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文档简介

备注：对这个问题的研究准备撰稿成文，请勿外传.挑战问题19：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F分别为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，BE<BF，过点E、F分别作BC、AC的垂线交于点M，垂足分别为H、G.当时，MH=；判断的积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.方法1：（见等腰想旋转）将△ACF绕点C顺时针方向旋转90°至△BCF'，由于∠ECF=45°，∠ACB=90°，则∠ACF+∠BCE=45°，于是有∠BCF'+∠BCE=45°=∠ECF'=∠ECF，且CF=CF',CE=CE,所以，△ECF≌△ECF'，所以，EF=EF'，而∠EBF'=45°+45°=90°，有勾股定理可知：BE2+BF'2=EF'2，则有BE2+AF2=EF2.当时，设MH=x，由BE2+AF2=EF2可得方程：，解得：.基于“从特殊到一般”的思想方法，设，则由BE2+AF2=EF2可得方程：，可得：，即方法2：（见等腰想旋转）将△BCE绕点C逆时针方向旋转90°至△ACE'，过程类同于方法1也能得到BE2+AF2=EF2.当时，设MH=x，由BE2+AF2=EF2可得方程：，解得：.（2）基于“从特殊到一般”的思想方法，设，则由BE2+AF2=EF2可得方程：，可得：，即方法3：（见半角模型想翻折）将△ACF沿着CF翻折得到△A'CF，连接A'E，由于∠ECF=45°，∠ACB=90°，则∠ACF+∠BCE=45°，于是有∠A'CF+∠BCE=45°=∠A'CF+∠A'CE，所以，∠A'CE=∠BCE，且CB=CA',CE=CE,所以，△BCE≌△A'CE，则有：BE=A'E，同理可知△A'EF是直角三角形.也易得：BE2+AF2=EF2，接下来求解过程和上面相同，设，可得：，即方法4：（面积法）无论是用旋转图形运动还是用翻折图形运动都能得到：BE2+AF2=EF2，接下来过程和上面完全不同，由BE2+AF2=EF2想到S△BEH+S△AFG=S△MEF,从而便有,于是，,很快有成立方法5：（由线段之“积”“比”想三角形相似）由于∠ACB=90°，AC=BC，则∠A=∠B=45°，由于∠ECF=45°，所以有∠BCF=∠ECF+∠BCE=45°+∠BCE=∠B+∠BCE=∠AEC，可得△ACE与△BFC相似.所以有,， 方法6：（由线段之“积”“比”想三角形相似）作CQ⊥AB，容易证明△CHE与△CQF相似，△CEQ与△CFG相似，则有方法7：（构圆法）构造△CEF外接圆O，设半径为r，MG=CH=x，在中，勾股定理得，解得：，，那么， 套个“马甲”摇身一变“反比例函数”能力题：如图，一次函数图像与x轴、y轴的交点分别为F、E，点C、D是线段EF上两点，满足∠COD=45°，FD

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