电磁场理论第4章：静态场的解

第四章静态场的解

*4.1边值问题的分类*4.2唯一性定理

4.3镜像法

4.4分离变量法*4.5复变函数法*4.6格林函数法*4.7有限差分法*4.1边值问题的分类第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值；第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数；第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。4.2唯一性定理满足边界条件和拉普拉斯方程的解是唯一的！4.3镜像法4.3.1平面镜像法

例4-1

置于无限大接地导体

平面上方，距导体面为h处有一点电荷q，求导体上方的电位。

无限大导体平面上点电荷的镜像

xz0φ（导体下方因屏蔽电位为零）当z>0时，▽2φ=0(q点除外）当z=0时，φ=0当z→∞时，φ=0

解：用-q电荷代替导体面上电荷所产生的电位于是，导体面上任一点的电位是由电荷q与镜像电荷-q产生电位的叠加由由Dn=ρS可得导体表面(z=0)的面电荷密度：导体表面总的感应电荷：（查高数积分公式可得）讨论：由上题结论可以处理下面问题相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像4.3.2球面镜像法例4-2

如图所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。球面镜像原问题；等效问题

0P00AB解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b<a)，这样球外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位的叠加，即q′和b是待定。当P点落到球面时要求电位为零。取A、B两点时，可以得到两个方程：解之得可以计算得到，球面上总的感应电荷qin=-qa/d=q′

讨论：

1.如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是q′，其位置和大小由式(4-9)确定；另一个是q″,q″=-q′,q″位于球心。

2.如果导体球不接地，且带电荷Q，即q′位置和大小同上，q″的位置也在原点，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。*4.3.4平面介质镜像法例4-6

设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0及x>0的半空间，在介质2中点(d,0,0)处有一点电荷q,如图4-7(a)所示，求空间各点的电位。图4-7例4-6用图(a)介质镜像问题；(b)区域2等效；(c)区域1等效解：右半空间任一点的电位为左半空间任一点的电位为其中q′和q″待定。4.4分离变量法4.4.1直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为设φ可以表示为三个函数的乘积，即分离变量然后用XYZ除上式，得于是，有：（α、β、γ为常数）当α=0时，则当α=jkx(kx为实数)，则该式也可表示为如下的指数形式：（特点：有多个零点）（特点：只有一个零点，解可为常数）当α=kx(kx实数)

，则该式也可表示为如下的指数形式：（特点：只有一个零点，sh0=0）ch0=1

例4-7

横截面如图4-8所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0，求此区域内的电位。图4-8矩形截面导体槽0解：本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x,y)。

在区域0<x<a、0<y<b内，▽2φ=0边界条件为①x=0,φ(0,y)=0②x=a,φ(a,y)=0③y=0,φ(x,0)=0④y=b,φ(x,b)=U0

即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1,2,3,…)，这样得到X(x)=a1sin(nπx/a)。由于α2+β2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数有c2=0,Y(y)=c1sh(nπy/a)，这样我们就得到基本解X(x)Y(y)，记作只可选解的形式为：带边界条件1、2得：

通解为取不同的n值对应的φn的叠加，即由边界条件④，有φ(x,b)=U0，即其中：于是，左右两边同乘以sin(mπx/a)，并在区间(0，a)积分，有：（仅有n=m时积分不为零）因而，n=2,4,6,…n=1,3,5,…所以，当n=1,3,5,…时，当n=2,4,6,…时，这样,得到区域的电位为:例4-8

如图4-9所示，两块半无限大平行导体板的电位为零，与之垂直的底面电位为φ(x,0)，求此半无限槽中的电位。其中：图4-9无限长槽的电位

解：和前题类似，这是一个二维拉普拉斯方程边值问题，φ=φ(x,y)，边界条件为①φ(0,y)=0②φ(a,y)=0③φ(x,∞)=0④为满足边界条件④，取级数代入边界条件④，得运用正弦函数的正交归一性，得：*4.4.2圆柱坐标系中的分离变量法当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此时电位φ(r,φ)满足二维拉普拉斯方程：运用分离变量法解之，令两个常微分方程：当n≠0时，上面两方程的解为当n=0时，

例4-9

将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，柱轴与E0垂直，求任意点的电位。解：令圆柱的轴线与z轴重合，E0的方向与x方向一致，如图4-10所示。由于导体柱是一个等位体，不妨令其为零，即在柱内(r<a),φ1=0，柱外电位φ2满足拉普拉斯方程。φ2的形式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。以下由边界条件确定待定系数。本例的边界条件是：①r→∞，柱外电场E2→E0ex,这样φ2→E0x，即φ0→-E0rcosφ。②r=a，导体柱内、外电位连续，即φ2=0。

图4-10均匀场中导体柱除此之外，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是，因这一表达式对任意的φ成立，所以于是，

例4-10

若在电场强度为E0的均匀静电场中放入一个半径为a的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数为ε，柱外为真空，如图4-11所示，求柱内、外的电场。图4-11均匀场中介质柱

解：设柱内电位为φ1，柱外电位为φ2，φ1和φ2与z无关。取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：①

r→∞,φ2=-E0rcosφ②r=0,φ1=0③r=a,φ1=φ2④r=a,于是，柱内、柱外电位的通解为考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于x轴对称，柱内、柱外电位解只有余弦项，即于是