2019-2020学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）

第24页（共24页）2019-2020学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是（）A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福 C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们就不幸福2．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（）A． B．9 C． D．03．（5分）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的已知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为（）A．15 B．16 C．18 D．214．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（）A． B． C．y＝±2x D．5．（5分）已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜﹣ab B．|a|＜|b| C．＞ D．（）a＞（）b6．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“A＜B＜C”是“cosA＞cosB＞cosC”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（）A． B．2 C． D．38．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为（）A．1 B． C． D．29．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A． B． C． D．10．（5分）设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（）A．[﹣2，0）∪（0，4] B．[﹣4，0）∪（0，2] C．[﹣4，2] D．[﹣2，4]11．（5分）已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴上方），与y轴的正半轴相交于点N，点Q是抛物线不同于A，B的点，若，则|BF|：|BA|：|BN|＝（）A．1：2：4 B．2：3：4 C．2：4：5 D．2：3：612．（5分）设f（n）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（）A．2016×2017 B．20172 C．2017×2018 D．2018×2019二、填空题：13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．14．（5分）已知命题p：∃x0∈[0，π]，使得sinx0＜a，命题，，若p∧q为真命题，则实数a的取值范围为．15．（5分）如图，某校一角读书亭MN的高为，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔PQ，在它们之间的地面点A（M、A、P三点共线）处测得读书亭顶部N与灯塔顶部Q的仰角分别是15°和60°，在读书亭顶部N测得灯塔顶部Q的仰角为30°，则灯塔PQ的高为m．16．（5分）如图，已知椭圆，点A，B分别是椭圆C的上、下顶点，点P是直线y＝﹣2b上的一个动点（与y轴交点除外），直线PB与椭圆C交于另一点Q，直线AP，AQ的斜率的乘积恒为﹣2，则椭圆C的离心率为．三、解答题：17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．18．（12分）已知Sn是单调递减等比数列{an}的前n项和，，且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝﹣log2an+λn（λ≠﹣1），数列的前n项和Tn满足T2019＝2019，求λ的值．19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠B1BA＝60°，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣B的余弦值．20．（12分）党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义．国家为了更好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察．该地区有100户农民，且都从事蔬菜种植．据了解，平均每户的年收入为6万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据统计，若动员x（x＞0）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元．（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使剩下（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民总年收入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求x（x＞0，x∈N*）的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这x户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a的最大值．（参考数据：）及575821．（12分）已知右焦点为F的椭圆M：+＝1（a＞）与直线y＝相交于P，Q两点，且PF⊥QF．（1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）对任意x∈R，恒有f（x）﹣|x﹣|≥5﹣a，求实数a的取值范围．

2019-2020学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是（）A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福 C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们就不幸福【分析】该题考查的是逆否命题的定义，也就是在选项中找到该命题逆否命题．由：“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，结合逆否命题的定义，我们不难得到结论．【解答】解：“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的即“不拥有的人们就不幸福”故选：D．【点评】若原命题为：若p，则q．逆命题为：若q，则p．否命题为：若┐p，则┐q．逆否命题为：若┐q，则┐p．2．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（）A． B．9 C． D．0【分析】由，，三向量不能构成空间的一个基底，可得此三个向量共面，因此存在实数m，n，使得＝m+n，基础即可得出．【解答】解：∵，，三向量不能构成空间的一个基底，∴此三个向量共面，∴存在实数m，n，使得＝m+n，∴（7，5，λ）＝m（2，﹣1，3）+n（﹣1，4，﹣2），∴2m﹣n＝7，﹣m+4n＝5，3m﹣2n＝λ，解得λ＝．故选：A．【点评】本题考查了向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的已知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为（）A．15 B．16 C．18 D．21【分析】设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．【解答】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：S5＝×3＝60，解得a1＝6．则a5＝a1+（5﹣1）×3＝6+12＝18．∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18．故选：C．【点评】本题考查等差数列的应用，考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（）A． B． C．y＝±2x D．【分析】由题意可得a＝2b，再由双曲线的渐近线方程y＝±x可得所求．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，可得a＝2b，它的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．（5分）已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜﹣ab B．|a|＜|b| C．＞ D．（）a＞（）b【分析】由不等式的基本性质逐一检验即可得解．【解答】解：a2+ab＝a（a+b），符合无法确定，故A错误，取a＝2，b＝﹣1，则有|a|＞|b|，故B错误，，故，故C正确，取a＝1，b＝﹣2，则（）a＝，（）b＝4，又，即（）a＜（）b，故D错误，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属简单题．6．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“A＜B＜C”是“cosA＞cosB＞cosC”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】利用三角函数的单调性，判断即可．【解答】解：△ABC的三个内角分别为A，B，C，在三角形中，由y＝cosx在（0，π）上是减函数，所以cosA＜cosB＜cosC，反之也成立，故选：C．【点评】考查充分，必要条件的判断，考查三角函数的单调性，中档题．7．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（）A． B．2 C． D．3【分析】根据题意，分析可得等比数列{an}的公比q≠±1，进而由等比数列的通项公式可得＝9×，解可得q＝2，又由S5＝＝31a1＝62，解可得a1的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等比例数列{an}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则＝9×，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解可得a1＝2；故选：B．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n项和的性质．8．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为（）A．1 B． C． D．2【分析】求出＝，由此能求出线段AC1的长．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，∴＝，∴＝（）2＝+2+2＝1+1+4+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°＝2．∴线段AC1的长为||＝．故选：B．【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面中的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A． B． C． D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算公式可得＝＝．于是得到，化为a2＝2b2，再利用c＝3＝，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．10．（5分）设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（）A．[﹣2，0）∪（0，4] B．[﹣4，0）∪（0，2] C．[﹣4，2] D．[﹣2，4]【分析】利用基本不等式，求出左边的最小值，再解一元二次不等式即可得到答案．【解答】解：由于0＜m＜，则得到≤＝（当且仅当2m＝1﹣2m，即m＝时，取等号）∴+＝≥8∵+≥k2﹣2k恒成立，∴k2﹣2k﹣8≤0，∴﹣2≤k≤4．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴上方），与y轴的正半轴相交于点N，点Q是抛物线不同于A，B的点，若，则|BF|：|BA|：|BN|＝（）A．1：2：4 B．2：3：4 C．2：4：5 D．2：3：6【分析】由，可得A为中点，进而可得A，N的坐标，再由三角形的对应比成比例可得B的坐标，进而求出|BF|：|BA|：|BN|的值．【解答】解：由题意如图所示，若，可得2＝（）+（）＝2+，可得＝，可得A为NF的中点；因为焦点F（，0），所以xA＝，代入抛物线的方程可得yA＝，即A（，p），所以N（0，p），设B（，y0），y0＜0，由＝，即＝可得：y0＝﹣p，x0＝p，即B（p，﹣），所以：|BF|＝x0+＝，|BA|＝+p+p＝，|BN|＝＝3p，所以|BF|：|BA|：|BN|＝：：3p＝2：3：4，故选：B．【点评】考查抛物线的性质，属于中档题．12．（5分）设f（n）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（）A．2016×2017 B．20172 C．2017×2018 D．2018×2019【分析】写出前几项，找出规律，即可求得m的值．【解答】解：第一组：＝1，＝1，共2个，之和为2；第二组：＝，＝，＝，＝，共4个，之和为2；第三组：＝，＝，＝，＝，＝，＝，Fong6个，之和为2；第四组：＝，＝，…＝，共8个，之和为2；…第n组：共2n个，之和为2；∴+++…+＝4034＝2×2017，故一共有2017组，则，故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，要求学生通过观察，分析归纳发现规律的能力，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为0．【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线y＝2x可得．【解答】解：作出x，y满足约束条件所对应的可行域（如图阴影部分），变形目标函数可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可知，当直线经过点O（0，0）时，截距﹣z取最大值，目标函数z取最小值2×0﹣0＝0，故答案为：0．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）已知命题p：∃x0∈[0，π]，使得sinx0＜a，命题，，若p∧q为真命题，则实数a的取值范围为（0，）．【分析】由p∧q为真命题，得p，q均为真命题，分别求出p，q为真命题的a的范围，取交集得答案．【解答】解：由p∧q为真命题，得p，q均为真命题，命题p：∃x0∈[0，π]，使得sinx0＜a为真命题，∴a＞（sinx0）min，则a＞0；若命题q：对∀x∈[，3]，+1＞a为真命题，则a＜（+1）min．∴a＜；∴a的取值范围是（0，），故答案为：（0，）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，属于基础题．15．（5分）如图，某校一角读书亭MN的高为，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔PQ，在它们之间的地面点A（M、A、P三点共线）处测得读书亭顶部N与灯塔顶部Q的仰角分别是15°和60°，在读书亭顶部N测得灯塔顶部Q的仰角为30°，则灯塔PQ的高为60m．【分析】先求得AN，再在三角形AQN中，运用正弦定理可得AQ，再解直角三角形APQ，计算可得所求值．【解答】解：在直角三角形ANM中，AN＝＝＝20，在△AQN中，∠ANQ＝30°+15°＝45°，∠NAQ＝180°﹣15°﹣60°＝105°，故∠AQN＝180°﹣45°﹣105°＝30°，在△ANQ中，由正弦定理，，所以AQ＝＝40，在直角三角形APQ中，PQ＝AQsin60°＝60．故答案为：60【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）如图，已知椭圆，点A，B分别是椭圆C的上、下顶点，点P是直线y＝﹣2b上的一个动点（与y轴交点除外），直线PB与椭圆C交于另一点Q，直线AP，AQ的斜率的乘积恒为﹣2，则椭圆C的离心率为．【分析】可设A（0，b），B（0，﹣b），P（t，﹣2b），求得直线PB的方程，与椭圆方程联立，求得交点Q，再由直线的斜率公式，计算可得a，b的关系，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得所求值．【解答】解：由题意设A（0，b），B（0，﹣b），P（t，﹣2b），直线PB的方程为y＝﹣x﹣b，联立椭圆方程b2x2+a2y2＝a2b2，消去y可得（b2+）x2+x＝0，解得x＝0或x＝﹣，则Q（﹣，），直线AP，AQ的斜率的乘积恒为﹣2，即为﹣•＝﹣2，化为2a2＝3b2＝3（a2﹣c2），则a2＝3c2，e＝＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直线方程和椭圆方程联立求交点，考查直线的斜率的运用，化简和运算能力，属于中档题．三、解答题：17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【分析】（1）由正弦定理得＝，求出sin∠ADB＝，由此能求出cos∠ADB；（2）由∠ADC＝90°，得cos∠BDC＝sin∠ADB＝，再由DC＝2，利用余弦定理能求出BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）已知Sn是单调递减等比数列{an}的前n项和，，且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝﹣log2an+λn（λ≠﹣1），数列的前n项和Tn满足T2019＝2019，求λ的值．【分析】（Ⅰ）由已知列式求得q，可得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由bn＝﹣log2an+λn（λ≠﹣1）求得bn，再由裂项相消法求数列的前n项和Tn，结合T2019＝2019求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差数列，得2（S6+a6）＝S4+a4+S5+a5，得（S6﹣S5）+（S6﹣S4）+2a6＝a4+a5，即4a6＝a4，∴，∵{an}是单调递减数列，∴，又，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝（λ+1）n﹣1，∴，∴，解得λ＝﹣1或，∵λ≠﹣1，∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠B1BA＝60°，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OD，OB1，运用等边三角形的判定和性质，由线面垂直的判定和性质，可得所求结论；（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OD，OB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可令AB＝AC＝AA1＝2，可得C，A，D，B，B1，设平面ADC1的法向量为＝（x，y，z），由线面垂直的性质可得其中一个法向量，再由面面垂直的性质可得平面ADB的法向量，再由向量的数量积的夹角公式可得所求值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OD，OB1，在△ABB1中，AB＝BB1，∠B1BA＝60°，故△ABB1是等边三角形，∴AB⊥OB1，又AB⊥DB1，而OB1与DB1相交于B1，∴AB⊥平面DOB1，故AB⊥OD，又OD∥AC，∴AC⊥AB，∴△ABC为Rt△；（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OD，OB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可令AB＝AC＝AA1＝2，则C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴＝（﹣1，0，），＝（0，2，0），＝+＝+＝（﹣1，2，），＝（1，1，0），设平面ADC1的法向量为＝（x，y，z），由题意有，令x＝1，则y＝﹣1，z＝，∴＝（1，﹣1，），又侧面ABB1A1⊥底面ABC，可得OB1⊥平面ABC，可得平面ADB的法向量为＝（0，0，1），cos＜，＞＝＝＝，二面角C1﹣AD﹣B的平面角为钝角，可得二面角C1﹣AD﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的性质定理和二面角平面角的求法，考查转化思想和运算能力，以及推理能力，属于中档题．20．（12分）党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义．国家为了更好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察．该地区有100户农民，且都从事蔬菜种植．据了解，平均每户的年收入为6万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据统计，若动员x（x＞0）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元．（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使剩下（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民总年收入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求x（x＞0，x∈N*）的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这x户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于（100﹣x）户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a的最大值．（参考数据：）及5758【分析】（1）由题意得，求解即可．（2）x户农民从事蔬菜加工的总年收入为万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，得恒成立，分离变量，利用函数的单调性求解最值，推出结果．【解答】解：（1）由题意得，3x2﹣200x≤0，∴，又x∈N*，所以0＜x≤66（x∈N*）；（2）x户农民从事蔬菜加工的总年收入为万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，依题意得恒成立，，恒成立，∵在上递减，在递增，，，∴a≤5.46．【点评】本题考查函数的实际应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知右焦点为F的椭圆M：+＝1（a＞）与直线y＝相交于P，Q两点，且PF⊥QF．（1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．【分析】（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a＝2，c＝1，即可得到所求椭圆方程；（2）设直线AB的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为△ABC的重心，可得＝﹣（+），可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2＝3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面积为定值．【解答】解：（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程可得+＝1，即t2＝a2①且PF⊥QF，可得•＝﹣