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文档简介

第三节三重积分第九章一、三重积分的概念(k

,k

,

k

)引例:(x,

y,

z)

C,M解决方法:“大化小,

常代变,

近似和,

求极限”定义.体积元素,dv任意分割任意取点性质:中值定理.

f

(x,

y,

z)

d

v

f

(

,,

)V记作

f

(x,

y,

z)dv三重积分dxdydz.二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分f

(x,

y,

z)

0,方法1.方法2.方法3.D

D记作dxd

y方法1.

投影法

(“先一后二”

)f

(x,

y,

z)dz

dxd

yz

(

x,

y)2z1

(

x,

y)f

(x,

y,

z)

dxdy

z

,d

x

d

y方法2.

截面法

(“先二后一”)bDzabaf

(x,

y,

z)

d

zdz记作方法3.

三次积分法y

(x)

y

y

(x)a

x

b(x,

y)

D

:21

f1(x,

y,

z)小结:三重积分的计算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次积分”例1.解:例2.解:先二后一D

d

x

d

yzza2.

利用柱坐标计算三重积分zM

,o(x,

yd

v

d

d

d

z适用范围:积分域被积函数方程简单变量互相分离

d

d

dz例3.解:dv

d

d

dzz

2

d

d

d

z原式

2

coso例4.解:hh42

d

2

d

z1

2

h00dv

d

d

dz3.

利用球坐标计算三重积分rM

(r,

,)drd

v

r

2

sind

rd

d适用范围:积分域被积函数方程简单

变量互相分离dr

2

sin

d

r

d

d例5.解:(

x2

y2

z

2

)dxd

ydzdv

r

2

sin

drd

d4例6.解:V

d

vr

adv

r

2

sindrd

dar内容小结积分区域被积函数*说明:换元积分公式:J

(x,

y,

z)(u,

v,

w)z

x

,

z

21.x

0,

x

2,提示:2xf

(x,

y,

z)dz221

x1d

y

20I

d

x

思考与练习2.提示:

0o23.提示:4v作业

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