高等代数(下)期终考精彩试题及问题详解(C卷)

高等代数(下)期终考出色试题及问题详解(C卷)高等代数(下)期终考出色试题及问题详解(C卷)高等代数(下)期终考出色试题及问题详解(C卷)合用标准高等代数(下）期末考试一试卷（C卷）一.选择题（每空2分，共12分）1．(D)以下会集哪一个是Rn的子空间(A){(a1,0,....,0,an)|a1,anR,a1an}(B){(a1,a2,...,an)|aiZ,i1,...,n}n(C){(a1,a2,...,an)|ai1,aiR}1n(D){(a1,a2,...,an)|ai0,aiR}i12．(B)令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．以下哪一个照射是R3的线性变换(A)()=,其中是3的固定向量0R(B)()=(2x1-x2+x3,x2x3,-x3)(C)()=(x1,x22,x33)(D)()=(x11,x2,0)(C)假如V1,V2是线性空间V的两个子空间,且dim(V1)=3,dim(V2)=2,dim(V1?V2)1,那么dim(V1+V2)为(A)2(B)3(C)4(D)5(l)24.（C）若4阶方阵A的初等因子为,+3,2.则A的不变因子是+3(Ａ)1，（+3），（+2），(l+3)2；(B)1，1，(+3)(+2)，(l+2)(l+3)2；(C）1，1，（2+3），(l+2)(l+3)；(D)1，1，(+2)，(l+2)(l+3)2；5．（B）设矩阵A的全部不相同特色值为1,2,...,s，则以下哪一说法与A可对角化不等价（A）A有n个线性没关的特色向量；（B）R(iEA)ni(i1,2,...)(其中ni为i的重数);s（C）i的特色子空间Vi的维数dim(Vi)i的重数(i1,2,...,s);(D)A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积;6.（D）在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为文档大全合用标准(A)10;（B）4；(C)9；（D）6；.二.填空题（每空２分，共18分）1、已知a是数域P上的一个固定的数，而W{(a,x2,,xn)xiP,i2,,n}是Pn1的一个子空间，则a＝_______，dim(W)＝________.2.设,是P2的两个线性变换，定义以下(x,y)(2xy,0),(x,y)(3y,xy)(x,yP)则(x,y)_________.1003.已知EA的标准形为00，则A的特色多项式00(2)EA2(2)，A的最小多项式为___________。131是A的属于特色值4.设A2，则向量1的特色向量．22002005．若A=001与B=0y0相似，则x_____,y=______。01x0016．设三阶实对称矩阵A的特色值121,33，则R(3EA)______。三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每题2分,共10分)1.对于矩阵的加法和数乘,V0{BBB,BRnn}是Rnn的子空间(）2.任一实对称矩阵A都与对角阵既相似又合同()3.设是数域P上线性空间V的线性变换,W是一维-子空间,那么W中任何一个非零向量都是属于特色值的特色向量.()4．在欧几里得空间V中,保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换．（）5．A()与B()等价当且仅当它们有相同的行列式因子.（）四．计算题(共3小题,33分)1．设e1,e2和h1,h2是线性空间R2的两组基,是R2的线性变换，已知文档大全合用标准s(e1,e2)=(e1-2e2,2e1+e2),(h1,h2)=(e1+e2,2e1+3e2)(1)求在基e1,e2下的矩阵A；(2)求基e1,e2到基h1,h2的过渡矩阵X；(3)求在h1,h2下的矩阵。.(7分)2.设1,2,3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的胸襟矩阵为1121212161）令2）若

12，求；12k3与正交，求k的值.（10分）3．设二次型fx1,x2,x32x122x222x322x1x22x1x32x2x3，1）写出二次型所确定的矩阵；2）用正交线性代替将二次型化为标准形；3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正定性．（16分）五.证明题(每题9分，共27分)1.设V1与V2分别是齐次方程组x1x2...xn0,x1x2...xn1xn的解空间，证明：PnV1V2.2．证明：若Ａ是实对称矩阵，则Rn中分别属于Ａ的不相同特色值,的特色向量,必正交3．设V是一个n维欧氏空间，是V的一个对称变换，证明：值域(V)是核1(0)的正交补.文档大全合用标准答案幻灯片1高等代数（下）期末考试C卷解答二、选择题（2×6=12分）1、（D）以下会集哪一个是Rn的子空间(A){(a1,0,....,0,an)|a1,anR,a1an}(B){(a1,a2,...,an)|aiZ,i1,...,n}n(C){(a1,a2,...,an)|ai1,aiR}i1n(D){(a1,a2,...,an)|ai0,aiR}i1文档大全合用标准幻灯片2一、选择题（2×6=12分）2、（B）令x1,x2,x3是R3的任意向量，以下哪一个照射是3R的线性变换。(A)()=,其中0是R3的固定向量(B)()=(2x1x2+x3,x2x3,x3)(C)()=(x1,x22,x33)()=(x11,x2,0)3、（C）若是V1,V2是线性空间V的两个子空间，且dim(V1)=3,dim(V2)=2,dim(V1?V2)1,则dim(V1+V2)为（A）2（B）3（C）4（D）5文档大全合用标准幻灯片3一、选择题（2×6=12分）4、（C）若4阶方阵A的初等因子为(l+3)2,l+3,l+2则A的不变因子是2(A)1,l+2,l+3,(l+3)21,1,l+2ll+2l+3B+3,()()()(2C+21,1,l+3,ll+3()()()(2D1,1,ll+2+2,l+3文档大全合用标准幻灯片4一、选择题（2×6=12分）5、（B）设矩阵A的全部不相同特色值为1,2,...,s则以下哪一说法与A可对角化不等价：（A）A有n个线性没关的特色向量；BRiEAni,i1,2,...s,其中ni为i的重数Ci的特色子空间Vi的维数dim(Vi)i的重数(i1,2,...,s)（D）A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积6、（D）在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为（A）10;（B）4；（C）9；（D）6；321文档大全合用标准幻灯片5二、填空题（每空2分，共18分）1、已知a是数域P上的一个固定的数，而W{(a,x1,,xn)xiP,i1,,n}是Pn1的一个子空间，则a0,dimWn2(a,x1,,xn)(2a,2x1,,2xn)W2aaa0ii0,0,1,0,0i2,3,...,n1是W的一个基。文档大全合用标准幻灯片6二、填空题（每空2分，共18分）2、设,是P2的两个线性变换，定义以下：(x,y)(2xy,0),(x,y)(3y,xy)x,yP则(x,y)(0,2xy)(x,y)(2xy,0)(0,2xy)或(x,y)20(x,y)(x,y)01(x,y),3110(x,y)(x,y)20200110(x,y)0311020,2xy(x,y)10文档大全合用标准幻灯片7二、填空题（每空2分，共18分）1003、已知EA的标准形为0000(2)则A的特色多项式是2(2)A的最小多项式是(2)EADnd1d2dnn阶复数方阵A的最小多项式mA正是A的第n个不变因子dn（P351）文档大全合用标准幻灯片8二、填空题（每空2分，共18分）4、设A13，则向量1是A的属于特色值4221的特色向量。13141221441200200、若A001与B0y0相似，则501x001x0,y1A2B2yy1trA2xtrB1yx0文档大全合用标准幻灯片9二、填空题（每空2分，共18分）6、设三阶实对称矩阵A的特色值121,33则R(3EA)2______实对称矩阵必可对角化，所以V1也即EAX0解空间的维数为2，故R(EA)1V3也即3EAX0解空间的维数为1，故R(3EA)2文档大全合用标准幻灯片10三、鉴识题（对的打”√”,错的打”×”，2×5=10分）1、对于矩阵的加法和数乘，V0{BBB,BRnn}是Rnn的子空间（√）2、任一实对称矩阵A都与一对角阵既相似又合同（√）3、设是数域P上线性空间V的线性变换，W是一维子空间，那么W中任何一个非零向量都是的属于特色值的特色向量（√）WL,WkW,0kkkk文档大全合用标准幻灯片114、在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换（×）保持任意两个非零向量的夹角不变的线性变换未必是正交变换。如：令显然是线性变换，且

A2,VA,A2,2,AAb22bb但A,A2,24,所以不是正交变换。但有——实数域R上欧氏空间V的线性变换是正交变换V,有A文档大全合用标准幻灯片12三、鉴识题（对的打”√”,错的打”×”，2×5=10分）5、A()与B()等价当且仅当它们有相同的行列式因子（√）四、计算题（7+10+16=33分）、设1,2和1,2是线性空间R2的两组基，是R2的1线性变换，已知：s(e1,e2)=(e1-2e2,2e1+e2),(h1,h2)=(e1+e2,2e1+3e2)（1）求在基1,2下的矩阵A；（2）求由基1,2到基1,2的过渡矩阵X；（3）求在基1,2下的矩阵B。骣12解：（1）s(e1,e2)=(e1-2e2,2e1+e2)=(e1,e2)?÷???÷12桫-21在基1,2下的矩阵A21文档大全合用标准幻灯片131、设1,2和1,2是线性空间R2的两组基，是R2的线性变换，已知：s(e1,e2)=(e1-2e2,2e1+e2),(h1,h2)=(e1+e2,2e1+3e2)（1）求在基1,2下的矩阵A；（2）求由基1,2到基1,2的过渡矩阵X；（3）求在基1,2下的矩阵B。骣解：（2）(h1,h2)=(e1+e2,2e1+3e2)=(e1,e2)?12÷??骣?÷÷桫13由基,到基,的过渡矩阵X=121212???÷（3）求在基1,2下的矩阵桫13骣骣骣2骣26-1鼢B=X珑鼢珑?AX=珑鼢珑?珑鼢珑鼢1桫-213桫-4-9桫-1桫1文档大全合用标准幻灯片14四、计算题（7+10+16=33分）2、设1,2,3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的112胸襟矩阵为：1211）令2）若

21612，求12k3与正交，求k的值。1121解：（1）,1101211112160（1）之解法二：（，）＝（1＋2，1＋2）(1,1)(1,2)(2,1)2,211121（，）１文档大全合用标准幻灯片15四、计算题（7+10+16=33分）2、设1,2,3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的112胸襟矩阵为：1212161）令2）若解：（2）

12，求12k3与正交，求k的值。1121,11k12111k0k12160文档大全合用标准幻灯片16四、计算题（7+10+16=33分）3、设二次型fx1,x2,x32x122x222x322x1x22x1x32x2x31）写出二次型所确定的矩阵；2）用正交线性代替将二次型化为标准形；3）求二次型的秩；4）判断二次型的正定性。211x1解：（1）二次型fx1,x2,x3(x1,x2,x3)121x2112x3211所以二次型的矩阵是：A121112文档大全合用标准幻灯片17四、计算题（7+10+16=33分）3、设二次型fx1,x2,x32x122x222x322x1x22x1x32x2x31）写出二次型所确定的矩阵；2）用正交线性代替将二次型化为标准形；3）求二次型的秩；4）判断二次型的正定性。211解：（2）EA121(3)2112A的特色值为：10,233.对10,解方程组0EAX0得一基础解系：11,1,1文档大全合用标准幻灯片18四、计算题（7+10+16=33分）3、设二次型fx1,x2,x32x122x222x322x1x22x1x32x2x31）写出二次型所确定的矩阵；2）用正交线性代替将二次型化为标准形；3）求二次型的秩；4）判断二次型的正定性。解：（2）......对233,解方程组3EAX0得一基础解系：21,1,0,31,0,1把1单位化，把2,3正交规范化，得111,1,1,211,1,0,311,1,2326文档大全合用标准幻灯片19四、计算题（7+10+16=33分）3、设二次型fx1,x2,x32x122x222x322x1x22x1x32x2x31）写出二次型所确定的矩阵；2）用正交线性代替将二次型化为标准形；3）求二次型的秩；4）判断二次型的正定性。解：（2）......令T1,2,3作正交变换：XTYfx1,x2,x33y223y32则二次型化为标准形：（3）由（2）知二次型的秩为2；（4）由（2）知二次型是半正定的。文档大全合用标准幻灯片20五、证明题（每题9分，共27分）1、设V1与V2分别是齐次方程组x1x2...xn0,和x1x2...xn1xn的解空间，证明PnV1V2.证明：方程x1x2...xn0,的一个基础解系也即V1的一个基是：1(1,1,0,...,0),2(1,0,1,...,0),...,n1(1,0,0,...,1)方程x1x2...xn1xn的一个基础解系也即V2的一个基是：n(1,1,...,1).因为1,2,...,n1,n线性没关且有n个向量，所以作成Pn的一个基，故有PnV1V2.又由dim(Pn)dim(V1)dim(V2)PnV1V2.文档大全合用标准幻灯片21五、证明题