有界变差函数-北京师范大学数学科学学院课件

北京师范大学数学学院

授课教师：刘永平第四章一元函数的变化性态（III）

北京师范大学数学学院

授课教师：刘永平第四章一元函数的今天主要内容:

绝对连续函数和康托函数

(1)绝对连续函数的性质；(2)微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式）；(3)康托集与康托函数；(4)一些例子.(5)小结.今天主要内容:

绝对连续函数和康托函数

(1)绝对连续函数1.绝对连续函数的基本性质1.绝对连续函数的基本性质例3.1例3.1定理3.1定理3.1定理3.2定理3.2定理3.3.微积分基本定理

（Newton-Leibniz公式）定理3.3.微积分基本定理

（Newton-Leibniz例3.1例3.1康托集与康托函数康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间然后将剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间

仿此继续,当进行到第n步时,去掉个开区间(依其元素小大康托集与康托函数康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间区间长为.那么进行第n+1步，在

的个闭区间中，分别三等分并去掉他们的中间的开区间:

为序):区间长为.那么进行第n+1步，在为归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：康托集的性质康托集的性质康托函数康托函数康托函数的性质康托函数的性质例子4.1推广的康托集例子4.1推广的康托集有界变差函数-北京师范大学数学科学学院课件推广的康托集的性质推广的康托集的性质奇异函数和Heaviside函数若一个不恒为零的连续函数s,它a.e.可导且其导函数a.e.为零，则称s为奇异函数.Heaviside函数：奇异函数和Heaviside函数若一个不恒为零的连续函数s,跳跃函数设f是[a,b]上的单调增加函数，

是其全体不连续点.定义：跳跃函数设f是[a,b]上的单调增加函数，定理3.4.单调函数的勒贝格分解设f是[a,b]上的单增函数，则定理3.4.单调函数的勒贝格分解设f是[a,b]上的单增小结(1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立；(2)康托三分集是测度为零、不可数、稀疏的完全集；(3)康托函数是导数几乎处处为零、函数值充满[0,1]的连续单调增函数,故它是奇异的；(4)单增函数的勒贝格分解：跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.小结(1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立；习题4.34、5、6、7、8、9.习题4.34、5、6、7、8、9.

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授课教师：刘永平第四章一元函数的变化性态（III）

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授课教师：刘永平第四章一元函数的今天主要内容:

绝对连续函数和康托函数

(1)绝对连续函数的性质；(2)微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式）；(3)康托集与康托函数；(4)一些例子.(5)小结.今天主要内容:

绝对连续函数和康托函数

(1)绝对连续函数1.绝对连续函数的基本性质1.绝对连续函数的基本性质例3.1例3.1定理3.1定理3.1定理3.2定理3.2定理3.3.微积分基本定理

（Newton-Leibniz公式）定理3.3.微积分基本定理

（Newton-Leibniz例3.1例3.1康托集与康托函数康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间然后将剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间

仿此继续,当进行到第n步时,去掉个开区间(依其元素小大康托集与康托函数康托集：将[0，1]三等分，去掉开区间区间长为.那么进行第n+1步，在

的个闭区间中，分别三等分并去掉他们的中间的开区间:

为序):区间长为.那么进行第n+1步，在为归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：归纳地，可从[0,1]中去掉开区间族：康托集的性质康托集的性质康托函数康托函数康托函数的性质康托函数的性质例子4.1推广的康托集例子4.1推广的康托集有界变差函数-北京师范大学数学科学学院课件推广的康托集的性质推广的康托集的性质奇异函数和Heaviside函数若一个不恒为零的连续函数s,它a.e.可导且其导函数a.e.为零，则称s为奇异函数.Heaviside函数：奇异函数和Heaviside函数若一个不恒为零的连续函数s,跳跃函数设f是[a,b]上的单调增加函数，

是其全体不连续点.定义：跳跃函数设f是[a,b]上的单调增加函数，定理3.4.单调函数的勒贝格分解设f是[a,b]上的单增函数，则定理3.4.单调函数的勒贝格分解设f是[a,b]上的单增小结(1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立；(2)康托三分集是测度为零、不可数、稀疏的完全集；(3)康托函数是导数几乎处处为零、函数值充满[0