2021年陕西师大附中中考数学二模试卷

第28页（共28页）2021年陕西师大附中中考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．﹣2021 B．﹣ C． D．20212．（3分）被命名为COVID﹣19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．将数0.00000009用科学记数法表示为（）A．0.9×10﹣8 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣8 D．9×10﹣73．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35° B．45° C．55° D．70°4．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，记甲10次成绩的方差为S，乙10次成绩的方差为S，根据折线图判断下列结论中正确的是（）A．S＞S B．S＜S C．S＝S D．无法判断5．（3分）下列整式运算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b36．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）若点M（1，2）关于y轴的对称点在一次函数y＝（3k+2）x+k的图象上，则k的值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣8．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A． B． C．2 D．49．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A． B．3 C．3 D．410．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每题3分，计12分）11．（3分）分解因式：m3﹣m＝．12．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为．13．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝（k＜0）的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC＝2AC，且△AOD的面积为1，则k的值为．14．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，连接CE、BE，点F、G分别为DE、BE的中点，连接FG，在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|﹣2|．16．（5分）17．（5分）如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，过C作直线m∥AB．请你用尺规在直线m上找一点P，使得∠BPC＝∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F，求证：AB＝AC．19．（7分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：年级平均数众数中位数七年级7.5b7八年级a8c请你根据以上提供信息，解答下列问题：（1）上表中a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？20．（7分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．21．（7分）小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中的线段AB所示，在小芳出发的同时，小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示．（1）小芳骑行的速度为km/h，小亮骑行的速度为km/h；（2）求线段DE所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人出发后1.5h两人之间的距离．22．（7分）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小芳先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小亮再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后将小球放回瓶中．（1）小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，求这15次中摸出标有数字5的球的频率；（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小芳贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小亮赢，此游戏公平吗？请说明理由．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切与点D，＝2，连接AE，DE．（1）求证：∠ADC＝∠E；（2）若sinC＝，BD＝6，求AE的长．24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点C是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）问题探究：（1）如图1，已知△ABC中，BC＝6，∠A＝120°，则△ABC面积的最大值＝．（2）如图2，已知△ABC中，AB＝4，∠BAC＝105°，∠C＝45°，D为边BC的中点，求△ABD的面积．问题解决：（3）如图3，某市打算在一处空地规划一个正方形的大型新兴商业区ABCD，Q是AD边上的正门，且DQ＝3AQ，E、F分别为AB边上的两个安全出口，且AF＝BE，其中BD与CE的交点G是服务台，DF与AG的交点P是母婴室．按相关政策规定正门距母婴室的距离QP不超过50m，试求在符合政策规定的前提下，亲子区域即△ADP面积的最大值．

2021年陕西师大附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．故选：D．2．（3分）被命名为COVID﹣19新型冠状病毒的平均直径约是0.00000009米．将数0.00000009用科学记数法表示为（）A．0.9×10﹣8 B．0.9×10﹣7 C．9×10﹣8 D．9×10﹣7【解答】解：0.00000009＝9×10﹣8．故选：C．3．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35° B．45° C．55° D．70°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故选：C．4．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，记甲10次成绩的方差为S，乙10次成绩的方差为S，根据折线图判断下列结论中正确的是（）A．S＞S B．S＜S C．S＝S D．无法判断【解答】解：由折线统计图得乙运动员的成绩波动较大，所以S＞S．故选：A．5．（3分）下列整式运算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3【解答】解：A、2a与3b不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、（﹣a3b）2＝a6b2，故此选项正确；D、a2b3÷a＝ab3，故此选项错误；故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：过点A作AE⊥BC,垂足为E．∵AD＝AC,AE⊥BC,∴DE＝CE＝DC＝2．在Rt△ABE中，∵AB＝10，cos∠ABC＝，又∵cos∠ABC＝,∴BE＝6．∴BD＝BE﹣DE＝6﹣2＝4．故选：C．7．（3分）若点M（1，2）关于y轴的对称点在一次函数y＝（3k+2）x+k的图象上，则k的值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．﹣【解答】解：M（1，2）关于y轴的对称点是（﹣1，2），把（﹣1，2）代入可得：2＝﹣（3k+2）+k，解得：k＝﹣2．故选：A．8．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A． B． C．2 D．4【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，由折叠得，∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝5，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．9．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A． B．3 C．3 D．4【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0①，由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），b＝，即，c＝b﹣1②，②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，c＝b﹣1＝2﹣1＝1，∴b+c＝2+1＝3，故选：C．二、填空题（共4小题，每题3分，计12分）11．（3分）分解因式：m3﹣m＝m（m+1）（m﹣1）．【解答】解：m3﹣m，＝m（m2﹣1），＝m（m+1）（m﹣1）．故答案为：m（m+1）（m﹣1）．12．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C、F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则AE长为6．【解答】解：设正六边形的边长为r，正六边形的内角为＝120°，∵阴影部分的面积为24π，∴＝24π，解得r＝6，则正六边形的边长为6，连接AE，过F作FH⊥AE于H，∵FA＝FE，∴∠AFH＝AFE＝60°，AH＝EH，∴AH＝AF•sin60°＝6×＝3，∴AE＝6，故答案为：6．13．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝（k＜0）的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC＝2AC，且△AOD的面积为1，则k的值为﹣．【解答】解：过点C作CH⊥x轴，交OD于M，∵AB⊥x轴，∴CH∥AB，∴△OCM∽△AOD，∵OC＝2AC，∴，∴，又∵△AOD的面积为1，∴，∵△OCH与△OBD的公共部分为△OMH，∴S△OCM＝S四边形BHMD，∵CH∥AB，∴△OMH∽△OBD，∴，∴，∴S△OBD＝，∴根据k的几何意义和函数过第二象限可得，k＝﹣．故答案为：﹣．14．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，连接CE、BE，点F、G分别为DE、BE的中点，连接FG，在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为或．【解答】解：如图1，连接BD，∵∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE．在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，∴DE＝2，BC＝3．设BD＝x，则DC＝2+x，在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，∴x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．∵点F、G分别为DE、BE的中点，∴FG＝BD＝．如图2，同理，设BD＝CE＝a，在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，∴＝18，解得a＝（舍去），a＝+，∴FG＝BD＝，故答案为：或．三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|﹣2|．【解答】解：原式＝﹣﹣2﹣（﹣2）＝﹣2﹣2﹣+2＝﹣3．16．（5分）【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝×＝．17．（5分）如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，过C作直线m∥AB．请你用尺规在直线m上找一点P，使得∠BPC＝∠BAC．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，点P、P′为所作．18．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F，求证：AB＝AC．【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABE+∠FBC＝∠ACD+∠FCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．19．（7分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：年级平均数众数中位数七年级7.5b7八年级a8c请你根据以上提供信息，解答下列问题：（1）上表中a＝7.5，b＝7，c＝7.5；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？【解答】解：（1）a＝＝7.5（分），七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此七年级学生成绩的众数为7分，即b＝7；八年级学生成绩，从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5（分），因此八年级学生成绩的中位数是7.5分，即c＝7.5；故答案为：7.5，7，7.5；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由为：八年级的学生成绩的中位数、众数都比七年级学生的高；（3）1100×＝990（人），答：我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格大约有990人．20．（7分）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，FD＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．21．（7分）小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中的线段AB所示，在小芳出发的同时，小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示．（1）小芳骑行的速度为16km/h，小亮骑行的速度为20km/h；（2）求线段DE所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人出发后1.5h两人之间的距离．【解答】解：（1）由题意可得：小芳速度＝＝16（km/h），设小亮速度为xkm/h，由题意得：1×（16+x）＝36，∴x＝20，答：小亮的速度为20km/h，小芳的速度为16km/h；故答案为：16，20；（2）由图象可得：点E表示小亮到了甲地，此时小芳没到，∴点E的横坐标＝＝，点E的纵坐标＝×16＝，∴点E（，），，设线段DE所表示的函数关系式为：s＝kt+b，将D（1，0），E（，）代入得：，解得：，∴线段DE所表示的函数关系式为：s＝36t﹣36，∵小亮速度较快，∴相遇后小亮前往甲地的时间为：＝0.8（h），∴自变量的取值范围为：1≤t≤1.8；（3）∵t＝1.5，1≤1.5≤1.8，∴t＝1.5时，s＝36×1.5﹣36＝18（km），答：两人出发后1.5h两人之间的距离是18km．22．（7分）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小芳先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小亮再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后将小球放回瓶中．（1）小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，求这15次中摸出标有数字5的球的频率；（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小芳贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小亮赢，此游戏公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）小亮随机摸球15次，其中6次摸出标有数字5的球，这15次中摸出标有数字5的球的频率为＝；（2）此游戏公平，理由如下：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种等可能的结果，即（2，1）（2，3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3）（6，5）；得到的两数字之和是3的倍数的有3个，得到的两数字之和是7的倍数有3个，∴小芳贏的概率＝小亮赢＝＝，∴此游戏公平．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切与点D，＝2，连接AE，DE．（1）求证：∠ADC＝∠E；（2）若sinC＝，BD＝6，求AE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵CD与⊙O相切与点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ADC＝∠OBD，∵∠OBD＝∠E，∴∠ADC＝∠E；（2）解：在Rt△COD中，sinC＝＝，设OD＝x，则OC＝3x，∴CD＝＝2x，∴AC＝OC﹣OA＝OC﹣OD＝3x﹣x＝2x，∴BC＝AC+AB＝2x+2x＝4x，∵∠ADC＝∠E，∠E＝∠B，∴∠ADC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ADC∽△DBC，∴＝，∵BD＝6，∴＝，∴AD＝3，∴AB＝＝＝3，连接BE，∵＝2，AB是直径，∴∠BAE＝30°，∴AE＝AB•cos30°＝3×＝．答：AE的长为．24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），点C是平移后的抛物线与原抛物线的交点，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；（2）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）．设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；①当BC为矩形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D向右平移1个单位向上平移3个单位得到E，此时D（﹣2，﹣），E（﹣1，﹣）或D（﹣2，﹣），E（﹣3，﹣），②当BC为矩形的的对角线时，BC2＝BD2+CD2，即：1+9＝4+（m+1）2+1+（m+4）2解得m＝﹣2或﹣3，∴D（﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣3），∴E（1，﹣3）或（1，﹣2）．综上，点E的坐标为：（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）或（1，﹣3）或（1，﹣2）．25．（12分）问题探究：（1）如图1，已知△ABC中，BC＝6，∠A＝120°，则△ABC面