenthezeroconditionalmeanassumptionfails
当零条件均值假设不成立时OLS没有一致性。Whatdowemeanbyasymptoticnormalityandlargesampleinference
渐近正态性和大样本推断的含义是什么TheasymptoticnormalityofOLSOLS的渐近正态3IntermediateEconometrics,YanShenLectureOutline本课提纲WhatdoWhyconsideringconsistency?
为什么考虑一致性Wehavediscussedthefollowingfinitesample(smallsample)propertiesoftheOLSestimatorsandteststatistics:
我们已经讨论了有限样本(小样本)中OLS估计量和检验统计量具有的如下性质:UnbiasednessofOLSestimators(MLR.1-4)在MLR.1-4下OLS估计量具有无偏性BLUEofOLSestimators(MLR.1-5)在MLR.1-5下OLS估计量是最优线性无偏估计量MVUEofOLSestimators(MLR.1-6)在MLR.1-6下OLS估计量是最小方差无偏估计量Thedistributionoft(F)statisticist(F)distributiont(F)统计量的分布为t(F)分布。Thesepropertiesholdforanysamplesizen.
样本容量为任意n时,这些性质都成立。4IntermediateEconometrics,YanShenWhyconsideringconsistency?
为Whyconsiderconsistency?
为什么考虑一致性Sinceinmanysituationstheerrortermisnotnormallydistributed,itisimportanttoknowtheasymptoticproperties(largesampleproperties),i.e.,thepropertiesofOLSestimatorandteststatisticswhenthesamplesizegrowswithoutbound.
由于在很多情形下误差项可能呈现非正态分布,了解OLS估计量和检验统计量的渐近性,即当样本容量任意大时的特性就是重要的问题。5IntermediateEconometrics,YanShenWhyconsiderconsistency?
为什么考WhatisConsistency
什么是一致性令是基于样本的关于的估计量。如果对于任何,当时便是的一个一致估计量。当具有一致性时,我们也称为的概率极限,写作是6IntermediateEconometrics,YanShenWhatisConsistency
什么是一致性令Consistencyv.s.unbiasedness
一致性与无偏性Isitpossibleforanestimatortobebiasedinfinitesamplebutconsistentinlargesample? 一个估计量是否有可能在有限样本中是有偏的但又具有一致性?Supposetruevalueofz=0,arandomvariablex=zwithprobability(n-1)/n,andx=nwithprobability1/n.
假设Z的真值为0,一个随机变量X以(n-1)/n的概率取值为Z,而以1/n的概率取值为n。E(x)=z*(n-1)/n+n*1/n=1X的期望为1plim(x)isthevalueofxasngoestoinfinity.Thereforeplim(x)=z=0.
记plim(x)为n趋向无穷大时x的取值。因此
plim(x)=z=0.7IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyv.s.unbiasedness
Consistencyv.s.unbiasedness
一致性与无偏性Isitpossibleforanestimatortobeunbiasedbutinconsistent?
是否有可能(一个估计量)是无偏却不一致的?Supposetruevalueofz=0,arandomvariablex=0.5withprobability0.5,andx=-0.5withprobability0.5.ThenE(x)=0.Butasxalwaysfluctuatesaroundthelinex=0,itsvariancedoesnotvanishasngoestoinfinity.Therefore,itisaninconsistentestimatorofz.假设Z的真值为0,一个随机变量X以0.5的概率取0.5,而以0.5的概率取-0.5,那么X的期望为0。但是
X总是在X=0这条线上下摆动,当n趋向无穷大时,它的方差并不会趋于0。因此,它是Z的不一致的估计量。8IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyv.s.unbiasedness
Consistencyv.s.unbiasedness
一致性与无偏性Unbiasedestimatorsarenotnecessarilyconsistent,butthosewhosevariancesshrinktozeroasthesamplesizegrowsareconsistent.无偏估计量未必是一致的,但是那些当样本容量增大时方差会收缩到零的无偏估计量是一致的。9IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyv.s.unbiasedness
Consistency
一致性
UndertheGauss-MarkovassumptionsOLSisBLUE,butinothercasesitwon’talwaysbepossibletofindunbiasedestimators在高斯-马尔可夫假定下OLS是最优线性无偏估计量,但在别的情形下不一定能找到无偏估计量。Inthosecases,wemaysettleforestimatorsthatareconsistent,meaningasn∞,thedistributionoftheestimatorcollapsestothetrueparametervalue在那些情形下,我们只要找到一致的估计量,即当n∞时,这些估计量的分布退化为参数的真值。10IntermediateEconometrics,YanShenConsistency
一致性UndertheGausSamplingDistributionsasnincreases
当n增加时样本的分布b1n1n2n3n1<n2<n3Samplingdistri-butionofβ1例:n1:每次从班上抽取10人,抽若干次后,平均身高的分布;n2:每次从班上抽取100人,抽若干次后,平均身高的分布;n3:每次从班上抽取200人,抽若干次后,平均身高的分布。11IntermediateEconometrics,YanShenSamplingDistributionsasninConsistencyofOLS
OLS的一致性
Theorem5.1:UnderAssumptionsMLR.1throughMLR.4,theOLSestimatorisconsistentforboththeinterceptandslopeparameters.
定理5.1:在假设MLR.1到MLR.4下,OLS截距估计量和斜率估计量都是一致的估计量。Consistencycanbeprovedforthesimpleregressioncaseinamannersimilartotheproofofunbiasedness对简单回归而言,证明估计量的一致性和证明无偏性的方法是类似的。12IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyofOLS
OLS的一致性TheProvingConsistency
证明一致性13IntermediateEconometrics,YanShenProvingConsistency
证明一致性13IntProvingConsistency
证明一致性14IntermediateEconometrics,YanShenProvingConsistency
证明一致性14IntProofofOLSConsistency
证明OLS的一致性AgeneralproofofconsistencyoftheOLSestimatorsfromthemultivariateregressioncasecanbeshownthroughmatrixmanipulations.多元回归中OLS估计量的一致性的证明可以通过矩阵运算得到。15IntermediateEconometrics,YanShenProofofOLSConsistency
证明OLSAWeakerAssumption
一个更弱的假定
Forunbiasedness,weassumedazeroconditionalmean–E(u|x1,x2,…,xk)=0要获得估计量的无偏性,我们假定零条件期望–E(u|x1,x2,…,xk)=0Forconsistency,wecanhavetheweakerassumptionofzeromeanandzerocorrelation(MLR.3’)–E(u)=0andCov(xj,u)=0,forj=1,2,…,k
而要获得估计量的一致性,我们可以使用更弱的假定:零期望和零相关性假定。Withoutthisassumption,OLSwillbebiasedandinconsistent!
如果这个较弱的假定也不成立,OLS将是有偏而且不一致的。16IntermediateEconometrics,YanShenAWeakerAssumption
一个更弱的假定FoDerivingtheInconsistency
推导不一致性
Definetheasymptoticbiasas , thenconsiderthefollowingtruemodelandestimatedmodel:定义渐近偏差为:,并考虑下面的真实模型和待估计模型。17IntermediateEconometrics,YanShenDerivingtheInconsistency
推导不AsymptoticBias(cont)
渐近偏差(续)
So,thinkingaboutthedirectionoftheasymptoticbiasisjustlikethinkingaboutthedirectionofbiasforanomittedvariable
所以,考虑渐近偏差的方向就像是考虑存在一个遗漏变量时偏差的方向。Maindifferenceisthatasymptoticbiasusesthepopulationvarianceandcovariance,whilebiasusesthesamplecounterparts
主要的区别在于渐近偏差用总体方差和总体协方差表示,而偏差则是基于它们在样本中的对应量。Remember,inconsistencyisalargesampleproblem–itdoesn’tgoawayasadddata
记住,不一致性是一个大样本问题。因此,当数据增加时候这个问题并不会消失。18IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticBias(cont)
渐近偏差(续)Consistencywithendogeneity
有内生性时的一致性Considerthetruemodeltobey=b0+b1x1+b2x2+ubut cov(u
,
x1)~=0.
考虑真实模型为y=y=b0+b1x1+b2x2+u,但 而u和x1相关。Whencov(x1,
x2)~=0butcov(u
,
x2)=0,thenOLSestimatorsforb1and
b2areinconsistent.
若x1和x2相关,而u和x2不相关,则对b1和b2的OLS估计量都是不一致的。Whencov(x1,
x2)=0andcov(u
,
x2)=0,onlyb1isinconsistent. 若x1和x2不相关,且u和x2不相关,则只有对b1的OLS估计量是不一致的19IntermediateEconometrics,YanShenConsistencywithendogeneity
有AsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Consistencyofanestimatorisanimportantproperty,butitalonedoesnotallowustoperformstatisticalinference.估计量的一致性是一条重要性质,但我们并不能只靠它来进行统计推断。RecallthatundertheClassicalLinearModelassumptions,thesamplingdistributionsarenormal,sowecouldderivetandFdistributionsfortesting
在经典线性模型假设下,样本的分布是正态分布,因而我们能够推出t分布和F分布用于检验。20IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Thisexactnormalitywasduetoassumingthepopulationerrordistributionwasnormal
这种准确的正态分布来自于总体误差的分布是正态分布的假定。Thisassumptionofnormalerrorsimpliedthatthedistributionofy,giventhex’s,wasnormalaswell这个正态误差的假定意味着当x给定时,y的分布也是正态分布。21IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Whynormalityassumptionisneeded?
为什么需要正态性假定?Forprovingunbiasedness?–No.
为了证明无偏性?-不是ForprovingBLUE?–No.
为了证明最优线性估计量?不是FormakingexactinferencewhenusingtorFstatistics?–Yes.
为了能够用t统计量和F统计量作精确的推断?是的22IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断
Easytocomeupwithexamplesforwhichthisexactnormalityassumptionwillfail
很容易碰到一些例子,其中严格的正态性假定并不能成立Anyclearlyskewedvariable,likewages,arrests,savings,etc.can’tbenormal,sinceanormaldistributionissymmetric
任何一个明显不对称的变量,像工资,拘捕次数,储蓄量,等等都不可能服从正态分布,因为正态分布是对称的。23IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Whattodo?
我们要做些什么?Willestimatorsbecomeapproximatelynormallydistributedwhensamplesizegetslarge?
当样本容量变大时是否估计量会渐近地趋向于正态分布?WearediscussingwhetherOLSestimatorsatisfyasymptoticnormality.
我们讨论是否OLS估计量满足渐近正态性。24IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeCentralLimitTheorem中心极限定理
Basedonthecentrallimittheorem,wecanshowthatOLSestimatorsareasymptoticallynormal基于中心极限定理,我们能够证明OLS估计量是渐近正态。AsymptoticNormalityimpliesthatP(Z<z)F(z)asn,orP(Z<z)F(z)渐近正态意味着当n时,P(Z<z)F(z)或者P(Z<z)Ф(z)Thecentrallimittheoremstatesthatthestandardizedaverageofanypopulationwithmeanmandvariances2isasymptotically~N(0,1),or
中心极限定理指出任何一个均值为µ而方差为σ2
的总体的标准化平均值的分布渐近趋向于N(0,1),或记作25IntermediateEconometrics,YanShenCentralLimitTheoremBasedonTheorem5.2:AsymptoticNormalityofOLS
定理5.2:OLS的渐近正态性26IntermediateEconometrics,YanShenTheorem5.2:AsymptoticNormalTheorem5.2:AsymptoticNormalityofOLS
定理5.2:OLS的渐近正态性27IntermediateEconometrics,YanShenTheorem5.2:AsymptoticNormalWhatisassumedandnotassumedinTheorem5.2
在定理5.2中什么是我们的假定而什么不是ThenormalityassumptionMLR.6isdropped.
去掉了正态性假定MLR.6Stillassumed:
仍然假定:Thedistributionoftheerrorhasfinitevariance.误差的分布具有有限的方差Zeroconditionalmean零条件期望Homoskedasticity同方差性Linearstructureandrandomsample线性结构和随机样本28IntermediateEconometrics,YanShenWhatisassumedandnotassumeUnderstandingTheorem5.2
理解定理5.229IntermediateEconometrics,YanShenUnderstandingTheorem5.2
理解定理UnderstandingTheorem5.2
理解定理5.230IntermediateEconometrics,YanShenUnderstandingTheorem5.2
理解定理AsymptoticNormality(cont)
渐近正态(续)
Becausethetdistributionapproachesthenormaldistributionforlargedf,wecanalsosaythat因为自由度df很大的t分布接近于正态分布,我们也可以得到
Notethatwhilewenolongerneedtoassumenormalitywithalargesample,wedostillneedhomoskedasticity
注意到尽管我们在大样本中不再需要正态性假定,我们仍然需要同方差性31IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormality(cont)
渐近AsymptoticStandardErrors渐近标准误差
Ifuisnotnormallydistributed,wesometimeswillrefertothestandarderrorasanasymptoticstandarderror,since
如果u不是正态分布,我们有时把标准误差称作是渐近标准误差,因为
So,wecanexpectstandarderrorstoshrinkatarateproportionaltotheinverseof√n
所以,我们预计标准误差减小的速度与√n成正比32IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticStandardErrorsIfMultipleRegressionAnalysis
:Asymptotics
多元回归分析:渐近性(2)
y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+u33IntermediateEconometrics,YanShenMultipleRegressionAnalysis
:LectureOutline本课提纲TheasymptoticnormalityofOLSOLS的渐近正态性Largesampletests
大样本检验TheAsymptotictstatistict统计量的渐近性TheLMstatisticLM统计量TheAsymptoticEfficiencyofOLSOLS的渐近有效
34IntermediateEconometrics,YanShenLectureOutline本课提纲TheasymLagrangeMultiplierstatistic
拉格朗日乘子统计量
Onceweareusinglargesamplesandrelyingonasymptoticnormalityforinference,wecanusemorethantandFstats
当我们使用大样本并且依靠渐近正态性进行推断时,除了t和F统计量,我们还可以使用别的统计量。TheLagrangemultiplierorLMstatisticisanalternativefortestingmultipleexclusionrestrictions
拉格朗日乘子或LM统计量是检验多重限定性约束的另一种选择。BecausetheLMstatisticusesanauxiliaryregressionit’ssometimescalledannR2statLM统计量使用一个辅助性的回归,因此它有时被叫做nR2
统计量。
35IntermediateEconometrics,YanShenLagrangeMultiplierstatistic
LMStatistic(cont)
LM统计量(续)
Supposewehaveastandardmodel,
y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+uandournullhypothesisisH0:bk-q+1=0,...,bk=0
假设我们有一个标准模型y=b0+b1x1+b2x2+...bkxk+u
而我们的零假设为:H0:bk-q+1=0,...,bk=0First,wejustrunregressionontherestrictedmodel
首先,我们对被约束的模型进行回归36IntermediateEconometrics,YanShenLMStatistic(cont)
LM统计量(续)SLMStatistic
LM统计量IFtheHnullistrue,thenR-squaredshouldbeclosetozero,since shouldbeapproximatelyuncorrelatedwithalltheindependentvariables.
如果H0为真,那么R-平方应该接近零,因为应该近似地与所有自变量都不相关。Weneedtodecidehowcloseisclosetozero.
我们需要判断接近零的程度。37IntermediateEconometrics,YanShenLMStatistic
LM统计量IFtheHnulLMStatistic
LM统计量
Thefollowingstepscanbeusedfortestingthejointsignificanceofasetofqindependentvariables.
接下去的步骤可以用来检验一组q个自变量的联合显著性。38IntermediateEconometrics,YanShenLMStatistic
LM统计量ThefollowiStepsinvolvedinLMtest
LM检验中的步骤Regressyonrestrictedsetofindependentvariablesandsavetheresiduals,.
将y对被约束的自变量进行回归,保存残差。RegressonalloftheindependentvariablesandobtaintheR-squared,
将对所有自变量进行回归,得到相应的R-平方。ComputeLM=n
计算
LM=nCompareLMtotheappropriatecriticalvalueinachi-squaredistribution.将LM值与卡方分布中相应的临界值进行比较。39IntermediateEconometrics,YanShenStepsinvolvedinLMtest
LM检验CharacteristicsofLMtest
LM检验的特性LMstatisticsissometimesreferredtoasn-R-squaredstatistic,orscorestatistic.LM统计量有时被称作是n-R-平方统计量,或者得分统计量Allthatmattersare相关的因素只有Numberofrestrictions,q
约束q的个数ThesizeoftheauxiliaryR-squared辅助R-平方的大小Thesamplesize样本容量Irrelevant:
不相关的因素:Degreeoffreedomoftheunrestrictedmodel
未约束模型中自由度的个数。Rsquaredfromtheunrestrictedmodeland
restrictedmodel(thefirst-stepregressionmodel)
未约束模型和被约束模型(第一步的回归模型)的R-平方40IntermediateEconometrics,YanShenCharacteristicsofLMtest
LM检LMtestPKFtest&ttest
LM检验与F检验和t检验的优劣对比Withalargesample,theresultfromanFtestandfromanLMtestshouldbesimilar
在大样本中,F检验和LM检验得到的结果相似。UnliketheFtestandttestforoneexclusion,theLMtestandFtestwillnotbeidentical
只有一个约束时,F检验和t检验是等价的,然而LM检验和F检验并不等价。Themainregressionandtheauxiliaryregressionshouldusethesamesetofobservations.主回归和辅助回归必须使用相同的一组观测值。41IntermediateEconometrics,YanShenLMtestPKFtest&ttest
LMAsymptoticEfficiency
渐近有效
UndertheGauss-Markovassumptions,estimatorsbesidesOLScanbeconsistent
在高斯-马尔可夫假定下,OLS估计量以外的估计量可以具有一致性。However,undertheGauss-Markovassumptions,theOLSestimatorswillhavethesmallestasymptoticvariances
但是,在高斯-马尔可夫假定下,OLS估计量具有最小的渐近方差。WesaythatOLSestimatorsareasymptoticallyefficientamongacertainclassofestimatorsundertheGauss-Markovassumptions.
我们说在高斯-马尔可夫假定下OLS估计量是渐近有效的估计量。42IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticEfficiency
渐近有效UndAsymptoticEfficiency
渐近有效Importanttorememberourassumptionsthough,ifnothomoskedastic,thentheaboveconclusionisnottrue.
重要的一点是如果同方差的假定不成立,上述结论也不能成立。ToprovethatOLSestimatorsareasymptoticallyefficient,oneneedsto(1)presentanestimatorthatisconsistentbutitsvarianceislarger.
为了证明OLS估计量是渐近有效的,我们需要(1)给出一致的估计量但证明它有更大的方差。43IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticEfficiency
渐近有效ImpoTheorem5.3AsymptoticEfficiencyofOLSEstimators44IntermediateEconometrics,YanShenTheorem5.3AsymptoticEfficieProvingAsymptoticEfficiencyofOLSEstimators
证明OLS估计量的渐近有效性45IntermediateEconometrics,YanShenProvingAsymptoticEfficiencyProvingAsymptoticEfficiencyofOLSEstimators
证明OLS估计量的渐近有效性46IntermediateEconometrics,YanShenProvingAsymptoticEfficiencyProvingAsymptoticEfficiencyofOLSEstimators
证明OLS估计量的渐近有效性
47IntermediateEconometrics,YanShenProvingAsymptoticEfficiencyProvingAsymptoticEfficiencyofOLSEstimators
证明OLS估计量的渐近有效性48IntermediateEconometrics,YanShenProvingAsymptoticEfficiencyMultipleRegressionAnalysis:OLSAsymptotics
(1)
多元回归分析:
OLS的渐近性(1)y=b0+b1x1+b2x2
+...+bkxk+u49IntermediateEconometrics,YanShenMultipleRegressionAnalysis:ChapterOutline本章提纲Consistency一致性AsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断AsymptoticEfficiencyofOLSOLS的渐近有效性
50IntermediateEconometrics,YanShenChapterOutline本章提纲ConsistencLectureOutline本课提纲Whatdowemeanbysayingconsistency
一致性的含义是什么ConsistencyofOLSestimatorsOLS估计量的一致性TheInconsistencyofOLSwhenthezeroconditionalmeanassumptionfails
当零条件均值假设不成立时OLS没有一致性。Whatdowemeanbyasymptoticnormalityandlargesampleinference
渐近正态性和大样本推断的含义是什么TheasymptoticnormalityofOLSOLS的渐近正态51IntermediateEconometrics,YanShenLectureOutline本课提纲WhatdoWhyconsideringconsistency?
为什么考虑一致性Wehavediscussedthefollowingfinitesample(smallsample)propertiesoftheOLSestimatorsandteststatistics:
我们已经讨论了有限样本(小样本)中OLS估计量和检验统计量具有的如下性质:UnbiasednessofOLSestimators(MLR.1-4)在MLR.1-4下OLS估计量具有无偏性BLUEofOLSestimators(MLR.1-5)在MLR.1-5下OLS估计量是最优线性无偏估计量MVUEofOLSestimators(MLR.1-6)在MLR.1-6下OLS估计量是最小方差无偏估计量Thedistributionoft(F)statisticist(F)distributiont(F)统计量的分布为t(F)分布。Thesepropertiesholdforanysamplesizen.
样本容量为任意n时,这些性质都成立。52IntermediateEconometrics,YanShenWhyconsideringconsistency?
为Whyconsiderconsistency?
为什么考虑一致性Sinceinmanysituationstheerrortermisnotnormallydistributed,itisimportanttoknowtheasymptoticproperties(largesampleproperties),i.e.,thepropertiesofOLSestimatorandteststatisticswhenthesamplesizegrowswithoutbound.
由于在很多情形下误差项可能呈现非正态分布,了解OLS估计量和检验统计量的渐近性,即当样本容量任意大时的特性就是重要的问题。53IntermediateEconometrics,YanShenWhyconsiderconsistency?
为什么考WhatisConsistency
什么是一致性令是基于样本的关于的估计量。如果对于任何,当时便是的一个一致估计量。当具有一致性时,我们也称为的概率极限,写作是54IntermediateEconometrics,YanShenWhatisConsistency
什么是一致性令Consistencyv.s.unbiasedness
一致性与无偏性Isitpossibleforanestimatortobebiasedinfinitesamplebutconsistentinlargesample? 一个估计量是否有可能在有限样本中是有偏的但又具有一致性?Supposetruevalueofz=0,arandomvariablex=zwithprobability(n-1)/n,andx=nwithprobability1/n.
假设Z的真值为0,一个随机变量X以(n-1)/n的概率取值为Z,而以1/n的概率取值为n。E(x)=z*(n-1)/n+n*1/n=1X的期望为1plim(x)isthevalueofxasngoestoinfinity.Thereforeplim(x)=z=0.
记plim(x)为n趋向无穷大时x的取值。因此
plim(x)=z=0.55IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyv.s.unbiasedness
Consistencyv.s.unbiasedness
一致性与无偏性Isitpossibleforanestimatortobeunbiasedbutinconsistent?
是否有可能(一个估计量)是无偏却不一致的?Supposetruevalueofz=0,arandomvariablex=0.5withprobability0.5,andx=-0.5withprobability0.5.ThenE(x)=0.Butasxalwaysfluctuatesaroundthelinex=0,itsvariancedoesnotvanishasngoestoinfinity.Therefore,itisaninconsistentestimatorofz.假设Z的真值为0,一个随机变量X以0.5的概率取0.5,而以0.5的概率取-0.5,那么X的期望为0。但是
X总是在X=0这条线上下摆动,当n趋向无穷大时,它的方差并不会趋于0。因此,它是Z的不一致的估计量。56IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyv.s.unbiasedness
Consistencyv.s.unbiasedness
一致性与无偏性Unbiasedestimatorsarenotnecessarilyconsistent,butthosewhosevariancesshrinktozeroasthesamplesizegrowsareconsistent.无偏估计量未必是一致的,但是那些当样本容量增大时方差会收缩到零的无偏估计量是一致的。57IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyv.s.unbiasedness
Consistency
一致性
UndertheGauss-MarkovassumptionsOLSisBLUE,butinothercasesitwon’talwaysbepossibletofindunbiasedestimators在高斯-马尔可夫假定下OLS是最优线性无偏估计量,但在别的情形下不一定能找到无偏估计量。Inthosecases,wemaysettleforestimatorsthatareconsistent,meaningasn∞,thedistributionoftheestimatorcollapsestothetrueparametervalue在那些情形下,我们只要找到一致的估计量,即当n∞时,这些估计量的分布退化为参数的真值。58IntermediateEconometrics,YanShenConsistency
一致性UndertheGausSamplingDistributionsasnincreases
当n增加时样本的分布b1n1n2n3n1<n2<n3Samplingdistri-butionofβ1例:n1:每次从班上抽取10人,抽若干次后,平均身高的分布;n2:每次从班上抽取100人,抽若干次后,平均身高的分布;n3:每次从班上抽取200人,抽若干次后,平均身高的分布。59IntermediateEconometrics,YanShenSamplingDistributionsasninConsistencyofOLS
OLS的一致性
Theorem5.1:UnderAssumptionsMLR.1throughMLR.4,theOLSestimatorisconsistentforboththeinterceptandslopeparameters.
定理5.1:在假设MLR.1到MLR.4下,OLS截距估计量和斜率估计量都是一致的估计量。Consistencycanbeprovedforthesimpleregressioncaseinamannersimilartotheproofofunbiasedness对简单回归而言,证明估计量的一致性和证明无偏性的方法是类似的。60IntermediateEconometrics,YanShenConsistencyofOLS
OLS的一致性TheProvingConsistency
证明一致性61IntermediateEconometrics,YanShenProvingConsistency
证明一致性13IntProvingConsistency
证明一致性62IntermediateEconometrics,YanShenProvingConsistency
证明一致性14IntProofofOLSConsistency
证明OLS的一致性AgeneralproofofconsistencyoftheOLSestimatorsfromthemultivariateregressioncasecanbeshownthroughmatrixmanipulations.多元回归中OLS估计量的一致性的证明可以通过矩阵运算得到。63IntermediateEconometrics,YanShenProofofOLSConsistency
证明OLSAWeakerAssumption
一个更弱的假定
Forunbiasedness,weassumedazeroconditionalmean–E(u|x1,x2,…,xk)=0要获得估计量的无偏性,我们假定零条件期望–E(u|x1,x2,…,xk)=0Forconsistency,wecanhavetheweakerassumptionofzeromeanandzerocorrelation(MLR.3’)–E(u)=0andCov(xj,u)=0,forj=1,2,…,k
而要获得估计量的一致性,我们可以使用更弱的假定:零期望和零相关性假定。Withoutthisassumption,OLSwillbebiasedandinconsistent!
如果这个较弱的假定也不成立,OLS将是有偏而且不一致的。64IntermediateEconometrics,YanShenAWeakerAssumption
一个更弱的假定FoDerivingtheInconsistency
推导不一致性
Definetheasymptoticbiasas , thenconsiderthefollowingtruemodelandestimatedmodel:定义渐近偏差为:,并考虑下面的真实模型和待估计模型。65IntermediateEconometrics,YanShenDerivingtheInconsistency
推导不AsymptoticBias(cont)
渐近偏差(续)
So,thinkingaboutthedirectionoftheasymptoticbiasisjustlikethinkingaboutthedirectionofbiasforanomittedvariable
所以,考虑渐近偏差的方向就像是考虑存在一个遗漏变量时偏差的方向。Maindifferenceisthatasymptoticbiasusesthepopulationvarianceandcovariance,whilebiasusesthesamplecounterparts
主要的区别在于渐近偏差用总体方差和总体协方差表示,而偏差则是基于它们在样本中的对应量。Remember,inconsistencyisalargesampleproblem–itdoesn’tgoawayasadddata
记住,不一致性是一个大样本问题。因此,当数据增加时候这个问题并不会消失。66IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticBias(cont)
渐近偏差(续)Consistencywithendogeneity
有内生性时的一致性Considerthetruemodeltobey=b0+b1x1+b2x2+ubut cov(u
,
x1)~=0.
考虑真实模型为y=y=b0+b1x1+b2x2+u,但 而u和x1相关。Whencov(x1,
x2)~=0butcov(u
,
x2)=0,thenOLSestimatorsforb1and
b2areinconsistent.
若x1和x2相关,而u和x2不相关,则对b1和b2的OLS估计量都是不一致的。Whencov(x1,
x2)=0andcov(u
,
x2)=0,onlyb1isinconsistent. 若x1和x2不相关,且u和x2不相关,则只有对b1的OLS估计量是不一致的67IntermediateEconometrics,YanShenConsistencywithendogeneity
有AsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Consistencyofanestimatorisanimportantproperty,butitalonedoesnotallowustoperformstatisticalinference.估计量的一致性是一条重要性质,但我们并不能只靠它来进行统计推断。RecallthatundertheClassicalLinearModelassumptions,thesamplingdistributionsarenormal,sowecouldderivetandFdistributionsfortesting
在经典线性模型假设下,样本的分布是正态分布,因而我们能够推出t分布和F分布用于检验。68IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Thisexactnormalitywasduetoassumingthepopulationerrordistributionwasnormal
这种准确的正态分布来自于总体误差的分布是正态分布的假定。Thisassumptionofnormalerrorsimpliedthatthedistributionofy,giventhex’s,wasnormalaswell这个正态误差的假定意味着当x给定时,y的分布也是正态分布。69IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Whynormalityassumptionisneeded?
为什么需要正态性假定?Forprovingunbiasedness?–No.
为了证明无偏性?-不是ForprovingBLUE?–No.
为了证明最优线性估计量?不是FormakingexactinferencewhenusingtorFstatistics?–Yes.
为了能够用t统计量和F统计量作精确的推断?是的70IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断
Easytocomeupwithexamplesforwhichthisexactnormalityassumptionwillfail
很容易碰到一些例子,其中严格的正态性假定并不能成立Anyclearlyskewedvariable,likewages,arrests,savings,etc.can’tbenormal,sinceanormaldistributionissymmetric
任何一个明显不对称的变量,像工资,拘捕次数,储蓄量,等等都不可能服从正态分布,因为正态分布是对称的。71IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeAsymptoticNormalityandLargeSampleInference
渐近正态和大样本推断Whattodo?
我们要做些什么?Willestimatorsbecomeapproximatelynormallydistributedwhensamplesizegetslarge?
当样本容量变大时是否估计量会渐近地趋向于正态分布?WearediscussingwhetherOLSestimatorsatisfyasymptoticnormality.
我们讨论是否OLS估计量满足渐近正态性。72IntermediateEconometrics,YanShenAsymptoticNormalityandLargeCentralLimitTheorem中心极限定理
Basedonthecentrallimittheorem,wecanshowthatOLSestimatorsareasymptoticallynormal基于中心极限定理,我们能够证明OLS估计量是渐近正态。AsymptoticNormalityimpliesthatP(Z<z)F(z)asn,orP(Z<z)F(z)渐近正态意味着当n时,P(Z<z)F(z)或者P(Z<z)Ф(z)Thecentrallimittheoremstatesthatthestandardizedaverageofanypopulationwithmeanmandvariances2isasymptotically~N(0,1),or
中心极限定理指出任何一个均值为µ而方差为σ2
的总体的标准化平均值的分布渐近趋向于N(0,1),或记作73IntermediateEconometrics,YanShenCentralLimitTheoremBasedonTheorem5.2:AsymptoticNor
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