几何与代数：lec8-分块矩阵和矩阵的秩

教学内容和学时分配

第二章矩阵教学内容学时数§2.1矩阵的代数运算

2§2.2可逆矩阵2§2.3分块矩阵1§2.4矩阵的秩1§2.5初等矩阵2§2.6用Matlab解题

1思考题：（学会归纳总结）矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的？矩阵乘积的交换律一般情况下不成立，但有一些特殊情况是成立的，此时称A,B是可交换的。请列举出矩阵乘积可交换的情况。方阵A可逆的充要条件有哪些？1.方阵的正整数幂只定义在n阶方阵上的运算A可逆|A|04.伴随矩阵5.可逆矩阵A2=AA,Ak+1=AkA3.行列式2.对称矩阵AT=A

数量矩阵En单位矩阵En

|A|:Rn×n

R对角矩阵(iij)1.方阵的正整数幂乘积可交换的运算4.伴随矩阵5.可逆矩阵AkAl=AlAk3.行列式数量矩阵En单位矩阵En

(aEm)Am×n=

Am×n(aEn)2.对角矩阵(iij)=

(A,B为方阵.)(方阵A可逆)A为非奇异阵、非退化阵思考题：（学会归纳总结）方阵A可逆的充要条件有哪些？问题式预习1.分块乘积、分块转置需要注意什么？2.如何求解矩阵方程AX=B？3.矩阵的秩反应了矩阵的什么本质特征？§2.3分块矩阵一.矩阵的分块在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。A21B11§2.3分块矩阵一.矩阵的分块在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。A1A2122

处理有特点的大矩阵时需要进行分块

分法:

将矩阵用纵线和横线分成若干小矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的子块.

定义

以子块为元素的矩阵称为分块阵.

矩阵分块的三个原则:

体现原矩阵特点.

根据问题需要.

能够把子块看作元素进行运算.

§2.3分块矩阵一.矩阵的分块第二章矩阵

§2.3分块矩阵

三种特殊的分块方法设A为m×n矩阵,记Aj为A的第j列,i为A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),则有如下两种重要的分块方法A=(A1,A2,…,An),12…mA=其中A1,A2,…,As都是方阵,则称A为分块对角阵(或准对角矩阵).A=A1

O…OO

A2…O

…………

O

O…As,二.分块矩阵的运算分块加法设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块法分块将A与B分块如下第二章矩阵

§2.3分块矩阵

A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=二.分块矩阵的运算分块加法设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块法分块将A与B分块如下第二章矩阵

§2.3分块矩阵

2.分块数乘第二章矩阵

§2.3分块矩阵

设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,为常数.A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.则A=3.分块乘法设A为ml矩阵,B为l

n矩阵,将它们分块如下A的列的分法与B的行的分法相同.

(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)第二章矩阵

§2.3分块矩阵

A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1t例1求AB:解1：60直接运算量：分块运算量：子块运算量：

将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的.只要前一矩阵列的分法与后一矩阵行的分法一致在例1中例1求AB:解2：不是分块对角阵分块运算量：子块运算量：其中Ai,Bi

都是同阶方阵，i=1,2,…,s.

分块对角矩阵的乘法第二章矩阵

§2.3分块矩阵

设A=A10…00A2…0

…………00…As,B=B10…00B2…0

…………00…Bs,则AB=A1B10…00A2

B2…0

………………00……As

Bs.4.分块转置4.分块转置4.分块转置分外层内层双重转置

AT

=(A1,A2,…,An)T=(1T,2T,…,mT).=T注意!

第二章矩阵

§2.3分块矩阵

设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.则AT=A1T

A2T…AnT12…mAT=三.分块矩阵的应用线性方程组的表示形式三.分块矩阵的应用线性方程组的表示形式之一如何解多个系数矩阵都为A的方程组？AX1=B1AX2=B2AXs=Bs(AX1,,AXs)=(B1,,Bs)A(X1,,Xs)=(B1,,Bs)矩阵方程AX=BARmn,Bj

Rm,Xj

Rn,j=1,2,,s.用初等行变换求解矩阵方程：(AB)初等行变换行阶梯阵r(A)=r(AB)?行最简形无解N初等行变换Y矩阵方程的求解如何解多个系数矩阵都为A的方程组？XB例5.求解BY=A,AX=B.

解：

第二章矩阵

§2.3分块矩阵

尤其要注意AB=0时的特殊情况:说明B

的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的一个解.

*例6第二章矩阵

§2.3分块矩阵

AB的列向量尤其要注意AB=0时的特殊情况:*例6第二章矩阵

§2.3分块矩阵

AB的列向量例7.设A是二阶方阵，x是二维非零列向量，若，求一矩阵C，使得AB=BC.注意：不能提公因子B*例6第二章矩阵

§2.3分块矩阵

AB的列向量例7.设A是二阶方阵，x是二维非零列向量，若，求一矩阵C，使得AB=BC.BC的列向量BC的列是B1,B2的线性组合线性方程组的表示形式之二即称b是向量组A1,A2,…,An

的线性组合。x1,x2,…,xn

称为线性组合的组合系数。第二章矩阵

§2.3分块矩阵

(AB)的列向量是A的列向量组A1,A2,…,An

的线性组合设若把A,C按列分块，则AB的列向量2.矩阵AB的列向量若把矩阵B,C按行分块，则设矩阵于是有(AB)的行向量是B的行向量组1,2,…,n的线性组合.第二章矩阵

§2.3分块矩阵

3.矩阵AB的行向量第二章矩阵

§2.3分块矩阵

§2.3分块矩阵

一.矩阵的分块三.分块矩阵的应用AX=B的求解转置乘法二.分块矩阵的运算2.矩阵AB的列向量3.矩阵AB的行向量行问题：不同的初等行变换所得到的阶梯阵的阶梯数会不会不同呢？

阶梯阵的阶梯数反映了矩阵的什么本质信息？第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

问题的提出:初等行变换(阶梯阵)A=2041

1

0132

20082

20000

00=0(阶梯数=3)(存在一个非零的3阶子式，任意4阶子式都为0.)第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

1.k阶子式：在Amn中,任取k行与k列(km,kn),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式.

这样的子式共有

个.2阶子式2001201

012402=23阶子式=0一.秩的概念A的所有3阶子式都为0A中非零子式的最高阶数为2.例.

A=2041

01324082A=2041

1

0132

20082

20000

0注2.矩阵r(A)=r

A中至少有一个r阶子式而当k>r时,A的任一k阶子式都为0.2.

矩阵A的秩

(rank)A中非零子式的最高阶数,记为r(A).注1.

0r(Amn)min{m,n}而A的所有4阶子式都等于0,中有一个3阶子式不等于0;所以r(A)=3.注3.

阶梯阵的秩等于其阶梯数,即主元的个数.

第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

不等于0,注2.矩阵r(A)=r

A中至少有一个r阶子式不等于0,而当k>r时,A的任一k阶子式都为0.2.

矩阵A的秩r(A)：A中非零子式的最高阶数.注1.

0r(Amn)min{m,n}注3.

阶梯阵的秩等于其阶梯数,即非0行行数.

注4.设A为n阶方阵，|A|0

r(A)=n？3.若|A|0，方阵A称为非奇异(非退化)矩阵.注5.若r(A)=n，方阵A称为满秩矩阵.方阵A非奇异(非退化),满秩,可逆r(A)=n|A|0第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

问题：不同的初等行变换所得到的阶梯阵的阶梯数会不会不同呢？阶梯阵的阶梯数到底反映了矩阵的什么本质信息？第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

问题的提出:初等行变换(阶梯阵)非零子式的最高阶数.阶梯阵

的秩问题：初等行变换是否会改变矩阵的秩呢？引理1.

r(A)=r(AT).证明:设AO.AT的子式等于A的某个子式的转置,因此AT与A的非零子式的最高阶数相等.一次初等行变换引理2.

r(A)=r(B).A的(非)零子式与B的(非)零子式一致.因此A与B的非零子式的最高阶数相等.即r(A)=r(B).二.初等变换和矩阵的秩第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

一次初等行变换引理2.

r(A)=r(B).记B=

a11a12…a1n

…………ai1+kaj1

ai2+kaj2…ain+kajn…………aj1aj2…ajn

…………

an1

an2…ann先证r(B)

r(A)=r.即证B的任意l(>r)阶子式D=0.(1)D不含Bi:BiBjD=DA=0(2)D含Bi,Bj:D=DA=0(3)D含Bi,不含Bj:D=DA1kDA2ri+krjABri

krjBAr(A)

r(B)r(A)=

r(B).第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

=0初等列变换引理4.

r(A)=r(B).引理1.

r(A)=r(AT).一次初等行变换引理2.

r(A)=r(B).初等行变换引理3.

r(A)=r(B).证明:初等列变换初等行变换r(A)=r(AT)=r(BT)=r(B).初等变换命题2.3.

r(A)=r(B).二.初等变换和矩阵的秩第二章矩阵

§2.4矩阵的秩

初等行变