经济应用数学(第二版) 1-2极限的概念

§1.1

函数

§1.2

极限的概念

§1.3

极限的四则运算法则与函数的连续性

§1.4

复利与贴现

第一章函数与极限1

一.数列的极限

二.函数的极限§1.2极限的概念

三.无穷小与无穷大2

一.数列的极限案例1

战国时期哲学家:庄周“一尺之棰，日取其半，万世不竭”《庄子天下篇》一尺即“一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去.”实际上，每天截后剩下的棒的长度是（单位为尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；3第天剩下；……；这样，我们就得到一列数……；第22天剩下；……这一列数就是一个数列.

随着时间的推移，剩下的棒的长度越来越短.显然,当天数无限增大时,剩下的棒的长度将无限缩短,即剩下的棒的长度接近于数0.

这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为极限.并记作4

一般地，按正整数顺序排列的无穷多个数,称为数列,数列通常记作

定义1.2设数列

1.数列

第一项

第二项

第项,也称为通项或一般项2.数列的极限若当无限增大时,趋向于常数,则称数列以为极限，记作或

有极限的数列称为收敛数列.没有极限的数列称为发散数列.

5收敛数列举例

当无限增大时,由于无限接近于数0,

所以无限接近于数1,因此数列以1为极限.即数列6发散数列举例

当无限增大时,也无限增大,它不趋于任何常数,该数列就没有极限.

(1)数列

注意到随着无限增大，它有确定的变化趋势，即取正值且无限增大，对这种情况，我们借用极限的记法表示它的变化趋势，记作或

正无穷大

7发散数列举例

可分别记作

负无穷大

同样，对数列

无穷大

(2)数列通项为,其数值-1和+1上跳来跳去，也不能接近某一常数，这样的数列也没有极限.8

将数列取值计算,列表如下.考察其极限是否存在.12.000000102.5937421022.7048141032.7169241042.7181461052.7182681062.718280当无限增大时练习1数列增加得越来越慢9

由上表可看出，该数列是单调增加的;若再仔细分析表中的数值会发现,随着增大,数列后项与前项的差值在减少,而且减少得相当快.

这表明,数列的通项当无限增大时.它将趋于一个常数.

可以推出,该数列有极限,且其极限为,即

是一个无理数,=2.718281828459…．.101.当时，函数的极限

在这里作为函数的自变量.若取正值且无限增大,记作若取负值且其绝对值无限增大,记作若既取正值又取负值,且其绝对值无限增大,记作

这里，“当时，函数的极限”，就是讨论当自变量的绝对值无限增大时，函数的变化趋势.若

无限接近常数,就称当趋于无穷大时，函数以

为极限.

二.函数的极限11案例2

经研究,得到非常有名的揭示遗忘规律的曲线,称为艾宾浩斯遗忘曲线.图中竖轴表示学习中记住的知识数量，横轴表示时间(天数)，曲线表示记忆量变化的规律．德国心理学家:

艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)

这条曲线告诉人们在学习中的遗忘是有规律的,遗忘的进程不是均衡的,到了相当长的时候后,几乎就不再遗忘了,这就是遗忘的发展规律.该问题可理解为:当时间趋于正无穷大时,记忆的数量将以为极限.121.当时，函数的极限

或定义1.3设函数在时有定义,若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于无穷大时以为极限，记作

定义1.3的几何意义:曲线沿着轴的正向和负向无限远伸时,与直线越来越接近.此时,称直线为曲线的水平渐近线.

13例如,由下图可知

它的左侧分支沿着轴的负向无限远伸时,与直线越来越接近,即以直线为水平渐近线.

它的右侧分支沿着轴的正向无限远伸时,与直线越来越接近,即以直线为水平渐近线.

14一般地，对曲线,若或则直线是曲线的水平渐近线．

15(1)当时,函数的极限

或

若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于负无穷大时以为极限,记作(2)当时,函数的极限

或

若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于正无穷大时以为极限,记作16

时,函数的极限与

时,函数的极限的关系：

极限存在且等于的充分必要条件是:极限与都存在且等于,即17练习3求

解由图易看出由极限存在的充分必要条件知不存在.曲线沿着轴的负方向无限延伸时,以直线为水平渐近线.182.当时，函数的极限

是一个定数.若且趋于,记作若且趋于,记作若和同时发生,则记作.

这里，“当时,函数的极限”,就是在点

的左右邻近讨论当自变量

无限接近定数(但不取)时，函数的变化趋势.

若当趋于时,函数的对应值趋于常数,则称当时,函数以为极限.1900.50.80.90.990.9990.99990.999990.999999...11.51.81.91.991.9991.99991.999991.999999...21.51.21.11.011.0011.00011.000011.000001...32.52.22.12.012.0012.00012.000012.000001...相应的函数值的变化情况见表:

案例3设函数,试讨论当时，函数的变化情况.当时,函数当,时,函数当时,函数20案例3设函数,试讨论当时，函数的变化情况.由图也可看出:当,时,函数以2为极限，记作:212.当时,函数的极限

或定义1.4设函数在点的左右邻近有定义(在点可以有定义,也可以没有定义)若当

(但始终不等于)时,函数趋于常数,则称函数当趋于无穷大时以为极限,记作例如,由图可知22另,由右图可知由左图可知232.(1)左极限或若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于时以为左极限,记作2.(2)右极限或若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于时以为右极限,记作24都存在且等于.即极限存在且等于的充分必要条件是左极限与右极限25练习3

和是否存在．

设函数,试讨论极限,

解由图可看出在处,函数的左、右极限都存在,但不相等,故不存在．

26练习4考察当时,的极限是否存在.

解由图可看出

由于当

时,有确定的变化趋势，这时也称当

时,

的极限是负无穷大，并记作

当时,

取负值,且其绝对值无限增大,即当时,的极限不存在．该曲线在轴右侧沿轴负方向无限延伸时,与直线无限接近,称为曲线的铅垂渐近线.27一般地,对曲线

,若

或则直线是曲线的铅垂渐近线．以上我们引入了下述七种类型的极限,即说明为了统一地论述它们共有的运算法则,本书若不特别指出是其中的哪一种极限时,将用

或

泛指其中的任何一种,其中的

或

常称为变量.

28

三.无穷小与无穷大无穷小概念引入：29极限为零的变量称为无穷小.无穷小的定义注意

（1）无限变小的量不是无穷小，应绝对值无限变小；（3）在常量中,惟有数0是无穷小；

（2）应先说明自变量的趋势；（4）当x→0时,

x，x2,

2x

都是无穷小。30无穷小的性质(1)两个无穷小的代数和仍是无穷小;注意:无限多个无穷小量的和不一定是无穷小量．有限个31无穷小的性质(2)无穷小与有界变量的乘积是无穷小；是有界变量:于是,由无穷小的运算