上海南洋模范2023届高一上数学期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．函数（）A. B.C. D.2．已知函数为偶函数，则A.2 B.C. D.3．函数的零点所在的区间是（）A. B.C. D.4．在中，已知，则角（）A. B.C. D.或5．设m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是A.，且，则B.，，，，则C.，，，则D.，且，则6．定义在上的偶函数在时为增函数，若实数满足，则的取值范围是A. B.C. D.7．函数的定义域是（）A. B.C. D.8．已知向量（2，3），（x，2），且⊥，则|23|＝（）A.2 B.C.12 D.139．已知正方体外接球的表面积为，正方体外接球的表面积为，若这两个正方体的所有棱长之和为，则的最小值为（）A. B.C. D.10．设全集，集合，，则等于A. B.{4}C.{2,4} D.{2,4,6}二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知，若，则__________.12．函数f（x）＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为_______，函数的值域是________13．若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线14．函数的反函数为___________15．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是A. B. C. D.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.17．已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.（1）求函数的解析式；（2）求出在上的单调递增区间.18．已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.19．如图，在长方体中，，是与的交点.求证：（1）平面；（2）平面平面.20．求下列关于的不等式的解集：（1）；（2）21．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，，设的面积为，正方形的面积为(1)用表示和；(2)当变化时，求的最小值及此时角的大小.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.2、A【解析】由偶函数的定义，求得的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案【详解】由题意，函数为偶函数，可得时，，，则，，可得，故选A【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解析】根据函数零点存在性定理判断即可【详解】，，，故零点所在区间为故选：B4、C【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度数.【详解】因为，所以，解得：，，因为，所以.故选：C.5、D【解析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面或相交，故A不正确；对于B，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l，所以B不成立对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题D正确故答案为D【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力.6、C【解析】因为定义在上的偶函数，所以即又在时为增函数，则，解得故选点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中与由对数式运算法则可知互为相反数，与偶函数的性质结合可将不等式化简，借助函数在上是增函数可确定在为减函数，利用偶函数的对称性可得到自变量的范围，从而求得关于的不等式，结合对数函数单调性可得到的取值范围7、C【解析】函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义【详解】解：要使原函数有意义，需解得，所以函数的定义域为．故选C【考点】函数的定义域及其求法【点睛】先把函数各部分的取值范围确定下来，然后求它们的交集是解决本题的关键8、D【解析】由，可得，由向量加法可得，再结合向量模的运算即可得解.【详解】解:由向量（2，3），（x，2），且，则,即,即,所以,所以,故选:D.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量加法及模的运算，属基础题.9、B【解析】设正方体的棱长为，正方体的棱长为，然后表示出两个正方体外接球的表面积，求出化简变形可得答案【详解】解：设正方体的棱长为，正方体的棱长为因为，所以，则因为，所以，因为，所以，故当时，取得最小值，且最小值为故选：B10、C【解析】由并集与补集的概念运算【详解】故选：C二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】由已知先求得，再求得，代入可得所需求的函数值.【详解】由已知得，即，所以，而，故答案为.【点睛】本题考查函数求值中的给值求值问题，关键在于由已知的函数值求得其数量关系，代入所需求的函数解析式中，可得其值，属于基础题.12、①.②.【解析】由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得的值域【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，函数，，故当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，故的值域为，，故答案为：；，13、②④【解析】①当时，在平面内存在与直线平行的直线．②若直线，则平面的交线必与直线垂直，而在平面内与平面的交线平行的直线有无数条，因此在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．③当直线为平面的交线时，在平面内一定存在与直线垂直的直线．④当直线为平面的交线，或与交线平行，或垂直于平面时，显然在平面内一定存在与直线垂直的直线．当直线为平面斜线时，过直线上一点作直线垂直平面，设直线在平面上射影为，则平面内作直线垂直于，则必有直线垂直于直线，因此在平面内，一定存在与直线垂直的直线考点：直线与平面平行与垂直关系14、【解析】先求出函数的值域有，再得出，从而求得反函数.【详解】由，可得由，则，所以故答案为：.15、D【解析】由于函数为奇函数，且在上单调递增，结合函数的图象可知该函数的半周期大于或等于，所以，所以选择D考点：三角函数的图象与性质三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）；（2）.【解析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出结果；（2）根据，分别讨论，两种情况，即可得出结果.【详解】（1）若，则，又，所以；（2）因为，若，则，即；若，只需，解得，综上，取值范围为.【点睛】本题主要考查求集合的并集，考查由集合的包含关系求参数，属于常考题型.17、（1）；（2）和.【解析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.【详解】（1）由题意知，若，则，所以，又因为，所以，得，所以；（2）因为，所以，正弦函数在区间上的单调递增区间为和，此时即或，得或，所以在上的递增区间为和.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴2分解之得4分（2）∵是第三象限的角∴=6分===10分由第（1）问可知：原式＝＝12分考点：三角函数同角关系式.19、（1）见解析；（2）见解析.【解析】⑴连结交于点，连结，推导出，又因为平面，由此证明平面⑵推导出，，从而平面，由此证明平面平面解析：（1）连结交于点，连结，∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面.∴.∵,∴∵与相交，∴平面∵平面.∴平面平面.点睛：本题考查了立体几何中的线面平行及面面垂直，在证明的过程中依据其判定定理证得结果，在证明平行中需要做辅助线，构造平行四边形或者三角形中位线证得线线平行，从而证得线面平行20、（1）或；（2）答案见解析.【解析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；（2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.【小问1详解】解：由得，解得或，故不等式的解集为或.【小问2详解】解：当时，原不等式即为，该不等式的解集为；当时，，原不等式即为.①若，则，原不等式的解集为或；②若，则，原不等式的解集为或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式解集为或.21、（1）；（2）最小值【解析】（1）在中，可用