信号与系统教案第4章 连续系统的频域分析

第四章连续系统的频域分析4.1

信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质4.6周期信号的傅里叶变换4.7LTI系统的频域分析4.8取样定理点击目录，进入相关章节第四章连续系统的频域分析4.1

信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解

时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。

本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。

矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即4.1

信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{

vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即

A=

vx+2.5

vy+4

vz

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。4.1

信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集1.定义：

定义在(t1，t2)区间的两个函数

1(t)和

2(t),若满足(两函数的内积为0)则称

1(t)和

2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：

若n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。4.1

信号分解为正交函数3.完备正交函数集：

如果在正交函数集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)4.1

信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有n个函数

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为

4.1

信号分解为正交函数为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数4.1

信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有上式称为(Parseval)帕斯瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和4.2

傅里叶级数4.2

傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数

系数an,bn称为傅里叶系数

可见，an

是n的偶函数，bn是n的奇函数。4.2

傅里叶级数式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，A0/2为直流分量；

A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；

A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–Ansin

n，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为4.2

傅里叶级数Gibbs现象满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于的。特别当具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于4.2

傅里叶级数4.2

傅里叶级数4.2

傅里叶级数

Gibbs现象表明：用有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有的能量减少。4.2

傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn

=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)

由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以4.2

傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用cosx=(ejx

+e–jx)/24.2

傅里叶级数上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n=–n，则上式写为令A0=A0ej0ej0t，0=0所以4.2

傅里叶级数令复数称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。n=0,±1,±2，…表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。F0=A0/2为直流分量。4.2

傅里叶级数四、周期信号的功率——Parseval等式直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。

n≥0时，|Fn|=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为4.3

周期信号的频谱4.3

周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn

。4.3

周期信号的频谱例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=4.3

周期信号的频谱是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图4.3

周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）4.3

周期信号的频谱,n=0,±1，±2，…Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。不变时4.3

周期信号的频谱不变时4.3

周期信号的频谱4.3

周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。(b)一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。4.4傅里叶变换4.4

非周期信号的频谱—傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令(单位频率上的频谱）称F(jω)为频谱密度函数。4.4傅里叶变换考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω；

nΩ→ω（由离散量变为连续量），而同时，∑→∫于是，傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数4.4傅里叶变换也可简记为

F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为

F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)说明

(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用下列关系还可方便计算一些积分4.4傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数f(t)=e–tε(t)，

>0实数2.双边指数函数f(t)=e–t,

>04.4傅里叶变换3.门函数(矩形脉冲)4.冲激函数(t)、´(t)4.4傅里叶变换5.常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。

可构造一函数序列{fn(t)}逼近f

(t)

，即而fn(t)满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(j)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F

(j)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。4.4傅里叶变换构造f(t)=e-t

，>0←→所以又因此，1←→2()

另一种求法：(t)←→1代入反变换定义式，有将→t，t→-再根据傅里叶变换定义式，得6.符号函数4.4傅里叶变换7.阶跃函数(t)4.4傅里叶变换归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|112πδ(ω)4.5傅里叶变换的性质4.5

傅里叶变换的性质一、线性(LinearProperty)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)thenProof:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)][af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]4.5傅里叶变换的性质Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-实例信号叠加一个噪声的情况。（1）、工频噪声（如脑电图、心电图）（2）、高斯白噪声（数字信号平均器）（3）、数字图象加密和隐藏

原图加密图4.5傅里叶变换的性质4.5傅里叶变换的性质二、对称性质(SymmetricalProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen（2）in(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)endF(jt

)←→2πf(–ω)4.5傅里叶变换的性质Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1,∴*ifF(jω)=?4.5傅里叶变换的性质三、尺度变换性质(ScalingTransformProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.Proof:F[f(at)]=Fora>0,F[f(at)]fora<0,F[f(at)]Thatis,f(a

t)←→Also,lettinga=-1,f(-t)←→F(-jω)4.5傅里叶变换的性质Forexamplef(t)=←→F(jω)=?Ans:Usingsymmetry,usingscalingpropertywitha=-1,sothat,4.5傅里叶变换的性质四、时移性质(TimeshiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]4.5傅里叶变换的性质ForexampleF(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+4.5傅里叶变换的性质ForexampleGiventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=4.5傅里叶变换的性质五、频移性质(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)4.5傅里叶变换的性质Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

4.5傅里叶变换的性质六、卷积性质(ConvolutionProperty)Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)4.5傅里叶变换的性质Proof:

F[f1(t)*f2(t)]=UsingtimeshiftingSothat,

F[f1(t)*f2(t)]==F1(jω)F2(jω)4.5傅里叶变换的性质ForexampleAns:Usingsymmetry,4.5傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)Iff(t)←→F(jω)thenProof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=(t)*f(t)←→4.5傅里叶变换的性质f(t)=1/t2←→?Forexample1Ans:4.5傅里叶变换的性质Forexample2Giventhatf(t)←→F1(jω)Prooff(t)←→[f(-∞)+f(∞)]()

+

F1(jω)ProofSoSummary:if

f(n)(t)←→Fn(jω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n4.5傅里叶变换的性质Forexample3Determinef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)4.5傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:4.5傅里叶变换的性质Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because()()and(1/j)()isnotdefined.Forexample2DetermineAns:九、帕斯瓦尔关系(Parseval’sRelationforAperiodicSignals)Proof|F(jω)|2isreferredtoastheenergy-densityspectrumoff(t).单位频率上的频谱

(能量密度谱）J·s4.5傅里叶变换的性质能量谱——帕斯瓦尔定理两块阴影的面积相等能量密度谱能量有限信号信号的功率定义为这表明：信号的功率既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于表示了信号功率在频域的分布，因而称其为“功率谱密度”函数。ForexampleDeterminetheenergyofAns:4.5傅里叶变换的性质4.5傅里叶变换的性质十、奇偶性(Parity)Iff(t)isreal,then=R(ω)+jX(ω)SothatR(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,(ω)=–(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω)4.6

周期信号的傅里叶变换4.6

周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换

1←→2πδ(ω)由频移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=½(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]4.6

周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换例1：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=解：(1)4.6

周期信号傅里叶变换例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)F0(jω)F(jω)=本题f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式与上页(1)式比较，得这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。4.7LTI系统的频域分析4.7LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：其基本信号为ej

t一、基本信号ej

t作用于LTI系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为(–∞，∞)，而t=–∞总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。4.7LTI系统的频域分析设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ej

t时，其响应而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，常称为系统的频率响应函数。y(t)=H(j)ej

tH(j)反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t4.7LTI系统的频域分析二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej

tH(j)ej

tF(j)ej

tdF(j)H(j)ej

td齐次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)4.7LTI系统的频域分析频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即

H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；θ()称为相频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，θ()是的奇函数。频域分析法步骤：傅里叶变换法4.7LTI系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号若则可推导出4.7LTI系统的频域分析例：某LTI系统的H(j)和θ()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)4.7LTI系统的频域分析解法二：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)4.7LTI系统的频域分析三、频率响应H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]

2.H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。例1：某系统的微分方程为

y´(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换jY(j)+2Y(j)=F(j)4.7LTI系统的频域分析f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。解：画电路频域模型h(t)=e-tε(t)

4.7LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输

（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为

y(t)=Kf(t–td)

其频谱关系为Y(j)=Ke

–jtdF(j)4.7LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：

(a)对h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)对H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。(2)无失真传输条件：4.7LTI系统的频域分析例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)4.7LTI系统的频域分析2、理想低通滤波器

具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：(1)冲激响应

h(t)=

ℱ-1[g2c()e-jtd]=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。4.7LTI系统的频域分析(2)阶跃响应

g(t)=h(t)*(t)=

经推导，可得称为正弦积分特点：有明显失真，只要c<∞，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.08954.7LTI系统的频域分析3、物理可实现系统的条件

就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t<0时必须为0，即h(t)=0,t<0

即响应不应在激励作用之前出现。

就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足

并且称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。4.8

取样定理4.8